I THEOREME DE THALES 1.

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ESPACE & GEOMETRIE EG43

Chapitre 3 5 UTILISER LE THEOREME DE THALES

I THEOREME DE THALES

1. Enoncé de la propriété

Soit ABC un triangle M un point de (AB)

N un point de (AC) Si (MN) // (BC) alors AM

AB = AN

AC = MN BC 2. Cas de figures possibles

1^er cas M [AB) et N [AC)

2^ème cas M  [AB) et N  [AC)

On dit aussi que ABC est l’image de AMN par une homothétie de centre A et de rapport k

- (MN) et (BC) sont parallèles - M [AB) et N [AC) - k est positif (k >0)

- AB = k  AM ; AC = k  AN et BC = k  MN

On dit aussi que ABC est l’image de AMN par une homothétie de centre A et de rapport k

- (MN) et (BC) sont parallèles - M, A, B alignés dans cet ordre - N, A, C alignés dans cet ordre - k est négatif (k <0)

- AB = -k  AM ; AC = -k  AN et BC = -k  MN

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3. Application

Pb Calculer ET et CB sachant que : EB= 6, ER = 2, EC = 5 et RT = 1

II RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES

1. Enoncé

Soit ABC un triangle M un point de (AB)

N un point de (AC) Si



AM

AB = AN AC

A,M,B dans le même ordre que A,N,C

alors (MN) // (BC)

Remarque : cette propriété s’applique dans les deux cas de figure du I.

2. Application

Pb montrer que (AI) et (CD) sont parallèles

Etape 1 : calculs des deux rapports



 

^LA_LD⁼¹₈

LI LC = 3

24 = 1 8

donc (Etape 2 : comparaison des deux rapports)LA LD = LI

LC

Dans le triangle EBC, avec R un point de (EC) et T un point de (EB)

Je sais que (RT) // (CB) donc d’après le théorème de Thalès ER

EC = ET EB = RT

CB ET = EB  ER

EC

= 6  2 5

= 2,4

CB = EC  RT ER

= 5  1 2

= 2,5

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Etape 3 : Utilisation de la réciproque du théorème de Thales

Dans le triangle LAI, avec C un point de (LI) et D un point de (LA) Je sais que



LA LD = LI

LC

L,A, D alignés dans le même ordre que L,I,D

donc d’après la réciproque du théorème de Thalès (AI) // (DC)