Sujet 4

L.S.Marsa Elriadh

Sujet 4 ^{M : Zribi}

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Maths

2010-2011

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Exercice 1 :

Dans tout l’exercice, (O u v; , ) est un repère orthonormal direct du plan complexe . On désigne par A le point d’affixe zA = 1.

1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point d’affixe z'  z 2.

a. Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point 

d’affixe 1i 3.

b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T.

c. Déterminer l’image par la transformation T du cercle C de centre O et de rayon 1.

2. C’ désigne le cercle de centre O’ d’affixe 2 et de rayon 1.

a. Construire le point A’ appartenant au cercle C’ tel que :





b. À tout point M du cercle C d’affixe z, on associe le point M’ du cercle C’ d’affixe z’ tel que :





Déterminer le module et un argument de ^{z' 2}

z

 . En déduire que z' e^i3z 2



  .

c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que z' e zⁱ³ 2



  . 3.

À tout point M du plan, on associe le point M1 milieu du segment [MM’]. Quel est le lieu géométrique du point M1 lorsque M décrit le cercle C ?

Exercice2:

Dans le plan orienté P, on donne un carré ABCD de centre O tel que [2 ] ) 2

AD , AB

( ^ _ 

. On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD].

1/ a) montrer qu'il existe un unique déplacement f qui envoie A en B et D en A.

b) déterminer les éléments caractéristiques de f.

c) montrer que l'antidéplacement g transformant A en B et D en A est une symétrie glissante que l'on caractérisera.

2/ soit S la similitude directe qui envoie A en D et B en J.

a) déterminer l'angle et le rapport de S.

b) construire le centre  de S.

c) déterminer S((AC)) et S((BC)).

En déduire que le triangle OC est rectangle.

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d) déterminer l'image du carré ABCD par S.

e) montrer que les points A,  et K sont alignés.

Exercice 3:

Pour tout nIN*, on définie sur IR la fonction fn définie par fn(x)=(1-x)ⁿe²

x; on note n la courbe de fn dans un repère(O,i,j).

A/

1) a) étudier les variations de f1. b) tracer la courbe 1.

c) à l'aide d'une intégration par parties, calculer pour xIR, la valeur de l'intégrale F1(x)=

2x 1

0 f1(t)dt.

d) en déduire l'aire du domaine limité par la courbe 1, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

2) a) étudier les varierions de f2.

b) étudier la position relative de 1 et 2. c) tracer la courbe 2.

3/a) montrer que toutes les courbes n passent par deux points fixes.

b) montrer que la limite de fn(x) en -∞ est nulle pour tout n>1.

c) étudier le sens de variation de fn suivant la parité de n.

B/

Pour tout nIN*, on pose Fn(x)=^1^2x

0 fn(t)dt. 1/ justifier l'existence de Fn(x) pour tout xIR.

2/ montrer que Fn est dérivable sur IR et que F'n(x)= -2fn(1-2x).

3/ étudier le sens de variation de Fn suivant la parité de n.

Exercice 4:

1. On considère l’équation (E) : 8x+ 5y = 1, où (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.

a. Donner une solution particulière de l’équation (E).

b. Résoudre l’équation (E).

2. Soit N un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a ; b) de nombres entiers vérifiant :

8 1

5 2

N a

N b

 

  

 .

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a. Montrer que le couple (a ; b) est solution de (E).

b. Quel est le reste, dans la division de N par 40 ?

3. a. Résoudre l’équation 8x + 5y = 100, où (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.