MPSI B 2009-2010 DM 8 29 juin 2019
Problème I.
On dénit, pour tout entiern≥1, une fonctionfn deRdansRen posant
∀x∈R, fn(x) =xn+xn−1+· · ·+x2+x−1
1. Montrer qu'il existe un unique réelan strictement positif tel quefn(an) = 0. 2. Montrer que(an)n∈N∗ est monotone, en déduire sa convergence.
3. Montrer quea2∈]0,1[. En déduire la convergence et la limite de (an+1n )n∈N∗
puis la limitel de(an)n∈N∗.
On pourra montrer quean= 12(1 +an+1n ).
4. Préciser, suivantx∈]0,1[et x6= 12, la limite de (fn(x))n∈N∗. En déduire directement, sans utiliser 2 la convergence et la limitel de(an)n∈N∗.
Pour toutε >0, on pourra considérer les suites fn(12 −ε)
n∈N∗ et fn(12+ε)
n∈N∗. 5. Trouver un équivalent simple à la suite(an−l)n∈N∗.
On pourra étudier d'abord la limite de((2an)n+1)n∈N∗.
Problème II.
Une fonctionf dénie dans un intervalleI deRest dite réglée lorsque, pour toutxdans Iprivé de ses extrémités, elle admet strictement à gauche et à droite dexdes limites nites.
En une extrémitéa deI qui appartient àI, on impose seulement la convergence du côté de l'intervalle : à droite dans le cas[a, ..à gauche dans le cas..., a]. On note respectivement fg(x)et fd(x)ces limites.
Pour toute fonction f dénie dans un intervalle I deR, on dénit la fonction saut par sf(x) =fd(x)−fg(x)pour toutxdansI privé de ses extrémités.
D'après la dénition de la continuité,f est continue enxsi et seulement si fg(x) =f(x) =fd(x)
ce qui est équivalent àsf(x) = 0.
Un point de discontinuité def est un réelx en lequelf n'est pas continue. On appelle alors saut de discontinuité enxle réel non nul sf(x).
Pour tout réelr >0, on dénit dans[0,+∞[des fonctionsfr et gpar :
∀x≥0, fr(x) =br√ xc
g= 2fa−fb−fc avec a= 1
√
2, b=√
2−1, c= 1.
1. Soitf etgdes fonctions réglées etλun réel quelconque. Montrer quef+g etλf sont réglées et quesλf =λsf ,sf+g=sf+sg.
2. Montrer que, pour tout réel r, la fonction fr est réglée. Quels sont ses points de discontinuité ? les sauts associés ?
3. Donner la représentation graphique deg sur l'intervalle[0,10]. 4. Montrer que−1,0, 1sont les seules valeurs possibles deg.
5. On constate que, sur [0,10], la fonction g ne présente que des sauts de discontinuité de−1 (comme enx= 1oux= 4) ou de+2(comme en x= 8).
Démontrer qu'en fait, tous les sauts de discontinuité degsont de ce type. On pourra considérer les ensembles de points de discontinuité defa,fb, fc.
6. Sur un intervalle[A,+∞[quelconque, la fonctiong prend-elle chacune des valeurs−1, 0,+1?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1008E
