DS3-2012_corrigé Partie A : « Lois Entrée / Sortie »

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C. Gabrion / DS3-2012_corrigé (version: 29/11/12) page 1/4

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Partie A : « Lois Entrée / Sortie »

1. Compresseur à cylindre oscillant

Le schéma de la figure ci-contre définit la cinématique d’un compresseur à cylindre oscillant. Il est constitué d’un carter S0, d’une manivelle S1, d’un piston S2 et du cylindre S3. La rotation continue de la manivelle engendre 2 mouvements de sortie : la translation alternative du piston dans le cylindre pour aspirer et refouler le gaz et la rotation alternative du cylindre.

On définit les repères suivants :

^R ⁰ ( ^O ^, ^X ⁰ ^, ^Y ⁰ ^, ^Z ⁰ )

lié à S0 ;

^R ¹ ( ^O ^, ^X ¹ ^, ^Y ¹ ^, ^Z ⁰ )

lié à S1 ;

^R ³ ( ^C ^, ^X ³ ^, ^Y ³ ^, ^Z ⁰ )

lié à S3, On notes les longueurs constantes de ce mécanisme : OA = a ; AB = l ; OC = c

On définit les paramètres suivants : - le déplacement du piston :

BC = λ .X 3

- l’orientation de la manivelle :

^α ⁼ ( ^X ^{0 X} ^, ¹ )

- l’orientation du cylindre :

^β ⁼ ( ^X ^{0 X} ^, ³ )

Question A-1 : Dessiner le schéma cinématique de ce mécanisme dans les deux positions où l’orientation du cylindre est extrême.

L’orientation du cylindre sera maximum lorsque la manivelle et le piston seront perpendiculaires :

Question A-2 : Définir un repère R2 lié au solide S2

( ^, ³ ^, ³ ^,

.

⁰ )

2 A X Y Z

R

En écrivant

OC = OA + AB + BC

, on obtient les deux équations suivantes :

 



+ +

−

=

+ +

−

=

2 . sin

. sin . sin . 0

1 . cos

. cos . cos .

eq b

a

eq b

a c

β λ β α

Question A-3 : En déduire la relation entre la rotation de la manivelle et le déplacement du piston :

λ = ^f ( α )

^.

Pour « manipuler » plus aisément ces deux équations, il est préférable de factoriser les termes contenant β :

 



+

= +

2 . sin

).

( sin .

1 . cos

).

( cos .

eq b

a

eq b

a c

β λ α

Pour « faire disparaître » la variable β, on calcule : α λ ⁾ ^² ^² ² ^. ^cos (

2 . 1

.

²

eq

²

b

²

c a ac

eq + ⇒ + = + +

Mécaniquement, on sait que λ > 0, donc on en déduit : b

ac a

c + + −

= α

λ ^² ^² ² ^. ^cos

Question A-4 : En déduire la relation entre la rotation de la manivelle et celle du cylindre :

β = ^f ( α )

^.

Pour « faire disparaître » la variable λ, on utilise les deux équations factorisées de la question précédente et on calcule :

α β α

cos . sin tan .

1 .

2 .

a c

a eq

eq

= +

⇒

On en déduit :

 

 





= +

α β α

cos . sin arctan .

a c

a

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3. Système de tension

Le schéma de la figure ci-contre définit la cinématique d’un système de tension constitué d’un carter S0, d’un excentrique S1, d’un levier S2 et du coulisseau S3. La rotation de l’excentrique engendre la rotation du levier et permet ainsi d’effectuer une translation du coulisseau. Ce dispositif permet de tendre un câble, fixé au point D, suivant l’axe Z0, à partir d’une légère rotation de l’excentrique.

On définit les repères suivants :

-

^R ⁰ ( ^O ^, ^X ⁰ ^, ^Y ⁰ ^, ^Z ⁰ )

lié à S0, -

^R ¹ ( ^O ^, ^X ⁰ ^, ^Y ¹ ^, ^Z ¹ )

lié à S1, -

^R ² ( ^C ^, ^X ⁰ ^, ^Y ² ^, ^Z ² )

lié à S2,

On notes les longueurs constantes de ce mécanisme : OA = a ; AB = e ; OC = c On définit les paramètres suivants :

- le déplacement du coulisseau :

OD = d . Y 0 + λ 3 . Z 0

(avec d = cste) - l’orientation de l’excentrique :

^δ ⁼ ( ) ^Y ^{0 Y} ^, ¹

et l’orientation du levier :

( ) ^Y ^{0 Y} ^, ²

θ =

Question A-5 : Tracer le graphe de structure de ce mécanisme.

Question A-6 : Définir un repère R3 lié au solide S3 .

( ^, ⁰ ^, ⁰ ^, ⁰ )

3 D X Y Z

R

Question A-7 : Déterminer la relation entre la rotation de S1 et celle de S2 :

θ = ^f ( δ )

^.

En écrivant OB = OA + AB , on obtient les deux équations suivantes :

 



= +

=

2 . sin

. sin . 2

1 . cos

. cos

. 2

eq e

a δ θ

λ

δ θ

λ

Pour « faire disparaître » la variable λ2, on calcule : δ

θ δ

cos . sin tan .

1 .

2 .

e a

e eq

eq

= +

⇒

On en déduit :

 

 





= +

δ θ δ

cos . sin arctan .

e a

e

Question A-8 : Déterminer la relation entre la rotation de S2 et le déplacement de S3 :

λ 3 = ^f ( θ )

^.

En écrivant OD = OC + CD , on obtient les équations suivantes :

 



= +

=

2 . sin

. 3

1 . cos

.

eq c

eq CD c

d

θ λ

θ avec CD variable.

La 2

^ème

équation donne directement la relation souhaitée : λ ³ = ^c ^. ^sin θ

Question A-9 : En déduire la loi Entrée / Sortie générale de ce système :

λ 3 = ^f ( δ )

^.

En utilisant les 2 relations précédentes, on obtient :

 



 

 



 





= +

δ λ δ

cos . sin arctan .

sin .

3 a e

c e

Question A-10 : Définir le vecteur rotation

Ω ( S 1 / S 0 )

^.

0 . ) 0 / 1

( S S = δ ^& X

Ω

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Question A-11 : Définir les vecteurs vitesse et accélération du point B :

V ( B ∈ S 1 / S 0 )

^et

Γ ( B ∈ S 1 / S 0 )

^.

0

) 0 / 1 (

dt

R

OB S d

S B

V  





 



= 

∈

et

0

) 0 / 1 ) (

0 / 1 (

dt

R

S S B V S d

S

B  





 



 ∈

=

∈ Γ

Question A-12 : Ecrire la relation entre

0

dt

R

U d

 





 





et

1

dt

R

U d

 





 





.

U R dt R

U d dt

U d

R R

∧ Ω

 +







 



= 

 





 





) 0 / 1 (

1 0

Partie B : « Schémas cinématiques »

1. Joint de cardan

Le joint de cardan représenté ci-contre permet de transmettre un mouvement de rotation entre deux arbres concourants. Ce composant de

transmission de puissance est composé de 3 solides :

- l’arbre d’entrée S1={1,4,6}

- l’arbre de sortie S2={8,4,6}

- le croisillon S3={9,2,3,7}

Question B-1 : Etablir le graphe de structure en indiquant la nature des liaisons.

Question B-2 : Tracer le schéma cinématique de ce joint.

Question B-3 : Donner les différentes informations que l’on peut déduire de la désignation normalisée du matériau utilisé pour la pièce 1.

27 Cr Mo 4

Acier faiblement allié contenant : - 0,27% de carbone

- 1% de chrome

- Des traces de molybdène

Rep Nb. Désignation Matière

1 1 Fourchette d’entrée 27 Cr Mo 4

2 4 Bague emboutie C10

3 4 Joint d’étanchéité NBR

4 4 Segment d’arrêt C60

5 4 Cage à aiguilles

6 4 Bouchon de roulement 100 Cr 6 7 1 Graisseur à 45° (M8x1)

8 1 Fourchette de sortie 27 Cr Mo 4

9 1 Croisillon C60

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2. Pince de robot manipulateur

Le dessin et la description de cette pince sont donnés sur la feuille EC108. La pince étant symétrique on ne retiendra que les solides suivants :

le corps S1={1} ; la vis S2={2} ; l’écrou S3={3,9} ; la biellette S4={4} ; le coude S5={5} ; le doigt S6={6} ; le tirant S7={7}

Question B-4 : Etablir le graphe de structure en indiquant la nature, la position et l’orientation des liaisons.

Question B-5 : Tracer le schéma cinématique de cette pince.

Question B-6 : Quelles conditions géométriques les pièces de cette pince doivent vérifier pour que les deux doigts 6 et 6’ aient un mouvement de translation circulaire par rapport au corps 1 ?

Pour que les deux doigts 6 et 6’ se déplacent toujours parallèlement entre eux, il faut que les quadrilatères DEGF et D’E’G’F’ soient des parallélogrammes.

C'est-à-dire : DF = EG = D’F’ = E’G’ et DE = FG = D’E’ = F’G’

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