2 Les normes fondamentales sur K

T OPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS

1 Définitions fondamentales

1.1 Normes et distances

D^ÉFINITION 1.1 : Norme

SoitEun espace-vectoriel surKet pune application deEdansR⁺. pest une norme si, et seulement si :

➊ ∀x∈E,∀λ∈R, p(λx) =|λ|p(x)

➋ ∀(x,y)∈E², p(x+y)¶ p(x) +p(y)

➌ ∀x∈E, p(x) =0⇒x=0

⋆Exemple : SoitC⁰([0, 1])l’espace-vectoriel des fonctions continues sur[0, 1].

On a les normes suivantes : – kfk_∞= sup

x∈[0, 1]

|f(x)|

– kfk₁= Z1

0

|f(x)|dx

⋆

D^ÉFINITION 1.2 : Espace-vectoriel normé

UnK-espace vectorielE est dit normé lorsqu’il est muni d’une norme.

D^ÉFINITION 1.3 : Comparaison des normes

Soient N₁ et N₂, deux normes sur E un espace-vectoriel . On dit queN₁ est dominée par N₂ si, et seulement si :

∃k∈R⁺, ∀x∈E,N₁(x)¶kN₂(x).

Équivalence des normes :

Les normesN₁etN₂sont dites équivalentes si et seulement s’il existe deux nombres réelsAetBstricte- ment positifs tels que les deux majorations suivantes soient vérifiées.

∀x∈E AN₁(x)¶N₂(x)¶BN₁(x) On note alorsN₁∼N₂.

Remarque :Dans le cas général, si〈., .〉est un produit scalaire, N : x7−→ 〈x,x〉¹² est une norme, avec de plus : N(x) = sup

N(y)¶1

|〈x,y〉|

⋆Exemple :

SurC⁰([0, 1]), les normesk.k₁etk.k_+∞ne sont pas equivalentes.

En effet s’il est évident que :

∀f ∈ C⁰([0, 1]),kfk = Z₁

|f(t)|dt¶ sup |f(t)|=kfk

On ne peut pas trouverC tel que

∀f ∈ C⁰([0, 1]), kfk_+∞¶kfk₁

⋆

D^ÉFINITION 1.4 : Distance associée à une norme

SoitN une norme surE un espace,-vectoriel, normé, on appelledistance associée àN l’application d : E×E−→[0,+∞[définie par :

d(x,y) =N(y−x)

P^ROPRIÉTÉ 1.1 :

Les propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :

➊ ∀(x,y)∈E², d(x,y) =0⇔x=y : axiome de séparation

➋ ∀(x,y)∈E², d(x,y) =d(y,x): axiome de symétrie

➌ ∀(x,y,z)∈E³, d(x,z)¶d(x,y) +d(y,z): inégalité triangulaire

➍ ∀(a,x,y)∈E³, d(x+a,y+a) =d(x,y): invariance par translation

➎ ∀(,λ,x,y)∈K×E², d(λx,λy) =|λ|d(x,y): homogénéité

2 Les normes fondamentales sur K

2.1 La normeN₁ On définieN₁telle que :

∀x= x₁, . . . ,x_n

∈Kⁿ, N₁(x) = Xn

j=1

x_j

2.2 La normeN₂ euclidienne On définieN₂telle que :

∀x= x₁, . . . ,x_n

∈Kⁿ, N₂(x) = v u u t

Xn j=1

x_j

2

2.3 La normeN_∞ On définieN_∞telle que :

∀x= x₁, . . . ,x_n

∈Kⁿ,N_∞(x) = sup

j∈J1,nK

|x_j|

3 Les normes fondamentales sur C ([a, b ])

3.1 La norme de la convergence en moyenne On définieN₁:

∀f ∈ C([a,b]),N₁(f) = Zb

a

|f(t)|dt

3.2 La norme de la convergence en moyenne quadratique On définieN₂:

∀f ∈ C([a,b]), N₂(f) = s

Z_b

a

|f(t)|²dt

3.3 La norme de la convergence uniforme On définieN_∞:

∀f ∈ C([a,b]), N_∞(f) = sup

t∈[a,b]

|f(t)|

4 Autour de l’ouvert...

4.1 Boules

D^ÉFINITION 4.5 : Boule ouverte–fermée

SoitE un espace-vectoriel normé ,a∈E, et r ∈R^∗₊. On appelle respectivement boule ouverte, boule fermée et sphère de centreaet de rayonr les ensembles :

B_o(a,r) = x∈E

kx−ak_E<r B_f(a,r) =

x∈E

kx−ak_E¶r S(a,r) =

x∈E

kx−ak_E=r

4.2 Vosinages, ouverts, fermés

DÉFINITION 4.6 : Voisinage

On appelle voisinage dea∈(E,k.k_E)toute partieV deE qui contient une boule de centrea. On note V_(E,k.k

E)(a)l’ensemble des voisinages dea.

P^ROPRIÉTÉ 4.2 :

Dans(E,k.k_E)un espace-vectoriel normé , on a :

➊ ∀a∈E,∀r ∈R^∗₊, B_o(a,r)∈ V_E(a)etB_f(a,r)∈ V_E(a)

➋ Toute union de voisinage deaest un voisinage dea.

➌ Toute intersectionfinie de voisinage de a en est un voisinage.

D^ÉFINITION 4.7 : Partie ouverte

Une partieΩ ⊂ E est diteouvertepour la norme k.k_E si Ω est un voisinage de chacun de ses points, c’est-à-dire :

∀x∈Ω, ∃r ∈R^∗₊, B(x,r)⊂Ω

P^ROPRIÉTÉ 4.3 :

➊ ∅, Eet les boules ouvertes sont des ouverts.

➋ Toute union d’ouverts est un ouvert.

➌ Une intersectionfinied’ouvert est un ouvert.

⋆Exemple :

Voici un exemple qui justifie (en partie) le troisième item de la propriété ci-dessus :

\

n∈N^∗

−1 n, 1

n

={0}

⋆

D^ÉFINITION 4.8 : Partie ferméé

On dit queF ⊂Eest une partie fermée si son complémentaire∁_EF est ouvert.

Remarque :Cette définition est équivalente à :

Soit F ⊂ E, E un espace-vectoriel , si F est fermé, alors pour suite (x_n)_n∈N ∈ Fⁿ convergente vers x ∈E, x appartient àF .

DÉFINITION 4.9 : Intérieur

On appelleintérieur d’un ensemble A le plus grandouvert inclu dansA. L’intérieur deAest notéA.

D^ÉFINITION 4.10 : Adhérence

On appelleadhérence de A le plus petitfermé contenantA. L’adhérence deAest notéA.

⋆Exemple :

➊ L’intérieur de[0, 1]est]0, 1[.

➋ L’adhérence de]0, 1[est[0, 1].

⋆

DÉFINITION 4.11 : Densité

Un ensembleAest dense dans un espace-vectorielEsiA=E.

Ceci est équivalant à :

∀x∈E,∃(x_n)_n∈N⊂A, lim

n→+∞x_n=x

Remarque : La notion de limite ci-dessus est relative à la norme de E, en effet si l’on considère les espaces- vectoriels normés C¹([0, 1])etC⁰([0, 1])munis respectivement des normes :

➊ kxk_C¹= sup

x∈[0, 1]

|u(x)|+ sup

x∈[0, 1]

u^′(x)

➋ kxk_C⁰= sup

x∈[0, 1]

|u(x)|

C¹([0, 1])est dense dansC⁰([0, 1])pour la norme deC⁰.

5 Continuité

On considère dans cette section une applicationf de(E,k.k_E)−→(F,k.k_F) D^ÉFINITION 5.12 : Continuité simple

f est continue surE si, et seulement si :

∀x₀∈E, ∀ǫ∈R^∗₊, ∃η∈R^∗₊,kx−x₀k_E< η⇒ kf(x)−f(x₀)k_F < ǫ

Remarque :Il faut noté qu’iciηdépend de x₀etǫ.

DÉFINITION 5.13 : Uniforme continuité f est uniformément continue surEsi, et seulement si :

∀ǫ∈R^∗₊, ∃η∈R^∗₊, ∀(x,y)∈E², kx−yk_E< η⇒ kf(x)−f(y)k_F < ǫ

5.1 Applications particulières 5.2 Applications lipschitziennes

DÉFINITION 5.14 : Applications lipschiziennes

Soit une applicationf :E−→F. Soitλ∈R^∗₊. L’application f estλ-lipschitzienne si :

∀(x,y)∈E²,kf(x)−f(y)k_F ¶kx−yk_E Siλ <1 on dit quef estcontractante.

P^ROPRIÉTÉ 5.4 : Continuité et applications lipschitzienne Toute application lipschitzienne est emcontinue.

5.3 Applications linéaires

P^ROPRIÉTÉ 5.5 : Continuité et applications linéaires

Soitf une application linéaire deEdansF. f est continue surEsi, et seulement si :

∀x∈E,∃c>0,kf(x)k_F <ckxk_E

6 Compacts

D^ÉFINITION 6.15 : Compact

Un espace-vectoriel normé Kestcompactsi, et seulement si de toute suite(x_n)_n∈N, on peut trouver une fonctionϕ : N−→Ncroissante telle que la suite extraite(x_ϕ(n))_n∈Nconverge versx∈K

P^ROPRIÉTÉ 6.6 : Fermé Borné Un espace compact est unfermé borné.

Attention: Les fermés-bornés ne sont pas toujours compacts sauf en dimension finie.

7 Suite de C

DÉFINITION 7.16 : Suite convergente (rappel)

Soit(E, k.k_E)unK-espace-vectoriel normé. La suite(x_n)_n∈N∈E^Nconverge versℓ∈Esi, et seulement si :

∀ǫ∈R^∗₊, ∃N ∈N, n>N ⇒ kx_n−ℓk_E¶ǫ

DÉFINITION 7.17 : Suites de CAUCHY

Soit(E,k.k_E)un espace-vectoriel normé ,(x_n)∈E est une suite de CAUCHYsi :

∀ǫ >0,∃N >0, (m¾N etn¾N)⇒ kx_m−x_nk_E< ǫ

Remarque :Toute suite convergente est deCAUCHY. Attention la réciproque est fausse.

8 Espaces Complets

D^ÉFINITION 8.18 : Complétude

Soit(E,k.k_E)un espace-vectoriel normé .(E,k.k_E)est complet si toute suite de CAUCHYconverge.