Theoreme de Miller

Cours 6

BJT: Haute Frequence

2

Recapitulons

• On a parle de silicium

• Doper le silicium pour conductivite (N et P)

• N et P ensemble: diode

• 2 diodes (dos a dos): BJT

• Analyse DC

• Analyse petit signal

• Analyse basse-frequence

Haute vitesse

• Le dernier element, c’est l’analyse haute frequence.

• Avant de commencer l’analyse, on va parler du theoreme de Miller

• Phenomene important a haute vitesse

4

Theoreme de Miller

• Sous certaines conditions, ce circuit fonctionne comme un integrateur:

• Ce circuit a aussi une autre caracteristique importante

• Allons voir ce que c’est…

Theoreme de Miller

• Le courant qui entre va passer par le condensateur:

• Sachant que V_OUT=AV_IN, on pourrait ecrire:

• Et on peut finalement isoler V_IN/I_IN:

(

)

IN sC V V

I = −

(

)

IN sC V AV

I = −

I_IN

( )

[

]

s I

V_IN

= −

1

(

)

sC V

I_IN = _IN 1−

6

Theoreme de Miller

• Une source a l’entrée voit une impedance:

• Impedance de 1/sK… ca sonne familier!

• C’est l’impedance d’un condensateur de valeur K

• A la place de voir C, l’entree “voit” un condensateur de C(1-A)

• (1-A) fois plus gros que la vraie valeur de C

( )

[

]

s I

Z V

IN IN

IN = = −

1 1

Une capacite connectee aux bornes d’un ampli devient “plus grosse”

Theoreme de Miller

• Pensez a un circuit comme ceci:

• La source a l’entrée verrait ceci:

5pF

-100

vin vout

vin

505pF

A=-100 C=5pF

K=(1-A)C=505pF

8

Theoreme de Miller

• Pour tester la theorie, on a fait le test suivant:

-100

1K

1K

1K

5pF 505pF 5pF

1MHz

Frequence de coupure

f _dB RC

π 2

1

3 =

−

31.8MHz

315KHz 5pF

505pF

Si theorie est bonne:

1) 505pF et Miller devraient etre pareilles 2) Les 2 devraient ATTENUER le signal 3) 5pF ne devrait pas attenuer le signal

Theoreme de Miller

Entrée et

5pF

505pF et

Miller

~1.2v

~700mV

10

Theoreme de Miller

• Facon intuitive de le voir:

• La source injecte un signal

• Signal est amplifie mais est aussi INVERSE

• Signal RETOURNE PAR le condensateur

• Signal EMPECHE l’entrée de changer

-100

1K

5pF

1MHz

Ca, c’est pour l’entrée… allons voir la sortie Ex:

-L’entree veut monter

-Sortie baisse (100 fois plus) -La sortie retourne et empeche l’entrée de monter

Theoreme de Miller

• De la sortie, on voit:

• V_IN peut etre exprime en termes de V_OUT:

• On isole:

(

)

OUT sC V V

I = −



 



 −

= A

V V sC

I_{OUT OUT} ^OUT





−

= I sC

V

OUT OUT

1 1 1

A

I_OUT

V_OUT V_IN

Effet pas tres significatif

12

Theoreme de Miller

• Reprenons l’exemple de tantot:

• Condensateurs vus de chaque bord ressembleraient a ca:

vin

505pF

vout

4.95pF 5pF

-100

vin vout

Theoreme de Miller

• Theoreme de Miller:

• Condensateur connecte a amplificateur de gain A

• Circuit a l’entrée va VOIR un condensateur de valeur (1-A)C connecte au ground

• La sortie de l’amplificateur va VOIR un

condensateur de (1-1/A)C connecte au ground

14

Theoreme de Miller

• Importance du theoreme de Miller:

1) Condensateurs parasites aux bornes d’un amplificateur baisse les performances

– On essaie “d’annuler” l’effet de Miller

– Ou on essaie de trouver une autre configuration

2) En microelectronique, les condensateurs prennent beaucoup de place

– On a parfois besoin d’un gros C

– Solution: amplificateur de haut gain et petit C

Fermons la parenthese sur le theoreme de Miller…

Haute frequence: introduction

• On a vu comment polariser les transistors

• Mettre en region active pour amplifier

• Calculer gain et parametres petit signal

• Une fois polarise, on “injecte” un AC:

• Pour passer le AC et enlever le DC, on utilise les condensateurs entre les etages

• Si la frequence est assez elevee, le signal va passer

• Sinon, c’est considere comme du DC et est bloque

16

Haute frequence: introduction

• A basse frequence le gain sera faible

• C’est du a nos condensateurs C_I, C_O et C_E

• D’apres notre modele, on aurait ceci:

• Si la frequence est plus que ω₁, le gain sera A

• Meme si la frequence est infinie, le gain sera A…

ω A

ω₁

Semble un peu louche…

Haute frequence: introduction

• Imaginons un signal infiniment vite:

• Est-ce que l’amplificateur peut reagir aussi rapidement?

• NON. Les transistors prennent du temps pour changer de tension.

• Cependant, notre modele ne nous indique rien de tout ca.

• Notre modele est donc encore incomplet…

Allons voir ce qu’il manque…

18

Haute frequence: modele

• Les transistors sont “faits de diodes”

• Les cotes P et N d’une diode sont des conducteurs

• La region charge-espace est comme un isolant

• 2 conducteurs separes par un isolant forment un condensateur

P N

Chaque jonction PN est un condensateur

Haute frequence: modele

• Un transistor est forme de 2 diodes

• Il y a donc 2 condensateurs (BE et BC):

N P N

Base

Emetteur Collecteur

N P N

Base

Emetteur Collecteur

P N N

20

Haute frequence: modele

• Ca se traduit en un modele petit signal qui est plus complet

• Condensateur base-emetteur: c_π

• Condensateur base-collecteur: c_µ

• Le modele est presque complet…

C_π

C_µ

r_π r_o

Haute frequence: modele

• Modelise la resistance de la base avec r_π

• Cependant, r_π n’est pas complet.

• Ca tient compte du courant qui va a l’emetteur

• Un autre courant est utilise pour charger la region de la base

La resistance pour passer au travers de la base, c’est r

P N N

22

Haute frequence: modele

• r_x est negligeable a basse vitesse

• L’effet des condensateurs etait negligeable

• Avec les condensateurs et a haute vitesse, ca change la performance.

C_π

C_µ

r_π r_o

r_x

BASE COLLECTEUR

EMETTEUR

On a maintenant un modele plus complet

Haute frequence

• Avec un modele plus complet, le transistor ne fonctionnera plus infiniment vite

• Il sera un filtre passe bas (comme on va le voir)

• Pour caracteriser un filtre passe bas, on utilise la frequence de coupure ω_-3dB:

• “Jusqu’a quelle vitesse peut-on operer?”

• Retournons voir nos notions de base…

24

Parenthese: ω

• Le filtre passe bas le plus simple: RC

• Avec diviseur de tension:

R

C

vin vout

CR CR s

vin vout



 



 +

= 1 1 sC R

vin sC vout

+

= 1

1

1. T(s) 2. T(jω) 3. |T(jω)|

4. |T(jω_−3dB)|=-3dB 5. Isoler ω_-3dB

Parenthese: ω

• Pour frequences reelles, s=jω:

• L’amplitude du gain est:

CR CR j

vin vout



 



 +

=

1 ω

1

2

1 2

1

ω +



 





=

CR CR vin

vout

CR CR s

vin vout



 



 +

= 1 1

26

Parenthese: ω

• On veut la frequence a laquelle le gain chute de 3dB, c’est-a-dire a du max

• On isole ω_−3dB:

2 3

1 2

1 2

1

CR dB

CR  + ₋



 



= 

ω

2 1

dB CR

1

3 =

ω−

Parenthese: ω

• Semblable au filtre passe haut RC

• Valeur de ω_-3dB est ce qui est “a cote” du s

CR CR s

vin vout



 



 +

= 1 1

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-3dB

ω_-3dB

28

Emetteur commun

• Modele petit signal de l’emetteur commun

• Trouvons sa fonction de transfert

+ -

Emetteur commun

• Ayant deja fait l’analyse, je SAIS que c’est long. Je veux simplifier les choses.

• Au noeud a l’entrée, les courants sont petits

• Rappel: Petit courant I_B controle gros courant I_C…

30

Emetteur commun

• I_B est divise et une partie passe dans I_C

• Quand on analyse a la base, c’est important

• Du point de vue du collecteur, c’est negligeable

• Justification: I_C est β fois plus gros que I_B et c’est une fraction de I_B qui passe par c_µ

• Avec cette hypothese on procede…

Emetteur commun

• On regarde la sortie:

• Sachant que le courant est g_mv_a:

(

)

a m

out g v r R R

v = || ||

−

)

||

||

( _{o L C}

OUT

out I r R R

v = −

+ -

A cause de v , il faut une autre equation

Rappel: on neglige le courant dans c_µ

32

Emetteur commun

• On ecrit l’equation a l’entrée:

• On isole v_a:

out a

a a

x sig

a x

sig

in sC v sC v

r v v

r sC r

v r

r v

µ π µ

π + + −

+ = + −

( )

( ) ( ) ( )

a

x sig

x sig

x sig

out

in v

r r

C r C

s r

r

r r

v sC

v =













+ + +

+

+ +

||

1

µ π π

µ

va

Emetteur commun

• On substitue v_a dans la 1^re equation

• Isolons V_OUT/V_IN

• Deplacer les V_OUT a gauche

• Factoriser V_OUT

• Isoler V_OUT/V_IN

( )

( ) ( ) ( )

(

)

x sig

x sig

x sig

out in

m

out r R R

r r

C r C

s r

r

r r

v sC g v

v || ||

||

1 











+ + +

+

+

= +

−

µ π π

µ

34

Emetteur commun

• Apres deplacement et factorisation:

• On le rend plus beau:

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( o C L)

x sig x

sig

in m

L C o

x sig x

sig

x sig m

out r R R

r r C r

C s r r g v R

R r r r C r

C s r r

r r sC

v g || ||

||

1

||

||

||

1 1













+ + +

+

=

































+ + +

+ + +

−

µ π π π

µ π

µ

( ) ( ) ( ) m ( sig x)( o C L) m in( o C L)

x sig x

sig

out g sC r r r R R g v r R R

r r

C r C

s r r

v || || || ||

||

1  =









 + +











+ + +

+

− _µ

µ π π

Emetteur commun

• On isole:

• Mettons en evidence le ω_-3dB

( )

( ) (

) ( )









+ + +

+ +

= −

x sig

L C

o m x

sig

L C

o m in

out

r r

R r R

r g C

C s r

r

R R

r g v

v

||

|| 1

||

1

||

||

µ π π

( )

( )( ^{[ ( )]}) ( _{[ ( )]}) ([ )]^









+ +

+ + +

+ +

= −

x sig L

C o

m L

C o

m x

sig

L C

o m in

out

r r

r R

R r

g C

s C R

R r g C

C r r

R R

r g v

v

||

||

||

1

|| 1

||

1

||

||

π µ

µ π π

ω

36

Emetteur commun

• Premiere chose a verifier:

• Est-ce que c’est coherent avec nos resultats precedents?

• A basse frequence, s→0:

( )

( ) (

) ( )









+ + +

+ +

= −

x sig

L C

o m x

sig

L C

o m in

out

r r

R r R

r g C

C s r

r

R R

r g v

v

||

|| 1

||

1

||

||

µ π π

37

Emetteur commun

• En rearrangeant, on obtient:

( ) _^











+

− +

=

π π

r r

r R r

R r

v g v

x sig

L C

o m in

out || ||

Diviseur de tension a l’entree

( )











+

− +

=

π π

r r

r R r

R r

v g v

x sig

L C

o m in

out || ||

38

Emetteur commun

• Revoyons l’equation

• La valeur de c_µ est multipliee par (1-A):

( )

( )( [ ( )]) ( _{[ ( )]})[ ( )]^









+ +

+ + +

+ +

= −

x sig L

C o

m L

C o

m x

sig

L C

o m in

out

r r

r R

R r g C

s C R

R r g C

C r r

R R

r g v

v

||

||

||

1

|| 1

||

1

||

||

π µ

π µ

π

( )

( )( [ ^{( )}]) ( _{[ ( )]})[ ( )]^









+ +

+ + +

+ +

= −

x sig L

C o m L

C o m x

sig

L C o m in

out

r r

r R R r g C

s C R

R r g C

C r r

R R r g v

v

||

||

||

1

|| 1

||

1

||

||

π µ

π µ

π

R C

Est-ce que ca rappelle des souvenirs?

Emetteur commun

• Ca nous rappelle le theoreme de Miller:

• C aux bornes d’un amplificateur de gain A

• L’entrée voit C de valeur (1-A)C

• L’emetteur commun a une capacite de Miller:

C_µ

Entree Sortie

-g_m(R_C||R_L||r_o)

V_OUT V_IN

C_µ

Donc la valeur de c_µ sera multipliee par (1-A)

40

Emetteur commun

• Rafaisons l’analyse avec le theoreme de Miller

• On prend c_µ et on le separe en 2 parties

• La capacite a l’entrée on l’appelle C_M

• La capacite a la sortie est negligee (pour etre coherent avec tantot)

R_C R_SIG

vin

vout

C_π r_π r_o

r_x

R_L

Voyons si on obtient le meme resultat que tantot

Emetteur commun

• Tension sortie:

• Tension v_a (diviseur de tension):

R_C R_SIG

vin

vout

C_π r_π r_o

r_x

R_L

C_Μ

(

)

a m

out g v r R R

v = || ||

−







 + + +

= +

) (

|| 1

) (

|| 1

M x

sig

M in

a

C C

r s r

r

C C

r s v

v

π π π π

42

Emetteur commun

• Apres beaucoup de manipulations:

• On substitue:

( )

(

)

x M sig

in a

r r

C r C

r s v r

v

+ + + +

=

||

) 1 (

1 1

π π

( ) ( )

(

)

x M sig

L C

o m in

out

r r

C r C

r s R r

R r

v g v

+ + + +

−

=

||

) 1 (

1

|| 1

||

π π

Emetteur commun

• C_M c’est la capacite de Miller:

• On obtient la meme reponse (si on divisait en haut et en bas par C_M)

( )

[

]

M C g r R R

C = _µ 1+ || ||

( )

( )

(

)

L C

o x m

sig L

C o

m in

out

r r

R r R

r g C

C r s

R r R

r v g

v

+ + +

+ +

−

=

||

) 1

||

||

( 1

[ (

1

|| 1

||

µ π π

C_M

44

Emetteur commun: discussions

• C_µ est normalement faible

• Multiplication de Miller le rend eleve

• Baisse la frequence de coupure haute frequence

• Empeche les circuits de fonctionner vite

• Le probleme se trouve a l’entrée de l’ampli

• On va souvent vouloir eliminer l’effet de Miller.

• On verra le “comment” plus tard…

Passons maintenant a la base commune…

45

Base Commune

• Pour simplifier l’analyse, on neglige r_x et r_o

rx Cµ

Cπ rπ

RSIG

RC RL

v_in

v_out

+ -

46

Base Commune

• Equation de sortie:

• Il faut une autre equation. Pour l’instant, isolons v_a:











− 

= _{m a C L}

out R R

v sC g

v 1 || ||

µ

rx Cµ

Cπ rπ

RSIG

RC RL

a L

C m

out v

R sC R

g

v =











− 

||

1 ||

µ

Base Commune

• On ecrit une equation a l’entrée:

• On factorise v_a:











 + + +

= _m

sig a

sig

in g

sC r v r

r v

π π

1 1

rx

Cµ

Cπ rπ

RSIG

RC RL

( )

π π

r v v

sC v

r g v

v _a

a a

m sig

a

in − + − = +

48

Base Commune

• On substitue:

• Avec des manipulations algebriques:











 + + +











=  _m

sig L

C m

out sig

in g

sC r R r

sC R g

v r

v

π π µ

1 1

||

1 ||

( )

( )

( )

out sig

sig L

C

L C

m

v v

r r r r

sC R

R sC

R R

g =



















 + +

+ +

π π π

µ

β ¹ 1

||

||

Base Commune

• Verification: gain a basse frequence (s→0)

• Gain intrinseque: g_m(R_C||R_L)

• Diviseur de tension entre r_sig (deplace a la base) et r_π.

( ) ( )

in out L

C m

sig v

R v R

r g r

r  =











+

+ ||

β 1

π

π

50

Base Commune

• On voit qu’il y a 2 poles

• Un des poles est typiquement “dominant”

• Sa frequence est beaucoup plus basse

• En base commune, R_SIG doit etre faible:

• 2e pole devient negligeable.

( )

( )

( ) ^{( )}

out sig

sig L

C

L C

m

v v

r r r r

sC R

R sC

R R

g =



















 + +

+ +

π π π

µ

β ¹

1

||

||

Base Commune

• On approxime la fonction de transfert avec

• On observe 3 choses:

• Le ω_-3dB est determine par la sortie

• Le ω_-3dB depend de C_µ et R_C||R_L

• C_µ est typiquement petit: frequence elevee.

• Pas de capacite de Miller

( )

( )

(

)

Passons maintenant au collecteur commun…

52

Collecteur Commun

• On ignore r_x et r_o

• On ecrit une equation a la sortie

vin

vout RSIG

rπ Cπ

Cµ

RE

( ) ( )

E out out

a m out

a out

a

R v v

v g

v v

r sC v

v − + − + − =

π π

v_a

+ -

Collecteur Commun

• On n’aime pas v_a et donc, on aura besoin d’une 2e equation

• On isole v_a avant de proceder:

• On factorise:

out m

out out

E out a

m a

a sC v g v

r v R

v v g v

r sC

v + + = + + _π +

π π π







 + + +

 =







 + + _m

E out

m

a sC g

r v R

g r sC

v _π

π π π

1 1

1

54

Collecteur Commun

• On isole v_a:

• On substitue par des plus beaux termes..







 +







 + +

=

π π

r sC r sC v R

v

e e E

out

a 1

1 1







 + +







 + + +

=

π π π π

π

r g r r sC

g r v R

v

m m E

out

a 1

1 1

1 ^β







 + +







 + + +

=

π π π π

π

r g r r sC

g r v R

v

m m E

out

a 1

1 1 1

r_e=r_π/(β+1)

Collecteur Commun

• On ecrit la 2e equation (a l’entrée)

• On factorise v_a pour faciliter la substitution

(

)

out a

a SIG

a

in sC v v

r v v v

R sC v

v − = + − + −

π π µ







 +

 −







 + + +

=

π π π π

µ sC v sC r

sC r v R

R v

out SIG

a SIG

in 1 1 1

vin

vout RSIG

rπ Cπ

Cµ

RE