Aufgabe 11.1. Sei K ein K¨ orper, n ≥ 2, 1 ≤ k, l ≤ n und e kl = (e kl ij ) ∈ M n (K), wobei der Koeffizient e kl ij ∈ K durch

http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

UBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I ¨

Blatt 11 ^∗ , 04.01.2008

Aufgabe 11.1. Sei K ein K¨ orper, n ≥ 2, 1 ≤ k, l ≤ n und e ^kl = (e ^kl _ij ) ∈ M n (K), wobei der Koeffizient e ^kl _ij ∈ K durch

e ^kl _ij =

( 1 falls i = k und j = l, 0 sonst

definiert ist. Also ist e ^kl die Matrix, deren (k, l)-Koeffizient 1 ist und alle anderen 0 sind. F¨ ur λ ∈ K und k 6= l, sei E ^kl (λ) = 1 + λe ^kl ∈ M n (K ).

(a) Zeige : E ^kl (λ)E ^kl (µ) = E ^kl (λ + µ) f¨ ur k 6= l. F¨ ur welche λ ∈ K ist E ^kl (λ) invertierbar ? (b) Zeige, dass E ^ij (λ) = E ^ik (λ)E ^kj (1)E ^ik (−λ)E ^kj (−1) falls i 6= j 6= k 6= i.

(c) Sei A ∈ K ^m,n und B ∈ K ^n,p , f¨ ur m, p ≥ 1. Beschreibe AE ^kl (λ) und E ^kl (λ)B.

Definition. Seien k 6= l. Eine Matrix der Form E ^kl (λ) ∈ M _n (K) heißt eine Elementarmatrix.

Aufgabe 11.2. Sei

A =





i −1 1

i − 1 −1 i + 1 i + 1 i − 1 1 − 2i



 ∈ M 3 ( C ) . Zeige, dass A invertierbar ist und berechne A ⁻¹ .

Aufgabe 11.3. Seien

A =





0 2 1 1

−1 3 1 2 2 4 3 1



 und B =





2 −1 3 4

−1 1 −2 −3

5 1 4 3



 ∈ Q ^3,4 .

Zeige, dass A und B ¨ aquivalent sind, und finde invertierbare Matrizen P und Q mit A = P BQ.

Aufgabe 11.4. Seien V und W K-Vektorr¨ aume und seien V ₁ , V ₂ ⊂ V und W ₁ , W ₂ ⊂ W Teilr¨ aume mit V = V 1 ⊕ V 2 und W = W 1 ⊕ W 2 . Ferner, sei f : V → W eine K-lineare Abbildung.

(a) Zeige : Es existieren eindeutige K-lineare Abbildungen f _ji : V _i → W _j mit 1 ≤ i, j ≤ 2, so dass f¨ ur v ₁ ∈ V ₁ und v ₂ ∈ V ₂ gilt f (v ₁ + v ₂ ) = f ₁₁ (v ₁ ) + f ₁₂ (v ₂ )

+ f ₂₁ (v ₁ ) + f ₂₂ (v ₂ )

∈ W ₁ ⊕ W ₂ . Man schreibt dann f =

f ₁₁ f ₁₂ f ₂₁ f ₂₂

.

(b) Sei B = {b ₁ , . . . , b _n } eine Basis von V , wobei B ₁ = {b ₁ , . . . , b _k } und B ₂ = {b _k+1 , . . . , b _n } Basen von V 1 , bzw. V 2 sind. Ebenso, sei C = {c 1 , . . . , c m } eine Basis von W , wobei C 1 = {c 1 , . . . , c l } und C 2 = {c l+1 , . . . , c m } Basen von W 1 , bzw. W 2 sind. Zeige, dass

C _C ^B (f ) = C _C ^B

1

(f ₁₁ ) C _C ^B

1

(f ₁₂ ) C _C ^B

2

(f ₂₁ ) C _C ^B

2

(f ₂₂ )

! .

Aufgabe 11.5. Seien m, n, p ≥ 1 und A ∈ K ^p,n mit Rang(A) = r. Berechne den Rang der K-linearen Abbildung ψ _A : K ^m,p → K ^m,n mit ψ _A (X) = XA f¨ ur X ∈ K ^m,p .

∗

Abgabe : Dienstag 15.01.2008, vor der Vorlesung.