En une extrémité a de I qui appartient à I , on impose seulement la convergence du côté de l'intervalle : à droite dans le cas [a, .. à gauche dans le cas ..., a] . On note respectivement f

MPSI B Année 2017-2018. DM 7 pour le 01/12/17 29 juin 2019

Problème

Une fonction f dénie dans un intervalle I de R est dite réglée lorsque, pour tout x dans I privé de ses extrémités, elle admet strictement à gauche et à droite de x des limites nites.

En une extrémité a de I qui appartient à I , on impose seulement la convergence du côté de l'intervalle : à droite dans le cas [a, .. à gauche dans le cas ..., a] . On note respectivement f

(x) et f

(x) ces limites.

Pour toute fonction f dénie dans un intervalle I de R, on dénit la fonction saut par s

(x) = f

(x) − f

(x) pour tout x dans I privé de ses extrémités.

D'après la dénition de la continuité, f est continue en x si et seulement si f

(x) = f (x) = f

(x)

ce qui est équivalent à s

(x) = 0 .

Un point de discontinuité de f est un réel x en lequel f n'est pas continue. On appelle alors saut de discontinuité en x le réel non nul s

(x) .

Pour tout réel r > 0 , on dénit dans [0, +∞[ des fonctions f

et g par :

∀x ≥ 0, f

(x) = br √ xc

g = 2f

− f

− f

avec a = 1

√ 2 , b = √

2 − 1, c = 1.

1. Soit f et g des fonctions réglées et λ un réel quelconque. Montrer que f + g et λf sont réglées et que s

= λs

, s

= s

+ s

.

2. Montrer que, pour tout réel r , la fonction f

est réglée. Quels sont ses points de discontinuité ? les sauts associés ?

3. Donner la représentation graphique de g sur l'intervalle [0, 10] . 4. Montrer que −1 , 0, 1 sont les seules valeurs possibles de g .

5. On constate que, sur [0, 10] , la fonction g ne présente que des sauts de discontinuité de −1 (comme en x = 1 ou x = 4 ) ou de +2 (comme en x = 8 ) .

Démontrer qu'en fait, tous les sauts de discontinuité de g sont de ce type. On pourra considérer les ensembles de points de discontinuité de f

, f

, f

.

6. Sur un intervalle [A, +∞[ quelconque, la fonction g prend-elle chacune des valeurs −1 , 0 , +1 ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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