Statique des fluides        % $ ( '  n n n d d S S d d f f 1 1V V ' & * ) ⋅∂ d f ' & * ) ρ⋅∂ρ∂ ∂ p p & % ) (  € € € d S € € € € € € € €

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Thermodynamique Chapitre 3

Statique des fluides

S'agissant de statique, nous allons être conduits à utiliser les lois de la mécanique. Dans tout ce qui suit, nous supposerons le référentiel d'étude galiléen.

I. Introduction I.1.

Fluide

I.1.1.

Définition

Un fluide est un milieu continu, nous sommes dans le cadre de la thermodynamique macroscopique.

On peut donc s'intéresser à un système ∑ constitué d'une portion de fluide de volume V limité par une surface S.

 Un fluide se distingue des autres systèmes thermodynamiques (en l'occurrence des solides) par le fait qu'il est déformable.

Supposons que l'on applique une contrainte tangentiellement à la surface d'un fluide,

• il se déforme tant que dure la contrainte tangentielle, contrairement à un solide indéformable

• et n'atteint pas d'équilibre contrairement à un solide élastique.

 Autrement dit : si un fluide est au repos, c'est qu'il n'est soumis qu'à des contraintes normales à sa surface.

Remarque : c'est vrai aussi pour un fluide parfait en mouvement.

I.1.2.

Liquides et gaz

Dans les conditions habituelles, on peut les distinguer les liquides des gaz :

Liquide Gaz

• volume propre mais pas de forme propre. •n'a ni forme ni volume propre.

• distances entre les molécules qui le constituent du même ordre de grandeur que les dimensions moléculaires

•les molécules qui le constituent sont à des distances les unes des autres très grandes devant les dimensions moléculaires

• les forces d'interaction entre ces molécules (en r^-7, forces de Van der Waals) ont un rôle essentiel.

•aux pressions usuelles la plupart des gaz se comportent comme des GP ce qui suppose l'absence d'interaction entre les molécules.

•densité particulaire n= nombre de molécules par unité de volume.

Eau : 1,0 kg–L^-1 soit n = 55,6 mol, soit 3,34–10²⁸ molécules–m^-3.

GP : n = 6,02.10²³/22,7–10^-3 = 2,69–10²⁵, soit mille fois moins.

• compressibilité : χ_T = -

€

1 V⋅ ∂V

∂p

$

%

&

&

' ( ) )

T

=

€

1 ρ⋅ ∂ρ

∂p

%

&

' ' ( )

* *

T

il faut multiplier la pression de l'eau par 1000

pour augmenter de 4% sa masse volumique.

il suffit d'augmenter la pression de 40 mbar pour augmenter la masse volumique de l'air de 4%.

I.2.

Pression en un point d'un fluide

Considérons une surface élémentaire dS autour d'un point M du fluide, orientée de l'intérieur vers l'extérieur par un vecteur unitaire

€

n  normal à dS. On peut écrire

€

d S =

€

n  –dS.

De l'ensemble des actions des molécules du fluide qui choquent (traversent) cette surface, il résulte que la surface dS subit une force -

€

d

f _S opposée à celle que subit le fluide et qui par définition de la pression p au point M du fluide est -

€

d

f _S = p(M)–dS–

€

n = p(M) –

€

d S .

€

d f _S Fluide

€

d extérieur S

M

MacXIair:MPSI:Thermodynamique:Cours Th 3 Statflu 2011-12 Page 2 sur 7

D'où il apparaît que la densité surfacique ou contrainte subie par le fluide est

€

f  _S =

€

d f _S

dS = - p(M)–

€

n  .Elle est indépendante de dS.

 Autrement dit la densité surfacique de force de contact normale subie par un élément de fluide a pour norme la pression du fluide en ce point.

I.3.

Hypothèses de la statique des fluides

Le fluide est en équilibre, sa vitesse d'ensemble est nulle (microscopiquement cela veut dire que toutes les vitesses des molécules sont équiprobables).

D'autre part les autres grandeurs qui le caractérisent sont indépendantes du temps, mais dépendent en général du point où on les mesure. Ce sont des grandeurs locales. On devrait écrire : p(M) ou p(x,y,z) pour la pression au point M de coordonnées (x, y, z). De même : T(M), ρ(M) sont des fonctions de l'espace, indépendantes du temps.

Ce système est soumis à des forces exercées par le monde extérieur que l'on classe en

• forces exercées en surface :

€

F  _S =

€

∫∫

S

€

f  _S(M)–dS où

€

f  _S(M) = - p(M)–

€

n est la densité surfacique de  force autour du point M.

• forces exercées en volume

€

F  V =

€

∫∫∫

V

€

f  _V(M)–dV où

€

f  _V(M) est la densité volumique de force autour du point M.

En particulier le fluide est soumis à son poids

€

P = m–

€

g (M)  qui est une force volumique puisque m =

€

∫∫∫

V ^{ρ(M)–dV →}

€

P = 

€

g  (M)–

€

∫∫∫

V ^ρ–dV de densité volumique où ρ(M) et

€

g (M)  sont des grandeurs locales.

Le fluide est un milieu continu, fait de "particules de fluide" de volume dV et de masse dm = ρ–dV soumises chacune à des forces volumiques dont la somme est

€

d f _V =

€

f  _V(M)–dV et à des forces surfaciques de somme

€

d f _S =

€

f  _S(M)–dS = - p(M)–

€

d S .

II. Pression dans un fluide au repos

La pression dont nous allons parler est la pression statique : le fluide est en équilibre. A cette pression, il conviendrait d'ajouter une pression dynamique pour un fluide en mouvement.

II.1.

Principe fondamental de la statique des fluides

Dans le cas le plus général, une particule de fluide est en équilibre si

€

f  _V(M)–dV +

€

d

f _S(M)–dS =

€

0  par application du principe fondamental de la dynamique en supposant (comme toujours en thermodynamique) que le référentiel d'étude est galiléen.

Nous limiterons notre étude au cas - le plus fréquent - où la seule force en volume subie par le fluide est son poids donc

€

f  _V(M) = ρ(M)–

€

g (M) soit ρ(M)–

€

g  (M)–dV +

€

d

f _S(M)–dS =

€

0  . Pratiquement on considère que le champ de pesanteur est uniforme et

€

g = - g –

€

e  z donc

€

d

f _S(M)–dS est de direction

€

e  z.

Supposons que la particule de fluide soit en forme de pavé de volume dV = dx–dy–dz dont les faces sont parallèles aux plans du trièdre (O,x,y,z). Elle est soumise à six forces de contact, une sur chacune de ces faces. Chacune des forces étant de la forme

€

d

f _S–dS = - p(M)–dS–

€

n . Les deux forces de direction

€

e  x sont : - p(x)–dy–dz et - p(x+dx)–dy–dz. Leur somme est nullepuisque la somme de ces six forces est de direction

€

e  z. On en déduit que p(x) = p(x + dx) . On peut faire la même remarque en ce qui concerne les forces de direction

€

e  y.

 La pression ne dépend que de l'altitude z

⇒

€

d

f _S(M)–dS = [p(z) - p(z + dz)]–dx–dy –

€

e  z = -

€

dp

dz –dz–dx–dy–

€

e  z = -

€

dp dz –dV–

€

e  z Finalement ρ(M)–

€

g  –dV +

€

d

f _S(M)–dS =

€

0  devient ρ(M)–

€

g  –dV -

€

dp dz –dV–

€

e  _z=

€

0 

x

€

d f _z z

z + dz

y z

€

d f _z+dz

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 L'équation fondamentale de la statique des fluides dans le cas où les seules forces volumiques sont la pesanteur :

ρ(M)–

€

g - 

€

dp dz –

€

e  z =

€

0  .

II.2.

Conséquences

Dans le cas le plus fréquent où les seules forces subies par le fluide sont les forces de pression et de pesanteur ρ(M)–

€

g - 

€

dp dz –

€

e  z =

€

0  →

€

dp dz –

€

e  z = ρ(M)–

€

g 

⇒ La pression augmente toujours quand on descend.

Les surfaces isobares sont les ensembles de points d'égale pression. Donc les surfaces isobares sont des plans horizontaux.

⇒ La pression est la même en tous les points d'un même plan horizontal.

Réciproquement, si la pression est la même, la surface est un plan horizontal ce qui explique que la surface libre d'un liquide au repos soit un plan horizontal.

A priori la masse volumique d'un fluide devrait dépendre de deux variables indépendantes (pression et température). Or ρ(M)= -

€

1 g ⋅dp

dz montre ρ ne dépend que de l'altitude z. Ce qui veut dire qu'à même altitude il y a même pression et même température.

En conclusion, dans le cas le plus fréquent où les seules forces volumiques sont les forces de pesanteur

 les plans horizontaux sont à la fois isobares (même pression), isothermes (même température) et d'équi- masse volumique.

II.3.

Hydrostatique

C'est la statique des fluides quand le fluide est un liquide, c'est à dire incompressible. Sa masse volumique ne dépend pas de la pression, si l'on suppose la température uniforme, ρ est constante.

II.3.1.

Champ de pression

Sur des hauteurs raisonnables, on peut considérer que g est une constante et calculer la différence de pression entre deux points d'un même liquide (même masse volumique) en intégrant la relation fondamentale :

€

dp

dz = - ρ–g = constante.

→ p(z) - p(z₀) = - ρ–g –(z - z₀) Ce qui se traduit également par : p(z) + ρ–g –z = p(z₀) + ρ–g–z₀

⇒ La quantité (p + ρ–g–z) est la même en tous les points d'un même liquide en équilibre.

II.3.2.

Conséquences

• Ordres de grandeur : considérons de l'eau de masse volumique ρ = 1,0–10³ kg–m^-3. Si à la côte z = 0 la pression est p₀ = 10⁵ Pa, à 10 m de profondeur (z = - 10 m) la pression vaut :

p(-10m) = p₀ - ρ–g –z = 1,0–10⁵ + 10³–9,8–10 = 1,98–10⁵ Pa la pression a quasiment doublé.

• Principe des vases communicants

Si deux récipients de forme quelconque communiquent et contiennent le même liquide, à la même altitude z la pression p(z) est la même dans les deux récipients. En particulier aux l'interfaces atmosphère/liquide la pression est la pression atmosphérique pour les deux récipients donc ces deux interfaces sont à la même altitude.

• Variation de pression : la différence p₂ - p₁ entre deux points d'un même liquide est toujours égale à - ρ–g–(z₂ - z₁). Si par un moyen quelconque on produit en un point d'un liquide une variation de pression

∆p, la pression varie du même ∆p en tout point du liquide.

 Théorème de Pascal : Les liquides transmettent intégralement les variations de pression.

z p₀ p0

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Sur ce principe est basé le fonctionnement des vérins hydrauliques et des freins automobiles.

II.3.3.

Applications

• Distribution de l'eau : l'ensemble des circuits d'eau d'un même quartier constitue un ensemble de "vases communicants", le château d'eau constituant le point le plus haut. Quand on ouvre un robinet, on met ce "vase" à la pression atmosphérique donc l'eau cherche à atteindre l'altitude du château d'eau. Pour distribuer l'eau dans tout le quartier, il suffit d'une seule pompe pour remplir le château d'eau.

• Manomètres hydrostatiques pour mesurer des différences de pressions : p1 - p0 = - ρ–g–(z1 - z0) > 0.

Ceci justifie aussi les mesures de pression en hauteur de liquide :

exemple un baromètre à mercure (ρ = 13,6–10³ kg–m^-3)est constitué d'un tube fermé à une extrémité et retourné sur une cuve à mercure. Il mesure la pression atmosphérique p_a = 1,0–10⁵ Pa. Soit p₀ la pression au dessus du mercure : p_a - p₀ = ρ–g–h. Si p₀ est nul, h = 750 mm.

Or on constate que la hauteur est effectivement de l'ordre de 750 mm donc p₀ est nul → il y aurait du vide au dessus du mercure. En fait, au dessus du liquide il n'y a pas une pression nulle mais la pression de vapeur saturante du mercure soit quelques pascals.

Même expérience avec un baromètre à eau (ρ = 1,0–10³ kg–m^-3) → h_eau = 10,2 m = 1020 cm pour une pression de 1 bar = 1000 mbar → 1 mbar = 1 hPa ≈ 1 cm d'eau.

La pression absolue est la pression par rapport au vide (la pression du vide est nulle).

On peut exprimer la pression par rapport à la pression atmosphérique prise comme référence : on obtient alors la pression relative (p_relative = p_absolue - p_atm).

En fait ce qui est la plupart du temps utile est la différence de pression entre deux points d'un fluide ou pression différentielle ∆p = p₂ - p₁.

Rappelons que ce principe a été établi en considérant les liquides comme incompressibles, ce qui est une approximation valable.

II.3.4.

Unités de pression

La seule unité de pression du système international est le Pascal. Mais d'autres unités subsistent.

Nous avons vu les unités dérivées de l'hydrostatique : le bar et le mmHg (ou Torr).

Les garagistes utilisent encore le "kilo" pour kilogramme force par centimètre carré. C'est une unité dérivée des forces de pression : 1 kgf–cm^-2 est la pression exercée par un objet de masse 1 kg sur une surface de 1 cm² soit 9,81–10⁴ Pa. à peu de chose près ça fait 1 bar.

De la même manière les Américains utilisent encore le pound per square inch : 1 psi = 6,89–10³ Pa. Mais ils sont fous les Américains !!!

Les chimistes utilisent parfois encore l'atmosphère 1 atm = 101 325 Pa = 760 mm Hg. Elle correspond à la pression "normale" autrefois conventionnelle. La pression conventionnelle est maintenant la pression standard p° = 1 bar.

II.4.

Aérostatique

C'est la statique des fluides quand le fluide est un gaz, c'est à dire compressible.

Les gaz usuels (air, H2, O2,etc …) dans les conditions habituelles de température et de pression, peuvent être considérés comme parfaits, donc ρ=

€

m V =

€

M⋅p

R⋅T (m= masse ; M= masse molaire).

La relation fondamentale : dp = - ρ–g–dz = -

€

M⋅p

R⋅T –g–dz donne

€

dp p = -

€

M⋅g

R⋅T –dz.

II.4.1.

Atmosphère isotherme

Si la température est constante, on obtient par intégration entre z = 0 (pression p_o) et z :

€

p0

∫

p

€

dp p = -

€

0

∫

z

€

M⋅g

R⋅T –dz = -

€

M⋅g R⋅T –

€

0

∫

z ^{dz soit p = p0–}

€

e⁻

M⋅g R⋅T⋅z

z₀ p₀

p₁ z₁

manomètre

h p ≈0

p_a baromètre

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Cette relation est dite du nivellement barométrique. Elle signifie que la pression décroît exponentiellement avec l'altitude. Concrètement pour pouvoir considérer la température comme constante, il faut que z ne soit pas trop grand.

Question 1 Calculer le rapport de pression entre le sol et le plafond de la salle de classe.

Données : z = 3,5 m ; g = 9,8 m.s^-2 ; M = 29 g–mol^-1 ; T = 293 K et R = 8,31 J–mol^-1–K^-1. Réponse : 0,99959.

 Une conclusion s'impose : la pression est la même en tout point de la salle de classe, elle sera la même à plus forte raison en tout point d'un récipient plein de gaz, donc on peut parler de la pression du gaz.

II.4.2.

Interprétation statistique

Le terme M–g–z est homogène à une énergie. On retrouve donc le même facteur

€

e⁻

E^#

R⋅Tque dans l'équation d'Arrhénius en cinétique chimique. Ceci mérite un petit détour.

Supposons que l'air ne contienne que du diazote N₂, et soit m la masse de chacune des molécules. Le terme

€

M⋅g⋅z R⋅T =

€

m⋅g ⋅z k⋅T =

€

E_p

k ⋅T (k est la constante de Boltzmann et E_p l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule).

La densité moléculaire est n* =

€

N V =

€

n⋅N_A V =

€

m ⋅N_A M⋅V =

€

ρ ⋅N_A M =

€

M⋅p R⋅T–

€

N_A M =

€

p k ⋅T =

€

p₀ k⋅T–

€

e⁻

Ep

R⋅T

A température constante

€

p₀

k⋅T est constante et le nombre de molécules ayant l'énergie Ep ne dépend que de E_p par le facteur statistique appelé facteur de Boltzmann :

€

e⁻

Ep

R⋅T.

Ce résultat est généralisable : lorsqu'un système thermodynamique, en équilibre à la température T, est constitué de molécules dont l'énergie individuelle E peut prendre différentes valeurs, les molécules se répartissent sur les différents niveaux d'énergie proportionnellement au facteur

€

e⁻

E

R⋅T qui est une fonction décroissante de E. Autrement dit les niveaux de plus basse énergie sont les plus peuplés.

II.4.3.

Variation de T avec l'altitude

Si on admet que la température varie avec l'altitude selon : T = T_o - a–z on a :

€

dp p = -

€

M⋅g R –

€

dz T₀−a ⋅z

→ si g reste constant Ln

€

p p₀ =

€

M⋅g R⋅a –Ln

€

T0−a⋅z T₀ =

€

M⋅g R⋅a –Ln

€

T

T₀ soit : p = p₀–

€

T T₀

"

# $ %

&

'

M⋅g R⋅a

Question 2 : Si la température baisse de 6º tous les 1000 m, a = 6–10^-3 K–m^-1. La température au niveau de la mer est T_o = 298 K, au sommet du Mont Blanc (z = 4810 m) T = 269 K. Calculer le rapport des pressions en considérant que g est constant (en fait g varie avec l'altitude. Au sommet du Mont Blanc g = 9,79 m.s^-2 ce qui produit une erreur négligeable).

Réponse : 0,558 on trouverait 0,571 en négligeant la variation de température

III. Forces de pression III.1.

Position du problème

La force de pression exercée par le fluide sur un élément de surface dS est

€

d

f = p(M)–

€

d S où

€

d f et

€

d

S sont orientés du fluide vers la surface.

Dans le cas d'un liquide, de masse volumique ρ, surmonté d'un gaz à la pression p, on a en un point M : p(M) = p + ρ–g–h →

€

d

f = (p + ρ–g–h)–

€

d

S . La force de pression exercée sur un élément de surface dépend de la profondeur à laquelle se trouve cet élément de surface.

Nous cherchons

€

F  =

€

∫∫

S

€

d f =

€

∫∫

S^p(M)–

€

d

S où l'intégrale porte sur toute la surface S de la paroi dont la forme peut être quelconque, ce qui rend parfois difficile le calcul de l'intégrale.

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On peut éviter ce calcul en considérant que le fluide, soumis à son poids

€

P  et à la résultante

€

F ' des forces qu'exerce sur lui l'ensemble des parois, est en équilibre donc

€

P + 

€

F ' = 

€

0  .

€

F  ' est l'opposée de l'action

€

F  du fluide sur les parois. Principe des actions mutuelles :

€

F + 

€

F ' = 

€

0  et

€

P + 

€

F ' = 

€

0  →

€

P = 

€

F . 

 Conclusion : les forces pressantes exercées par un fluide en équilibre sur l'ensemble des parois du récipient qui le contient admettent une résultante égale au poids du fluide. C'est donc dans tous les cas une force verticale descendante.

III.2.

Théorème d'Archimède

Le solide de surface extérieure S est immergé dans un fluide de masse volumique ρ. Il est soumis à son poids

€

P  et aux forces de pression exercées par le fluide.

Sur chaque élément dS de la surface, autour d'un point M, le fluide exerce la force

€

d

f = p(M)–

€

d

S dirigée vers l'intérieur du solide.

La pression ne dépend que du point M, et le vecteur

€

d

S ne dépend que de la position et de la forme de la surface. La résultante de toutes ces forces élémentaires ne dépend donc que de la forme du solide et de sa position dans le liquide.

En l'absence de corps, on peut étudier l'équilibre de la portion de fluide qui a remplacé le corps. Elle a exactement la même forme et est limitée par la même surface.

Elle est en équilibre sous l'effet de son poids

€

P  ' et de la force de pression que le reste du fluide exerce sur elle.

€

P ' + 

€

F ' = 

€

0  . Or

€

F  ne dépend que de la forme et de la position de la surface, pas de l'objet qui subit cette force. Le solide était donc soumis à la même force

€

F  et on a

€

F = - 

€

P '.

Enoncé : Les forces de pression exercées par un système de fluides en équilibre sur un solide indéformable immergé ont pour somme une force opposée (et égale) au poids des fluides déplacés. Cette force s'appelle la poussée d'Archimède.

L'équilibre du solide s'écrit

€

P + 

€

F = 

€

0  et

€

M  O(

€

P ) + 

€

M  O(

€

F ) = 

€

0  avec

€

F = - 

€

P ' et O point quelconque.

Le poids du solide est appliqué au centre de masse G du solide, la poussée d'Archimède au centre de masse C du fluide déplacé, appelé aussi centre de poussée. Le solide est en équilibre si G et C sont sur la même verticale.

Le théorème d'Archimède ne s'applique que si le solide et les fluides sont en équilibre. Il s'applique pour un solide immergé dans un seul fluide ou dans plusieurs. Chacune des parties du solide est alors soumise à une poussée d'Archimède opposée au poids de fluide déplacé.

Applications :

• corps flottants et autres montgolfières

• mesure des densités.

III.3.

Force de pression sur une paroi plane

III.3.1.

Equilibre d'un piston

Soit un piston de masse m et d'aire S mobile sans frottement dans un cylindre.

Il sépare de fait l'air extérieur à la pression p_e et un gaz intérieur à la pression p_i. Le piston est en équilibre sous l'action de trois forces : son poids 

P = m• 

g , la force de pression

€

F  _e= - p_e•S•

e z exercée par l'air extérieur et la force de pression

€

F  _i= p_i•S•

e z exercée par le gaz intérieur → m• 

g +

€

F  _e +

€

F  _i= 

0 → - m•g + pi•S – pe•S = 0 → pi = pe + m ⋅g S On peut poser µ = m

S masse par unité de surface du piston → p_i = p_e + µ•g La pression du gaz intérieur est plus grande que celle du gaz extérieur.

Si la masse du piston est négligeable, les pressions sont égales des deux côtes du piston de même que si le piston est posé verticalement entre les deux compartiments, la réaction du support compensant alors le poids du piston.

dS

€

d f _G

€

P 

S P Piston

pe

p_i Fi

Fe

ez

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III.3.2.

Fond horizontal d'un récipient

Un élément de la surface du fond du récipient est soumis à la force de pression exercée par le fluide intérieur

€

d

f i = - (p_o + ρ–g–h)–dS–

€

e  z descendante et à la force de pression exercée par l'air extérieur :

€

d

f e = p_o–dS–

€

e  z ascendante.

Pour l'ensemble du fond de surface S on a :

€

F  i = - (p_o + ρ–g–h)–S–

€

e  _z et

€

F  _e= po–S–

€

e  z ces deux forces étant verticales de sens opposés. Globalement le fond subit la force de pression

€

F  =

€

F  i +

€

F  0 = ρ–g–h–S–

€

e  _z verticale, descendante que l'on applique au centre du fond par raison de symétrie.

Remarquons que

€

F  ne dépend pas de la forme du récipient tant que celui-ci a un fond plan et horizontal de surface S. Elle ne dépend pas de la quantité de liquide dans le récipient mais seulement de la hauteur du liquide. Elle est égale au poids d'un cylindre de liquide de base S et de hauteur h (volume S–h, masse ρ–S–h, poids ρ–g–S–h) qui peut être inférieur, supérieur ou égal au poids du liquide selon la forme du récipient.

III.3.3.

Forces de pression sur des parois latérales planes

Exemple : soit une piscine remplie d'eau sur une hauteur de h. Calculons la force de pression subie par l'une des parois verticales de longueur L.

Un élément dS = L–dz de paroi, situé à l'altitude z, subit la force de pression exercée par le fluide intérieur

€

d

f i = p_z–L–dz–

€

e  _x où p_z =p₀ + ρ–g–(h -z) et à la force de pression exercée par l'air extérieur :

€

d

f e = - po–L–dz–

€

e  x

Soit au total :

€

d

f i = ρ–g–(h -z) –L–dz–

€

e  x →

€

F = 

€

0

∫

h^{ρ–g–(h -z) –L–dz–}

€

e  x pour l'ensemble de cette paroi, située entre les cotes 0 et h.

→

€

F  = ρ–g–L–h–

€

0

∫

h ^dz–

€

e  x - ρ–g–L–

€

0

∫

h ^{z –dz–}

€

e  x= ρ–g–L–h²–

€

e  x-

€

1

2–ρ–g–L–h²–

€

e  x =

€

1

2–ρ–g–L–h²–

€

e  x

Mais cette force ne s'exerce pas uniformément sur la paroi : elle est plus intense en bas qu'en haut.

Son point d'application est déduit de ce que le moment en un point quelconque de la force résultante doit être égal à la somme des moments en ce même point de toutes les forces

€

d

f i subies par chacun des points de la paroi.

A voir en exercice

dS

€

d f _e

€

d f _i

h p₀

p₀

dS

€

d f _e

€

d f i

h p₀

p₀ 0

z

x