MPSI B Année 2011 - 2012 Énoncé du DM 05 29 juin 2019
On considère une équation diérentielle
z0 = 1 +z2 (1)
Une solution est une fonction dénie et dérivable dans un intervalle I de R et à valeurs complexes.
Partie 1. Nature des trajectoires
1. Déterminer les solutions qui sont des fonctions constantes dénies dansR.
2. Donner une solution à valeurs réelles en précisant soigneusement son intervalle de dénition.
3. Soitzune fonction à valeurs complexes dénie et dérivable dans un intervalleI deR.
On pose x= Re(z) et y = Im(z). Former un système (S)de relations entre x, y et leurs dérivées tel quezsoit solution de(1)si et seulement sixet y vérient(S). 4. Soitzune solution de(1). Calculer la dérivée de
Imz 1 +|z|2
5. À toute solution non constante z de (1) dénie dans un intervalle I, on associe la courbe paramétréeZ telle que, pour toutt∈I,Z(t)est le point d'axez(t)dans un plan muni d'un repère orthonormé.
On suppose que 0 ∈ I avec z(0) = iλ pour λ réel non nul. Montrer que le support (trajectoire) c'est à dire l'ensemble de points
{Z(t), t∈I}
est inclus dans une courbe géométrique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques en fonction deλ. Quels sont les points d'intersection de cette courbe avec l'axe(Oy)?
Partie 2. Expressions des solutions
On cherche ici à exprimer les solutions de(1)à l'aide de fonctions usuelles.
1. a. Déterminer l'ensemble des fonctions à valeurs complexes vériant
∀t∈i
−π 2,π
2 h
:z0(t) + 2 tan(t)z(t) = 0
b. Déterminer l'ensemble des fonctions à valeurs complexes vériant
∀t∈i
−π 2,π
2
h:z0(t) + 2 tan(t)z(t) =−1 2. SoitIun intervalle inclus dans
−π2,π2
et contenant0.
Soitz une solution de (1) dénie et dérivable dansI telle quez(0) = iλavec λ réel non nul.
a. Montrer quez(t)6= tant pour toutt∈I.
b. Former une équation diérentielle dont la fonction dénie dansI par
t→ 1
z(t)−tan(t) est solution.
c. Pour touttdeI, exprimerz(t)comme un quotient ne contenant queλ,iettan(t). 3. Soit I un intervalle inclus dans
−π2,π2 et contenant 0. Soit z une solution de (1) dénie et dérivable dansI telle quez(0) =λavecλun nombre réel non nul.
a. Montrer qu'il existe un intervalle ouvertJ contenant0et inclus dansI tel que
∀t∈J :z(t)6= tan(t)
b. Pour touttdeI, exprimerz(t)comme un quotient ne contenant queλettan(t). En déduire que
∀t∈J :z(t) = tan(t+t0)avect0= arctan(λ)
Partie 3. Projection stéréographique
Dans un espace orientéE muni d'un repère orthonormé direct(O,−→ i ,−→
j ,−→
k), on noteN le point de coordonnées(0,0,1)et S la sphère de centreO et de rayon 1.
Les fonctions coordonnées relatives à ce repère sont désignées parx,y,z. Le produit scalaire de deux vecteurs−→u et −→v sera noté(−→u /−→v).
SoitP le plan d'équationz= 0. Il est muni du repère(O,−→ i ,−→
j)ce qui permet de dénir l'axe complexew=x(W) +iy(W)d'un pointW de ce plan.
1. Pour chaque point M ∈ S − {N} de coordonnées (α, β, γ), on considère la droite (N M)(voir gure 1). Son intersection avec le planP est formée d'un seul point noté W d'axewappelé le projeté stéréographique deM.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1105E
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Fig. 1: Projection stéréographique
a. Montrer queγ6= 1et quew=α+iβ
1−γ . Montrer quew= 1 +γ
α−iβ si(α, β)6= (0,0). Dans quel cas peut-on avoir(α, β) = (0,0)?
b. Montrer que
α= w+w
|w|2+ 1 β =i w−w
|w|2+ 1 γ=|w|2−1
|w|2+ 1 c. Préciser 1−γγ et 1−γβ en fonction dew,wet i.
Dans la suite de cette partie,−→
Ω est un vecteur xé de coordonnées(p, q, r). On considère une courbe paramétrée dénie dans un intervalleI deR
I→ E t→M(t)
et à valeurs dans l'espace E. Pour chaque t ∈ I, les coordonnées de M(t) sont (α(t), β(t), γ(t)). Ainsiα,β,γ sont des fonctions deI dansR.
On suppose que cette courbe paramétrée est dérivable et vérie
∀t∈I:−→
M0(t) =−→
Ω∧−−−−→
OM(t)
2. Montrer quek−−−−→
OM(t)ket(−→
Ω/−−−−→
OM(t))sont indépendantes det. Que peut-on en déduire pour l'ensemble des pointsM(t)?
3. On considère un repère orthonormé direct (O,−→
I ,−→ J ,−→
K)avec−→ K = 1
k−→ Ωk
−
→Ω
Les coordonnées deM(t)dans ce repère sont notées(X(t), Y(t), Z(t)). Former le sys- tème d'équations diérentielles vériées parX,Y,Z.
4. On suppose que pour tous lestdeI,M(t)∈ S − {N}. On notew(t)l'axe complexe du projeté stéréographique deM(t).
a. Vérier que
w0(t) =α0(t) +iβ0(t) +w(t)γ0(t) 1−γ(t)
b. Vérier que
α0(t) +iβ0(t) +w(t)γ0(t)
=ir(α(t) +iβ(t)) + (q−ip)γ(t)−w(t)q(α+iβ) +w(t)(p+iq)β(t) c. En déduire les nombres complexesa, b,c tels que
w0(t) =a+bw(t) +cw2(t)
Cette relation est une forme particulière de l'équation diérentielle dite de Ricatti.
Pour quelles valeurs dep, q,rretrouve-t-on l'équation(1)?
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