Produit scalaire

Classe de première S

1

Exercices sur le produit scalaire

Exercice 1

Reproduisez et remplissez la grille à l’aide des définitions suivantes :

1

2

3

4

5

6

7

1.Celui de

AB

B ˆ A C

2.Son carré est un produit scalaire dont les termes sont égaux.

3.Il y’en a deux dans l’écriture u . v

. 4.Le vecteur n

(1 ;2) l’est pour la droite x + 2y –5 = 0.

5.Ce produit n’est pas un vecteur.

6.S’il le sont, leurs produit scalaires est nul.

7.C’est une ligne de niveau de la fonction M

→ MA

MB

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i

; j

)

1) Les vecteurs u et v ont pour normes respectives 3 et 4 et pour produit scalaire -6 . Calculer les produits scalaires : (3 u - v ) . (-2 u - 5 v ) et (3 u - 2 v )² .

2) ABC est un triangle tel que AC = 5 et BC = 6. H le projeté orthogonal de C sur [AB] tel que CH = 4 : Calculer le produit scalaire

AB

3) ABCD est un carré. On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [BC].

Démontrer que les droites (AJ) et (DI) sont perpendiculaires.

4) ABC est un triangle tel que son aire est S = 5 3 , AB = 4 et BAC = 60°.

Calculer les longueurs AC et BC

Classe de première S

2 Exercice 3

Dans un repère orthonormal ( ; ; ).

est un triangle avec : ( 1; 2), (3;1), (2; 4).

1) Déterminer une équation de la mdiatrice de [ ].

2) Déterminer une équation de la hauteur issue de dans le O i j

ABC A B C

AB A

−

triangle ABC.

Exercice 4

2

2 2 2

Dans un repère orthonormal ( ; ; ), on donne les points : ( 2; 2), (2; 2).

1) Déterminer les coordonnées du milieu de [AB].

2) Montrer que pour tout point du plan: 2

2 3) Déterminer

O i j A B

I

M MA MB MI AB

−

+ = +

2 2

l'ensemble des points tels que: 40 4) Donner une équation cartesienne de l'ensemble .

5) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de avce l'axe des abscisses.

6) Soit un r

E M MA MB

E

E λ

+ =

éel négatif, comment choisir pour que le point ( 7; ) soit sur . 7) Déterminer une équation de la tangente à en .

Z E

T E Z

λ λ

Exercice 5

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i , j

) .On appelle A,B,C les points définis par : OA = 8 j

, OB = - 6 i

, OC = 6 i - 4 j

.

1) a) Déterminez les équations des médiatrices des segments [AB] et [AC].

b) Calculez les coordonnées du centre du cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC . c) Calculer le rayon du cercle (Γ) .

2) On appelle D le point de coordonnées (6 ; 6).Vérifiez que D est un point de (Γ) . 2) On appelle D1 le projeté orthogonal de D sur la droite (BC).

Vérifiez que les coordonnées de D1 sont (3 ; -3).

4) On appelle D₂ le projeté orthogonal de D sur (AC) et D₃ celui de D sur (AB).

a) Déterminez une équation de (DD2).

b) Calculez les coordonnées de D2. c) Calculez les coordonnées de D₃. 5) Vérifiez que D1, D2, D3 sont alignés.

6) a) Calculez les longueurs des côtes du triangle DD1D2. b) Donnez une mesure de l’angle D₁DD₂.

c) En déduire l’aire du triangle DD₁D₂ .