Projection stéréographique.

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Géométrie (espace)

1.

^(Ege01)

Projection stéréographique.

n

m

p

n

(m)

Fig. 1 Exercice 1 : Projection stéréographique.

Dans E = R

³

muni du repère canonique, P désigne le plan d'équation z = 0 , S la sphère d'équation

x

²

+ y

²

+ z

²

= 1 On considère aussi les points

n = (0, 0, 1) et s = (0, 0, −1)

On dénit deux applications p

n

et p

s

de S − {s, n} dans P − {0} en posant :

p

n

(m) =P ∩ (n + V ect( −→ nm)) p

_s

(m) =P ∩ (s + V ect( −→ sm))

Montrer que p

n

et p

s

sont des bijections. Calculer les coordonnées de p

n

(m) et p

s

(m) en fonction de celles de m .

Le plan P est identié à C en associant z = u + iv au point (u, v, 0) . Exprimer p

n

◦ p

⁻¹_s

(z) en fonction de z .

2.

(Ege02)

Déterminer la perpendiculaire commune aux

droites D

₁

et D

₂

dénies par les équations cartésiennes suivantes, préciser les points d'intersection (avec Maple)

D

1

:

x + y = 3

y + z = 3 D

2

:

x − 3y = 6 2y − z = 8

D

1

:

x − y = z + 2

3x + 4 = 2z − y D

2

:

2x − 4y + z = 1 3x − 6y + 4z = −3 3.

^(Ege03)

On considère le cercle de centre le point de coor-

m

f (m)

Fig. 2 Exercice 3 : Surface H données (0, 0, −1) et de rayon √

2 dans le plan z = −1 . À chaque point M de coordonnées (x, y, −1) de ce cercle

on associe le point f (M ) de coordonnées (−y, x, 1) . Former une équation cartésienne de la surface notée H formée par la réunion des droites (M f (M )) .

4.

^(Ege04)

Soient ∆

₁

et ∆

₂

deux droites dans le plan d'équa- tion z = 0 d'équations

∆

₁

: x sin α − y cos α = 0

∆

2

: x sin α + y cos α = 0

avec 0 < α <

^π₄

. Soit P un point du plan et H

1

et H

2

ses projections orthogonales sur ∆

1

et ∆

2

. Soit − → v un vecteur orthogonal au plan. Trouver P tel que

− − →

OP ∧ −−−→

H

1

H

2

= − → v

5.

^(Ege05)

Soient − → u et − → v respectivement de coordonnées (a, b, c) et (1, 1, 1) avec a , b , c non nuls. Soient D et

∆ les droites :

D = O + Vect − → u ∆ = O + Vect − → v Soient Π

1

, Π

2

, Π

3

les plans contenant ∆ et respectivement − →

i , − → j , − →

k . Soient P

1

, P

2

, P

3

les plans analogues contenant D .

Écrire les équations de ces 6 plans. Déterminer le plan P

_i⁰

symétrique de P

i

par rapport à Π

i

.

Montrer que P

₁⁰

, P

₂⁰

, P

₃⁰

contiennent une même droite D

⁰

.

Peut-on choisir D pour que D

⁰

soit parallèle (ou égale) à D ? D

⁰

soit orthogonal à D ?

6.

^(Ege06)

Montrer les formules suivantes pour u, v, w, s quelconques dans E

((u ∧ v)/(w ∧ s)) =

(u/w) (u/s) (v/w) (v/s) (u ∧ v) ∧ (w ∧ s) = det(u, v, s)w − det(u, v, w)s (u ∧ v) ∧ (u ∧ w) = det(u, v, w)u ku ∧ vk

²

+ (u/v)

²

= kuk

²

kvk

²

det(v ∧ w, w ∧ u, u ∧ v) = det(u, v, w)

²

7.

(Ege07)

Eléments de trigonométrie sphérique.

On considère la sphère unité S dans un espace E eucli-

N

I J

K

Fig. 3 Exercice 7 : triangle sphérique.

dien orienté. Un point M de S est donc un vecteur uni- taire. On notera M ou − →

M suivant que l'on veut mettre en avant le caractère vectoriel

Si A et B sont deux points de S :

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_gepdf du 28 février 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Géométrie (espace)

S3 S

S1 S2

B

A C

Fig. 4 Exercice 7 : théorème de Girard (1595-1622).

d AB désigne l'écart angulaire entre les deux vecteurs ; c'est un nombre entre 0 et π .

z}|{

AB désigne l'arc de grand cercle passant par A et B.

Sur un cercle, deux points dénissent deux arcs, z}|{

AB est celui qui est vu depuis l'origine avec l'angle d AB . On pourrait aussi dire le plus petit des deux arcs.

− →

T

AB

désigne un vecteur tangent en A à l'arc z}|{

AB et dirigé de A vers B .

Trois points I, J, K dénissent un triangle sphérique lorsque la famille ( − →

I , − → J , − →

K ) est libre. Les côtés sont les arcs z}|{

IJ , z}|{

J K , z}|{

KI . L'angle au sommet I b est l'écart angulaire entre − →

T

IJ

et − → T

IK

. On se propose de montrer que

I b + J b + K > π b On adopte les notations suivantes :

−

→ I

⁰

=

−

→ J ∧ − → K k − →

J ∧ − → Kk

−

→ J

⁰

=

−

→ K ∧ − → I k − →

K ∧ − → I k

−

→ K

⁰

=

−

→ I ∧ − → J k − →

I ∧ − → J k

−

→ I

⁰⁰

= J

⁰

∧ K

⁰

kJ

⁰

∧ K

⁰

k

−

→ J

⁰⁰

=

−

→ K

⁰

∧ − → I

⁰

k − →

K

⁰

∧ − → I

⁰

k 0 − →

K

⁰⁰

=

−

→ I

⁰

∧ − → J

⁰

k − →

I

⁰

∧ − → J

⁰

k

a = KJ d b = IK c c = J I c a

⁰⁰

= K \

⁰⁰

J

⁰⁰

b

⁰⁰

= I \

⁰⁰

K

⁰⁰

c

⁰

= J d

⁰

I

⁰

a

⁰⁰

= K \

⁰⁰

J

⁰⁰

b

⁰⁰

= I \

⁰⁰

K

⁰⁰

c

⁰⁰

= J [

⁰⁰

I

⁰⁰

a. i. Dénissons un nombre ε ∈ {−1, +1} en posant

ε =

( 1 si det( − → I , − →

J , − → K ) > 0

−1 si det( − → I , − →

J , − → K ) > 0

Montrer que I

⁰⁰

= εI , J

⁰⁰

= εJ , K

⁰⁰

= εK . En déduire a

⁰⁰

= a , b

⁰⁰

= b , c

⁰⁰

= c .

ii. Montrer que

cos a

⁰

= cos b cos c − cos a sin b sin c

cos a

⁰

= cos b

⁰

cos c

⁰

− sin b

⁰

sin c

⁰

cos a b. i. On peut prendre pour − →

T

_IJ

n'importe quel vecteur non nul de Vect( − →

I )

^⊥

∩ Vect( − → I , − →

J ) dirigé de I vers J .

Vérier que ( − → I ∧ − →

J ) ∧ − →

I convient.

ii. Montrer que

I b = (I ∧ \ J )(I ∧ K) = π − a

⁰

iii. Montrer que

cos I b = − cos J b cos K b + sin J b sin K b cos a c. Montrer que I b + J b + K > π b .

d. (théorème de Girard

¹

)

Montrer que S = R

²

( A b + B b + C b − π) lorsque S est l'aire d'un triangle sphérique en considérant S +S

1

, S +S

2

, S +S

3

comme dans la gure 4. On admettra que l'aire de la portion de demi-sphère entre deux grands cercles dépend linéairement de l'angle.

8.

^(Ege08)

Soient A et B de coordonnées (1, a, 0) et (−1, b, 0) . Écrire l'équation de l'ensemble des M tels que la droite (OM ) soit équidistante de A et de B .

9.

^(Ege09)

Soit ( − → a , − →

b , − → c ) une base. On se propose d'étudier le système de trois équations vectorielles



 

 

−

→ y ∧ − → z = − → a

−

→ z ∧ − → x = − → b

−

→ x ∧ − → y = − → c

aux inconnues vectorielles − → x , − → y , − → z .

a. Montrer que le système n'admet jamais un unique triplet solution.

b. Déterminer une condition nécessaire sur det( − → a , − →

b , − → c ) pour qu'il existe une solution.

c. Soit ( − → x , − → y , − → z ) un triplet solution. Montrer que − → x est colinéaire à un certain vecteur à déterminer en fonction des données.

d. Montrer que la condition du b. est susante et dé- terminer l'ensemble des solutions lorsqu'elle est vé- riée.

10.

(Ege10)

On se donne deux droites par des équations car- tésiennes

M ∈ D

1

⇔ x(M ) − x

1

α

₁

= y(M ) − y

1

β

₁

= z(M ) − z

1

γ

₁

M ∈ D

2

⇔ x(M ) − x

₂

α

2

= y(M ) − y

₂

β

2

= z(M ) − z

₂

γ

2

Déterminer une condition nécessaire et susante pour que les droites soient concourantes.

11.

^(Ege11)

Identité de Jacobi.Montrer que : ( − → a ∧ − →

b ) ∧ − → c + ( − →

b ∧ − → c ) ∧ − → a + ( − → c ∧ − → a ) ∧ − → b = − →

0 12.

^(Ege12)

Un repère étant xé, trouver l'équation du plan

symétrique du plan d'équation z = 0 par rapport au plan d'équation x + y − z = 1 .

1Albert Girard, dit le Samielois , également appelé Albertus Ge- rardus Metensis, parfois Albert Gérard, né vraisemblablement le 11 oc- tobre 1595 à Saint-Mihiel et mort à 37 ans, le 8 ou 9 décembre 1632 en Hollande ...

2

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Géométrie (espace)

13.

^(Ege13)

On se donne trois vecteurs non nuls − → a , − → b , − → c et un réel λ .

a. En discutant suivant les données, déterminer l'ensemble des vecteurs − → x tels que

−

→ x ∧ − →

b = − → c et ( − → x / − → a ) = λ

b. On se donne deux vecteurs − → p et − → s et un réel k . Déterminer les couples ( − → a , − →

b ) tels que

−

→ a + − →

b = 2 − → s − → a ∧ − →

b = 2 − → p ( − → a / − → b ) = k On pourra considérer − →

d déni par − → a − − → b = 2 − →

d et commencer par chercher − →

d .

14.

^(Ege14)

Soit A , B , C , D quatre points quelconques. Mon- trer que

− − → BC ∧ −−→

BD = − − → AB ∧ −→

AC + −→

AC ∧ − − → AD + − − →

AD ∧ − − → AB 15.

^(Ege15)

Développer et simplier

det(( − → a + − →

b ) ∧ ( − → a + − → c ), ( − →

b + − → c ) ∧ ( − → b + − → a ), ( − → c + − → a ) ∧ ( − → c + − →

b )) pour l'exprimer en fonction de det( − → a , − →

b , − → c ) .

16.

^(Ege16)

Soit A , B , C trois points non alignés dans un espace. Déterminer les points M tels que −−→

AM , −−→

BM , −−→

CM soient deux à deux orthogonaux.

17.

^(Ege17)

Faisceau de plans.

Un repère étant xé, on désigne par x , y , z les fonctions coordonnées dans ce repère. On considère deux plans non parallèles P et P

⁰

d'intersection D .

M ∈ P ⇔ ax(M ) + by(M ) + cz(M ) + d = 0 M ∈ P

⁰

⇔ a

⁰

x(M ) + b

⁰

y(M ) + c

⁰

z(M ) + d

⁰

= 0 On dénit des fonctions α et α

⁰

de l'espace et à valeurs réelles

α = ax + by + cz + d α

⁰

= a

⁰

x + b

⁰

y + c

⁰

z + d

⁰

Les plans P et P

⁰

sont donc les surfaces de niveau 0 des fonctions α et α

⁰

.

a. Soit λ et µ deux réels (non tous nuls). Montrer que λα(M ) + µα

⁰

(M ) = 0 est l'équation d'un plan qui contient D .

b. Former l'équation du plan qui contient D et un point arbitraire A 6∈ D .

c. Former un système d'équation de la droite D qui passe par le point de coordonnées (2, 3, −1) et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (−1, 0, 2) . Former les équations des plans qui contiennent D et qui sont à la distance 1 du point B de coordonnées (0, 1, 0) .

d. Former un système d'équations cartésiennes de la droite projection orthogonale de la droite

(D)

( x + y + z − 1 = 0 x − y − 2z = 0 sur le plan

(P ) x + 2y + 3z + 6 = 0

18.

^(Ege18)

Calculer la distance du point A de coordonnées (1, 1, 1) au plan représenté paramétriquement par :



 

 

x = 2 + λ − µ y = 3 − λ + 2µ z = 1 + 2λ + µ

3

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Géométrie (espace) : corrigés

1. pas de correction pour Ege01.tex 2. pas de correction pour Ege02.tex 3. pas de correction pour Ege03.tex 4. pas de correction pour Ege04.tex 5. pas de correction pour Ege05.tex 6. pas de correction pour Ege06.tex 7. pas de correction pour Ege07.tex 8. pas de correction pour Ege08.tex 9. pas de correction pour Ege09.tex

10.

^(Cge10)

Le passage à une dénition paramétrique est im- médiat. On écrit que la distance entre les deux droites est nulle.

11. pas de correction pour Ege11.tex 12. pas de correction pour Ege12.tex 13. pas de correction pour Ege13.tex 14. pas de correction pour Ege14.tex

15. Dans chaque produit vectoriel le même vecteur gure deux fois donc un terme s'annule. Il reste un détermi- nant dont chaque vecteur est une somme de trois. En dé- veloppant grace à la multilinéarité, on devrait donc ob- tenir 27 termes. En fait il n'en reste que 6 car les mêmes vecteurs se retrouvent souvent. Parmi ces 6 termes, par antisymétrie, tous sont égaux à

det( − → a ∧ − → c , − →

b ∧ − → a , − → c ∧ − → b )

sauf le dernier qui est l'opposé de ce déterminant. En utilisant le produit mixte et la formule du double produit vectoriel, on obtient nalement

−4 det( − → a , − → b , − → c )

16. Supposons que M vérie les trois relations demandée :



 



 

 ( −−→

AM / −−→

BM) = 0 ( −−→

BM / −−→

CM ) = 0 ( −−→

CM / −−→

AM) = 0 En formant les diérences, on obtient



 



 

 ( −→

AC/ −−→

BM) = 0 ( − − →

BA/ −−→

CM) = 0 ( − − →

CB/ −−→

AM) = 0

La première égalité traduit que M est dans le plan orthogonal à −→

AC qui passe par B . Ce plan est orthogonal au plan du triangle et contient la hauteur. On peut inter- préter de la même manière les autres équations. On en déduit que M est sur la droite perpendiculaire au plan du triangle et qui perce ce plan en l'orthocentre. Il reste à vérier que sur cette droite deux points conviennent.