Partie 3. Projection stéréographique

(1)

Énoncé

On considère une équation diérentielle

z⁰ = 1 +z² (1)

Une solution est une fonction dénie et dérivable dans un intervalle I de R et à valeurs complexes.

Partie 1. Nature des trajectoires

1. Déterminer les solutions qui sont des fonctions constantes dénies dansR.

2. Donner une solution à valeurs réelles en précisant soigneusement son intervalle de dénition.

3. Soitzune fonction à valeurs complexes dénie et dérivable dans un intervalleI deR.

On pose x= Re(z) et y = Im(z). Former un système (S)de relations entre x, y et leurs dérivées tel quezsoit solution de(1)si et seulement sixet y vérient(S). 4. Soitzune solution de(1). Calculer la dérivée de

Imz 1 +|z|²

5. À toute solution non constante z de (1) dénie dans un intervalle I, on associe la courbe paramétréeZ telle que, pour toutt∈I,Z(t)est le point d'axez(t)dans un plan muni d'un repère orthonormé.

On suppose que 0 ∈ I avec z(0) = iλ pour λ réel non nul. Montrer que le support (trajectoire) c'est à dire l'ensemble de points

{Z(t), t∈I}

est inclus dans une courbe géométrique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques en fonction deλ. Quels sont les points d'intersection de cette courbe avec l'axe(Oy)?

Partie 2. Expressions des solutions

On cherche ici à exprimer les solutions de(1)à l'aide de fonctions usuelles.

1. a. Déterminer l'ensemble des fonctions à valeurs complexes vériant

∀t∈i

−π 2,π

2 h

:z⁰(t) + 2 tan(t)z(t) = 0

b. Déterminer l'ensemble des fonctions à valeurs complexes vériant

∀t∈i

−π 2,π

2

h:z⁰(t) + 2 tan(t)z(t) =−1

2. SoitIun intervalle inclus dans

−^π₂,^π₂

et contenant0.

Soitz une solution de (1) dénie et dérivable dansI telle quez(0) = iλavec λ réel non nul.

a. Montrer quez(t)6= tant pour toutt∈I.

b. Former une équation diérentielle dont la fonction dénie dansI par

t→ 1

z(t)−tan(t) est solution.

c. Pour touttdeI, exprimerz(t)comme un quotient ne contenant queλ,iettan(t). 3. Soit I un intervalle inclus dans

−^π₂,^π₂ et contenant 0. Soit z une solution de (1) dénie et dérivable dansI telle quez(0) =λavecλun nombre réel non nul.

a. Montrer qu'il existe un intervalle ouvertJ contenant0et inclus dansI tel que

∀t∈J :z(t)6= tan(t)

b. Pour touttdeI, exprimerz(t)comme un quotient ne contenant queλettan(t). En déduire que

∀t∈J :z(t) = tan(t+t0)avect0= arctan(λ)

Partie 3. Projection stéréographique

Dans un espace orientéE muni d'un repère orthonormé direct(O,−→ i ,−→

j ,−→

k), on noteN le point de coordonnées(0,0,1)et S la sphère de centreO et de rayon 1.

Les fonctions coordonnées relatives à ce repère sont désignées parx,y,z. Le produit scalaire de deux vecteurs−→u et −→v sera noté(−→u /−→v).

SoitP le plan d'équationz= 0. Il est muni du repère(O,−→ i ,−→

j)ce qui permet de dénir l'axe complexew=x(W) +iy(W)d'un pointW de ce plan.

1. Pour chaque point M ∈ S − {N} de coordonnées (α, β, γ), on considère la droite (N M)(voir gure 1). Son intersection avec le planP est formée d'un seul point noté W d'axewappelé le projeté stéréographique deM.

(2)

Fig. 1: Projection stéréographique

a. Montrer queγ6= 1et quew=α+iβ

1−γ . Montrer quew= 1 +γ

α−iβ si(α, β)6= (0,0). Dans quel cas peut-on avoir(α, β) = (0,0)?

b. Montrer que

α= w+w

|w|²+ 1 β =i w−w

|w|²+ 1 γ=|w|²−1

|w|²+ 1

c. Préciser _1−γ^γ et _1−γ^β en fonction dew,wet i.

Dans la suite de cette partie,−→

Ω est un vecteur xé de coordonnées(p, q, r). On considère une courbe paramétrée dénie dans un intervalleI deR

I→ E t→M(t)

et à valeurs dans l'espace E. Pour chaque t ∈ I, les coordonnées de M(t) sont (α(t), β(t), γ(t)). Ainsiα,β,γ sont des fonctions deI dansR.

On suppose que cette courbe paramétrée est dérivable et vérie

∀t∈I:−→

M⁰(t) =−→

Ω∧−−−−→

OM(t) 2. Montrer quek−−−−→

OM(t)ket(−→

Ω/−−−−→

OM(t))sont indépendantes det. Que peut-on en déduire pour l'ensemble des pointsM(t)?

3. On considère un repère orthonormé direct (O,−→

I ,−→ J ,−→

K)avec−→ K = 1

k−→ Ωk

−

→Ω

Les coordonnées deM(t)dans ce repère sont notées(X(t), Y(t), Z(t)). Former le sys- tème d'équations diérentielles vériées parX,Y,Z.

4. On suppose que pour tous lestdeI,M(t)∈ S − {N}. On notew(t)l'axe complexe du projeté stéréographique deM(t).

a. Vérier que

w⁰(t) =α⁰(t) +iβ⁰(t) +w(t)γ⁰(t) 1−γ(t)

b. Vérier que

α⁰(t) +iβ⁰(t) +w(t)γ⁰(t)

=ir(α(t) +iβ(t)) + (q−ip)γ(t)−w(t)q(α+iβ) +w(t)(p+iq)β(t) c. En déduire les nombres complexesa, b,c tels que

w⁰(t) =a+bw(t) +cw²(t)

Cette relation est une forme particulière de l'équation diérentielle dite de Ricatti.

Pour quelles valeurs dep, q,rretrouve-t-on l'équation(1)?

(3)

Fig. 2: Trajectoires dez⁰= 1 +z².

Corrigé

Partie 1. Nature des trajectoires

1. Sivest la valeur complexe d'une fonction constante solution de l'éqation diérentielle, elle doit vérier

1 +v²= 0

On en déduit qu'il existe deux solutions constantes, elles ont pour valeur+iet −i. 2. La restriction à]−^π₂,+^π₂[de la fonction tanest solution de l'équation(1).

3. En séparant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système

(S)

(x⁰ = 1 +x²−y² y⁰ = 2xy

4. On utilise encore les notationsxet yde la question précédente.

y 1 +x²+y²

0

= y⁰

1 +x²+y² − 2y(xx⁰+yy⁰) (1 +x²+y²)² En multipliant les lignes de(S)parxety, on obtient :

xx⁰+yy⁰=x+x³+xy²=x(1 +x²+y²)⇒

y 1 +x²+y²

0

= 0

5. Dans la question précédente, on a montré qu'une certaine expression était constante.

Prenons sa valeur en0. y(t)

1 +x⁽t) +y⁽t) = λ

1 +λ² ⇔x²(t)−

λ+ 1 λ

y(t) +y²(t) =−1

⇔x²(t) +

y(t)−1 2(λ+1

λ) ²

=−1 +1 4(λ+1

λ)²= 1 2(λ−1

λ)² On en déduit que la trajectoire est incluse dans le cercle :

coordonnées du centre : 0,1

2(λ+1 λ)

rayon : 1 2

λ−1 λ

La gure2présente le tracé de quelques trajectoires pour des valeurs deλ. Les points d'intersection avec l'axe(Oy)ont pour ordonnées :

1 2

λ+1

λ

±1 2

λ−1

λ

=λou 1 λ

Partie 2. Expressions des solutions.

1. a. Les solutions sont de la forme t →λe^A(t) où λ∈ C et A une primitive de t → 2 tant.

Dans l'intervalle]−^π₂,^π₂[, le cosest strictement positif. On peut choisir A(t) = ln(cos(t)). Les solutions sont donc les fonctions

∀t∈]−π 2,π

2[:t→λcos²tavecλ∈C

b. On utilise la méthode de variation des constantes. On cherche une solution par- ticulière sous la formet→λ(t) cos²t. La fonctionλdoit vérier

λ⁰(t) cos²t=−1

(4)

On peut donc choisirλ(t) =−tantce qui conduit à la solution particulière t→ −tantcos²t=−sintcost

Les solutions sont donc les fonctions

∀t∈]−π 2,π

2[:t→ −sintcost+λcos²tavecλ∈C

2. a. Icizest une solution telle que z(0) =iλavecλréel non nul. D'après la question 4. de la première partie, on a (pour tous lestdeI) :

Im(z(t))

1 +|z(t)|² = λ 1 +λ² 6= 0

On en déduit que, pour tous lestdansI,z(t)∈/R. En particulier, il ne peut pas être égal àtant.

On aurait pu aussi raisonner en terme de problème de Cauchy.

b. Notonsu(t) =_z(t)−tan¹ _t. On a alorsz(t)−tant=_u(t)¹ et on peut déduire : z⁰(t) = 1 +z²(t)

tan⁰t= 1 + tan²t (1

u)⁰=−u⁰(t) u²(t)











⇒z²(t)−tan²t=−u⁰(t) u²(t)

⇒ z(t) + tant

u(t) =−u⁰(t)

u²(t)⇒ 2 tant u(t) + 1

u(t)² =−u⁰(t) u²(t)

⇒u⁰(t) + 2 tan(t)u(t) =−1 La fonctionuvérie donc l'équation diérentielle de la question 1.b.

c. D'après la question précédente et le résultat de la question 1.b, il existe un nombre complexeµtel que :

∀t∈I: 1

z(t)−tant =µcos²t−sintcost En prenant la valeur en0, on obtientµ=−_λⁱ. On en déduit :

z(t)−tant= 1

−_λⁱ cos²t−sintcost

⇒z(t) = tant−1 + tan²t tant+_λⁱ =

i

λtant−1

tant+_λⁱ = tant+λi 1−iλtant

3. Dans cette questionz est une solution dénie dans un intervalleIcontenant0et telle quez(0) =λ6= 0.

a. La fonctiont →z(t)−tant est continue en 0 et elle prend en0 une valeur non nulle. Par continuité, il existe donc un intervalleJ dans lequel elle ne s'annule pas. Ici encore, on aurait pu raisonner en terme de problème de Cauchy. S'il existe unt0 tel quez(t0) = tan(t0) alors les deux fonctions sont solutions d'une même problème de Cauchy en t0 elles doivent donc coïncider dans leur domaine ; en particulier en0ce qui est contraire à l'hypothèse.

On peut considérer l'inverse dansJ dez−tan.

b. Les calculs sont les mêmes qu'en 2.. La fonction indiquée vérie l'équation dié- rentielle de la question 1.b. Il existe un nombre complexeµtel que

∀t∈J : 1

z(t)−tant =µcos²t−sintcost En prenantt= 0, on obtient queµ= ¹_λ est réel et

z(t)−tant= 1

1

λcos²t−sintcost

⇒z(t) = tant+1 + tan²t

1

λ−tant =

1

λtant+ 1

1

λ−tant = tant+λ 1−λtant

= tan(t+t0)sit0= arctanλ On aurait aussi pu raisonner en séparant les variables, lorsque z est à valeurs réelles

∀t∈J : z⁰(t)

1 +z²(t) = 1⇒t→arctan(z(t))−test constante.

Partie 3. Projection stéréographique.

1. a. Le seul point de la sphère pour lequelγ= 1 est le pôle nordN qui est exclu. En revancheα=β= 0est aussi possible pour le pôle sud de coordonnées(0,0,−1). Lorsque M 6= N, on peut former une représentation paramétrique de la droite (N M). Les coordonnées d'un point de cette droite sont de la forme(λα, λβ,1 + λ(γ−1))avecλréel. Un tel point est sur le plan si et seulement si

1 +λ(γ−1) = 0⇔λ= 1 1−γ

(5)

On en déduit que l'axe du projeté stéréographique est w=α+iβ

1−γ De plus, lorsque(α, β)6= (0,0),

w=wα−iβ

α−iβ = α²+β²

(1−γ)(α−iβ) = 1 +γ α−iβ carα²+β²+γ²= 1doncα²+β²= 1−γ².

b. D'après la question précédente : w=α+iβ

1−γ w=α+iβ

1−γ











⇒











w+w= 2α 1−γ w−w= 2iβ

1−γ

|w|²+ 1 = α²+β²

(1−γ)² + 1 = α²+β²+ 1−2γ+γ²

(1−γ)² = 2(1−γ) (1−γ)² = 2

1−γ On en déduit :

α= w+w

1 +|w|² iβ= w−w

1 +|w|² On a aussi

1−γ= 2

|w|²+ 1 ⇒γ= 1− 2

|w|²+ 1 =|w|²−1

|w|²+ 1

c. Il s'agit d'une petite question technique qui servira dans le calcul de la question 4.c. Avec les formules précédentes, on obtient

γ

1−γ =|w|²−1

|w|²+ 1

2 =|w|²−1 2 β

1−γ =i(w−w)

|w|²+ 1

2 =iw−w 2

2. Il s'agit ici d'utiliser les formules du cours permettant de dériver des fonctions formées à partir de produits scalaires. Les deux dérivées sont nulles car−→

Ω∧−−−−→

OM(t)est orthogonal

à−→

Ω et à−−−−→

OM(t). d

dt

−−−−→

OM(t)

= (−−−−→

OM(t)/−→

M⁰(t))

−−−−→

OM(t)

= 0 d

dt(−→

Ω/−−−−→

OM(t)) = (−→ Ω/−→

M⁰(t))) = 0

Le caractère constant det→

−−−−→

OM(t)

montre queM(t)reste sur une sphère centrée enO.

Le caractère constant det →(−→

Ω/−−−−→

OM(t))montre que M(t)reste sur un plan orthogonal à−→

Ω.

Le pointM(t)reste donc sur un cercle intersection d'une sphère et d'un plan.

3. Dans le repère choisi, seule la dernière coordonnée de−→

Ω est non nulle. On en déduit :



 0 0 k−→

Ωk



∧



 X Y Z



=







−k−→ ΩkY k−→

ΩkX 0





⇒











X⁰(t) =−k−→ ΩkY(t) Y⁰(t) =k−→

ΩkX(t) Z⁰(t) = 0

4. a. On dérive simplement l'expression dew(t)obtenue en 1.a. en se dispensant d'écrire les(t)

w⁰= α⁰+iβ⁰

1−γ +α+iβ 1−γ

| {z }

=w

γ⁰

1−γ = α⁰+iβ⁰+wγ⁰ 1−γ

b. On obtient la formule annoncée en injectant les expressions des dérivées



 α⁰ β⁰ γ⁰



=



 p q r



∧



 α β γ





dans la formule de la question précédente.

c. Divisons par1−γ l'expression du 1.b. On obtient une expression dew⁰. w⁰(t) =irw(t) + (q−ip) γ(t)

1−γ(t)−qw²(t) +w(t)(p+iq) β(t) 1−γ(t)

dans laquelle gurent les quantités calculées en 1.c. En développant, les |w²| disparaissent et on obtient

w⁰(t) =irw(t)−1

2(q−ip)−qw²(t) +1

2(q−ip)w²=a+bw(t) +cw²(t)

(6)

avec

a= 1

2(−q+ip) b=ir c=−1

2(q+ip) =a

On retrouve l'équation(1)de la tangente poura= 1etb= 0soitp= 0,q=−2, r= 0.