En une extrémité a de I qui appartient à I , on impose seulement la convergence du côté de l'intervalle : à droite dans le cas [a, .. à gauche dans le cas ..., a] . On note respectivement f

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Une fonction f dénie dans un intervalle I de R est dite réglée lorsque, pour tout x dans I privé de ses extrémités, elle admet strictement à gauche et à droite de x des limites nites.

En une extrémité a de I qui appartient à I , on impose seulement la convergence du côté de l'intervalle : à droite dans le cas [a, .. à gauche dans le cas ..., a] . On note respectivement f

(x) et f

(x) ces limites.

Pour toute fonction f dénie dans un intervalle I de R, on dénit la fonction saut par s

(x) = f

(x) − f

(x) pour tout x dans I privé de ses extrémités.

D'après la dénition de la continuité, f est continue en x si et seulement si f

(x) = f (x) = f

(x)

ce qui est équivalent à s

(x) = 0 .

Un point de discontinuité de f est un réel x en lequel f n'est pas continue. On appelle alors saut de discontinuité en x le réel non nul s

(x) .

Pour tout réel r > 0 , on dénit dans [0, + ∞ [ des fonctions f

et g par :

∀ x ≥ 0, f

(x) = b r √ x c

g = 2f

− f

− f

avec a = 1

√ 2 , b = √

2 − 1, c = 1.

1. Soit f et g des fonctions réglées et λ un réel quelconque. Montrer que f + g et λf sont réglées et que s

= λs

, s

= s

+ s

.

2. Montrer que, pour tout réel r , la fonction f

est réglée. Quels sont ses points de discontinuité ? les sauts associés ?

3. Donner la représentation graphique de g sur l'intervalle [0, 10] . 4. Montrer que − 1 , 0, 1 sont les seules valeurs possibles de g .

5. On constate que, sur [0, 10] , la fonction g ne présente que des sauts de discontinuité de − 1 (comme en x = 1 ou x = 4 ) ou de +2 (comme en x = 8 ) .

Démontrer qu'en fait, tous les sauts de discontinuité de g sont de ce type. On pourra considérer les ensembles de points de discontinuité de f

, f

, f

.

6. Sur un intervalle [A, + ∞ [ quelconque, la fonction g prend-elle chacune des valeurs − 1 , 0 , +1 ?

Corrigé

1. Il s'agit d'une application immédiate des propositions relatives aux opérations sur les fonctions admettant des limites nies.

2. La fonction racine carrée est continue dans R

. D'après les propriétés de la fonction partie entière, elle est réglée. Les points de discontinuités de f

sont les x tels que r √

x soit entier c'est à dire tous les x de la forme

n

r

avec n ∈ N Pour chaque point de discontinuité, le saut est +1 .

3. La question précédente permet de former les discontinuités de chaque fonction : fonction discontinuités coecient

f

2 8 2

f

1 ( √

2 − 1)

-1

f

1 4 9 -1

On range les points de discontinuité par ordre croissant : 1 < 2 < 4 < 1

( √

2 − 1)

< 8 < 9

Entre deux discontinuités, la fonction g est constante. À chaque traversée d'une dis- continuité, la fonction f

correspondante augmente de 1. On obtient le graphe de g en partant de l'origine et en reportant les sauts en tenant compte du signe et du coecient (voir gure 1).

4. Par dénition d'une partie entière : r √

x − 1 < f

(x) ≤ r √ x

En combinant ces inégalités avec les coecients pour les trois fonctions, il vient : 2(a √

x − 1) − b √ x − c √

x <g(x) < 2a √

x − (b √

x − 1) − (c √ x − 1) (2a − b − c) √

x − 2 <g(x) < (2a − b − c) √ x + 2

Mais 2a − b − c = 0 et g(x) ∈ Z donc − 2 < g(x) < 2 entraîne g(x) ∈ {− 1, 0, 1 }.

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1

−1

1 2 4

1 (

√

(2)−1)²

8 9

Fig. 1: graphe de g

5. L'ensemble des points de discontinuité de g est l'union des ensembles de points de discontinuité de f

, f

, f

. Ces ensembles sont (d'après la question 2.) :

2p

, p ∈ Z

q

3 − 2 √

2 , q ∈ Z

r

, r ∈ Z

Ils sont deux à deux disjoints car √

2 ,

− √ 2 et √

2 − 1 sont irrationnels. On peut alors appliquer le résultat de linéarité du saut démontré en question 1. On en déduit qu'en un point de discontinuité de f

, le saut est +2 alors qu'en un point de discontinuité de f

ou f

le saut est − 1 .

6. Raisonnons en distinguant plusieurs cas et en exploitant le fait que g ne prend que les valeurs − 1 , 0 et 1 avec des sauts +2 ou − 1 et qu'aucun des trois ensembles de discontinité n'est majoré (il existe donc des discontinuités de chaque type après un réel arbitraire) :

Si g(A) = − 1 , le premier saut de discontinuité est forcément +2 . La fonction prend alors la valeur +1 . Le saut suivant est obligatoirement − 1 et la fonction g prend alors la valeur 0 .

Si g(A) = 0, le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur − 1 et on se retrouve dans le cas précédent.

Si g(A) = +1 , le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur 0 et on se retrouve dans le cas précédent.

La fonction g prend donc les trois valeurs sur tout intervalle [A, + ∞ [ .

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