W d W W F ! = = ∫ = ∫ = d F W ! − W p = = . ( d M l − ! ∫∫ p ) dS = W ( − M p n ! ) = dV ( M ∫∫ ) dS − p n ! ( M . ) d dV l ! = − p ( M ) dS dl = − p ( M ) dV

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Thermodynamique, T11.C1 © Isa 2020

Travail de forces pressantes quelconques s’exerçant sur un système de forme quelconque

Nous avons établi l’expression du travail des forces pressantes dans le cas d’une pression extérieure s’exerçant de façon uniforme sur une partie plane de la surface d’un système. Ce complément généralise cette expression pour des systèmes de forme quelconque subissant une pression extérieure quelconque. Le paragraphe II signale à deux cas particuliers.

I. Expression générale du travail

Nous considérons un système de forme quelconque subissant un champ de pression extérieure¹ quelconque pext(M).

Le champ de pression dépend a priori du point M, c’est-à-dire qu’a priori il n’est pas uniforme.

Cette situation nous conduit à découper la surface du système en éléments d’aire dSM entourant un point M. La pression pext(M) est pratiquement uniforme sur chacun d’eux. Lors de la transformation chaque point M subit un vecteur-déplacement dlM. Chaque déplacement génère une variation de volume dVM. Le volume du système subit une variation totale dV. Voir figure 1 ci-dessous.

T11.C1 Figure 1 : Les éléments d’une surface et leurs caractéristiques.

On définit, en chaque point M, un vecteur next,M, unitaire, normal à l’élément de surface, orienté vers l’extérieur du système. Alors, le vecteur-force pressante élémentaire s’exerçant sur un élément de surface dSM s’écrit :

Le travail élémentaire de chaque force pressante extérieure s’écrit :

Sur l’ensemble de la surface S du système, les forces pressantes extérieures exercent le travail élémentaire :

Au cours d’une transformation finie, les forces pressantes extérieures exercent le travail :

Cette expression ne conduit pas, bien entendu, à un résultat général. Pour poursuivre le calcul il faut connaître le champ de pression extérieure et les déplacements de la surface du système et donc décrire la transformation étudiée.

1 Éventuellement effective.

d!

F_ext,M =−p_ext(M)dS_Mn!_ext_,M

δ^W_M =d! F_ext,M.d!

l_M =−p_ext(M)dS_Mn!_ext,M.d!

l_M =−p_ext(M)dS_Mdl_M =−p_ext(M)dV_M

δW = δW_M

∫

Σ ⁼⁻^p^ext⁽^M⁾^dV^M

W= δW

∫

T ⁼

∫

T

∫

Σ^δW^M ⁼

∫

T

∫

Σ⁻^p^ext⁽^M⁾^dV^M

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II. Exemples

A. Exemple 1 : Corps de pompe

On applique l’expression générale à ce système subissant une transformation, détente ou compression. On sépare la surface du système en deux parties, les surfaces du piston et du corps de pompe :

L’immobilité de la surface du corps de pompe entraîne une contribution nulle. Seul le piston se déplace donc l’expression générale se réduit au travail des forces pressantes s’exerçant sur le piston. Le champ de pression y est uniforme, la surface du piston est plane ; on retrouve donc le calcul effectué dans le cours sur le travail des forces pressantes extérieures.

B. Exemple 2 : Détente de Joule-Kelvin

Voir chapitre T16. On aura à tenir compte de la contribution de deux champs de pression extérieure. Ces champs sont différents mais uniformes et s’exercent sur deux surfaces planes distinctes.

Le premier exemple étudié ci-dessus retrouve, laborieusement !, le travail des forces pressantes extérieures s’exerçant sur un corps de pompe. C’est un exemple très simple qui limite l’application de l’expression générale au cas particulier d’une surface plane et d’une pression extérieure uniforme. Le deuxième exemple sera donc un peu moins simple !

W = −p_ext(M)dV_M

∫

Σ

∫

T

W = −p_ext(M)dV_M

Σpiston

∫

T ⁺

∫

T

∫

Σcorpsde pompe⁻^p^ext⁽^M⁾^dV^M

W = −p_extdV

car p uniforme

!"#

Σpiston

∫

T ⁺ ⁻^p^ext⁽^M⁾^dV^M

=0 car dVM= 0

! " # # ## $

Σcorpsde pompe

∫

T

W = −p_extdV

∫

T