Graphes d'événements temporisés : représentation entrée/sortie, commande en juste-à-temps

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Graphes d’événements temporisés : représentation entrée/sortie, commande en juste-à-temps

Sébastien Lahaye, Jean-Louis Boimond, Laurent Hardouin

To cite this version:

Sébastien Lahaye, Jean-Louis Boimond, Laurent Hardouin. Graphes d’événements tempo-

risés : représentation entrée/sortie, commande en juste-à-temps. JDA’99, Journées Doctorales

d’Automatique, Sep 1999, Nancy, France. pp.293-296. �hal-00844522�

Graphes d’´ev´enements temporis´es : repr´esentation entr´ee/sortie, commande en juste-`a-temps

Lahaye S´ebastien Boimond Jean-Louis Hardouin Laurent

LISA, 62, Avenue Notre Dame du lac, 49000 Angers.

E-mail : [lahaye, boimond, hardouin]@istia.univ-angers.fr

R´esum´e : On pr´esente comment l’initialisation, la relation entr´ee/sortie ainsi que la commande en juste-`a-temps des graphes d’´ev´enements temporis´es s’expriment dans l’alg`ebre (^min,⁺).

Mots-clefs : Syst`emes `a ´ev´enements discrets, graphes d’´ev´enements temporis´es, alg`ebre des dio¨ıdes, conditions initiales, juste-`a-temps.

1 Introduction

Les syst`emes dynamiques `a ´ev´enements discrets met- tant en jeu uniquement des ph´enom`enes de synchronisation peuvent ˆetre mod´elis´es par des Graphes d’Ev´enements Tem- poris´es (GET). Une th´eorie des syst`emes lin´eaires, analogue

`a la th´eorie conventionnelle, a ´et´e d´evelopp´ee pour cette classe de syst`emes sur une structure alg´ebrique particuli`ere appel´ee dio¨ıde, et dont l’alg`ebre (^min,⁺) est un exemple [1], [5], [6], [7]. La lin´earit´e de ces syst`emes s’entend au sens des op´erateurs<sup>min</sup>et<sup>+</sup>(addition usuelle) ; en d’autres termes, un tel syst`eme^Sv´erifie :

quelles que soient deux entr´ees^u1et^u2 S min(u

1

;u

2 )

=min S(u

1 );S(u

2 )

,

quels que soient une entr´ee^uet un scalaire^a

S(a+u)=a+S(u).

Dans ce papier, on s’int´eresse `a l’initialisation de ces syst`emes mod´elis´es dans l’alg`ebre (<sup>min</sup>,<sup>+</sup>). Vis-`a-vis du mod`ele GET, cela revient `a ´etudier les instants de disponi- bilit´e des jetons du marquage initial. Cette question a ´et´e

´etudi´ee dans l’alg`ebre (<sup>max</sup>,<sup>+</sup>) [1], [5] ; notre travail est une simple traduction dans l’alg`ebre (^min,⁺) de ces r´esultats.

Quelques compl´ements sont n´eanmoins donn´es par rapport `a l’´etude faite par Libeaut [4]. On traduit ´egalement la synth`ese de la commande en juste-`a-temps formul´ee de mani`ere plus g´en´erale dans le dio¨ıde ^Max

in

[[;Æ℄℄ [1,^x5.6]. L’expression de cette loi de commande s’av`ere plus simples et moins co ˆuteuse en calculs que celle propos´ee par [4].

2 Pr´eliminaires

2.1 Dio¨ıde, r´esiduation, r´esolution d’´equations lin´eaires

D´efinition 1 (dio¨ıde) Un dio¨ıde ^D est un ensemble muni de deux lois internes (,), associatives et poss´edant un

´el´ement neutre not´e respectivement^"et ^e, telles que la loi

est commutative et idempotente (i.e.,^{aa = a}). La loi

distribue sur la loi, et l’´el´ement neutre^"de la loiest absorbant pour la loi.

Si est commutative, ^D est un dio¨ıde dit commutatif.

Dans tout dio¨ıde, un ordre naturel peut ˆetre d´efini par :

a b , ab = b. (^D;) est un dio¨ıde complet si tout sous-ensemble^Ade^Dadmet une borne sup´erieure not´ee

L

x2A

x, et sidistribue sur les sommes infinies. En parti- culier,^{T =}

L

x2D

xest le plus grand ´el´ement de ^D. Dans un dio¨ıde complet, la borne inf´erieure, not´ee ^{^}, de deux

´el´ements existe toujours ; on a^{a^b=}

L

xa;xb x. Exemple 1 Soit^Zminl’ensemble^Z[f1gmuni du^min pour la loiet de l’addition usuelle pour la loi.^Zminest un dio¨ıde complet commutatif d’´el´ements neutres^{"= +1} et^e=0(^{T = 1}). Notons que l’ordre () dans^Zmin est l’inverse de l’ordre usuel ().

Exemple 2 Partant d’un dio¨ıde scalaire^D, nous consid´erons les matrices^pp`a ´el´ements dans<sup>D</sup>. Le produit et la somme de matrices sont d´efinies conventionnellement `a partir de la somme et du produit de scalaires. Cet ensemble de matrices muni de ces deux op´erations est ´egalement un dio¨ıde, not´e

D pp.

Par la suite, nous serons amen´es `a manipuler des ´equations du type<sup>ax=b</sup>. Les lois (et) d’un dioide n’´etant en g´en´eral pas inversibles, nous ferons appel `a la th´eorie de la r´esiduation [1, chap. 4] qui permet en particulier de trouver les plus grandes sous-solutions de telles ´equations.

D´efinition 2 Une application^{f :C !D}, o `u<sup>C</sup>,<sup>D</sup>sont des ensembles ordonn´es, est dite r´esiduable si pour tout<sup>y2D</sup>, la borne sup´erieure du sous-ensemble<sup>fx2 C jf(x) yg</sup> existe et appartient `a ce sous-ensemble.Cette borne est not´ee

f

℄

(y). L’application^{f℄ : D!C}est appel´ee r´esidu´ee de f.

Par d´efinition, on a^{f[f℄(y)℄y},^8y2D. Propri´et´e 1 L’application ^La

: x ! ax d’un dio¨ıde complet dans lui-mˆeme est r´esidu´ee. La plus grande solution de l’in´equation ^{a x b} existe et est ´egale `a ^La℄(b),

´egalement not´ee^aÆnbou ^b

a

.

Ce ’quotient’ v´erifie entre autres les formules suivantes :

a(a Æ

nx)x (f:1)

a Æ

n(x^y)=(a Æ

nx)^(a Æ

ny) (f:2)

(ab) Æ

nx= a

Æ

nx

b

(f:3)

Dans ce papier, nous serons ´egalement amen´es `a r´esoudre des

´equations implicites du type^x=axbdans un dio¨ıde.

Th´eor`eme 1 Dans un dio¨ıde complet, l’´equation<sup>x=axb</sup> admet comme plus petite solution<sup>x=ab</sup>o `u l’op´erateur (´etoile de Kleene) est d´efini par :^a=

L

i0 a

i, et^a0=e.

2.2 Repr´esentation des GET

Il est possible de d´ecrire le comportement temporis´e des GET par des ´equations lin´eaires dans l’alg`ebre des dio¨ıdes [1], [7]. On se concentre ici sur leur repr´esentation dans le dio¨ıde<sup>Z</sup>min(cf. ex. 1). On consid`ere que les GET sont tem- poris´es uniquement au niveau des places, et que les tempori- sations sont commensurables. La d´emarche consiste `a asso- cier `a chaque transition du GET une variable du temps, com- mun´ement appel´ee fonction compteur, qui renvoie le nombre cumul´e de tir(s) de la transition. Par exemple, `a la transition

x

1du GET de la figure 1, on associe le compteur^x1 (t), qui v´erifie les in´egalit´es suivantes :

x

1

(t)1+x

2 (t

2 )et^x1

(t)u

1 (t).

Sous l’hypoth`ese que le graphe fonctionne au plus tˆot (i.e., les transitions sont tir´ees d`es qu’elles sont valid´ees), on ob- tient l’´egalit´e

x

1

(t)=min 1+x

2 (t

2 );u

1 (t)

.

u

1

- - - -

- - - -

? -

6

u

2

x

1

x

2

y

1

y

2

1

2

1

1

FIG. 1 – un GET

Apr`es diverses manipulations (sans perte de g´en´eralit´es), il est possible de se ramener au mod`ele lin´eaire d’´etat standard suivant :

x(t)=Ax(t 1)Bu(t)

y(t)=Cx(t)

(1)

2.3 Syst`emes (min,+) lin´eaires

Un syst`eme ^S est une application d’un ensemble de si- gnaux admissibles vers un ensemble de signaux admissibles.

Les signaux mis en jeu dans les GET sont des fonctions compteurs, i.e., des fonctions non-d´ecroissantes de ^{Z !}

Z

min. On note , cet ensemble de signaux, qui peut ˆetre muni

du^minpoint-`a-point pour loi

(uv)(t)=u(t)v(t)=min(u(t);v(t));

de l’inf-convolution pour multiplication, not´ee,

(uv)(t)= L

s2Z

[u(t s)v(s)℄=inf

s2Z

[u(t s)+v(s)℄:

(,,) est un dio¨ıde complet dont les ´el´ements neutres sont d´efinis par

"(t)=+1,^8t2Z, et^e(t)=

0 ; t0

+1 ; t>0

. La relation d’ordre de ce dio¨ıde est d´efinie par

uv,u(t)v(t); 8t2Z:

Les notions de continuit´e, causalit´e, et stationnarit´e ont ´et´e d´efinies pour les syst`emes (<sup>min</sup>,<sup>+</sup>) lin´eaires de mani`ere analogue `a la th´eorie conventionnelle [7], [1]. Dans les r´ef´erences pr´ec´edentes, il est ´egalement montr´e que les syst`emes (min,+) lin´eaires continus peuvent se repr´esenter par un op´erateur `a noyau. En particulier, pour un syst`eme

´egalement stationnaire sur , cet op´erateur `a noyau se r´esume `a un produit d’inf-convolution.

Th´eor`eme 2 Soit un syst`eme^S : ^! lin´eaire continu stationnaire, alors il existe une unique application^h:^Z!

Z

min, appel´ee r´eponse impulsionnelle telle^{y =S(u)}peut ˆetre obtenue par :

y(t)= L

j2Z

h(j)u(t j)=(hu)(t).

3 Relation entr´ee-sortie des GET

Pour ´etablir le mod`ele d’´etat standard (1) d’un GET, on a consid´er´e que les transitions ´etaient tir´ees ’au plus t ˆot’. Sans information suppl´ementaire, le fonctionnement du graphe n’est pas enti`erement sp´ecifi´e car rien n’a ´et´e dit sur son ini- tialisation, c.-`a-d. sur la disponibilit´e des jetons initialement pr´esents dans le graphe.

Dans la section 3.1, on met en ´evidence que si les jetons du marquage initial sont disponibles depuis l’instant ¹, un GET, en tant que syst`eme (^min,⁺) lin´eaire, admet une re- lation entr´ee-sortie lin´eaire qui s’exprime comme un produit d’inf-convolution de l’entr´ee et de la r´eponse impulsionnelle.

Cette initialisation correspond `a consid´erer que le syst `eme est relax´e (on parlera aussi de conditions initiales canoniques).

On explicite l’expression de sa r´eponse impulsionnelle ainsi que les conditions initiales canoniques.

A la section 3.2, on s’int´eresse `a la prise en compte de condi- tions initiales dites faiblement compatibles. Les jetons du marquage initial ne peuvent alors ˆetre consomm´es qu’apr`es

t = 0. Cette hypoth`ese est couramment consid´er´ee dans le cadre des r´eseaux de Petri (RdP), o `u le graphe est suppos´e

”gel´e” avant^{t =0}. On montre que la relation entr´ee-sortie est alors affine.

3.1 GET relax´e

Dans [1], les conditions initiales canoniques d’un GET ont

´et´e d´efinies en consid´erant que les jetons du marquage initial sont disponibles pour le tir des transitions aval depuis l’ins- tant ¹.

Pour des GET mod´elis´es dans ^Zmin, cela revient `a consid´erer que

x(t)=A

Bu(0)pour^t<0.

En effet, sachant que les signaux mis en jeu sont causaux [2], i.e., pour^t<0:

u(t)=u(0),^x(t)=x(0), et^y(t)=y(0),

la premi`ere ´equation de (1) est alors implicite pour^{t < 0}, i.e.,

x(0)=Ax(0)Bu(0). La plus petite solution de cette ´equation (cf. th. 1) est

x(0)=A

Bu(0).

Cette plus petite solution donne le nombre maximal (pour l’ordre usuel) d’´ev´enements pouvant avoir lieu initialement.

Pour que cet ´etat initial soit atteint, il suffit que :

que le graphe fonctionne au plus tˆot,

que les jetons du marquage initial soient disponibles le plus tˆot possible, c.-`a-d. `a l’instant ¹.

Remarque 1 Dans [4], il a ´et´e d´efini l’ensemble^X0des ´etats initiaux^x(0)qui quelque soit l’entr´ee^{u e}engendre des trajectoires^xet^ynon d´ecroissantes, d´enomm´e ensemble des conditions initiales admissibles :

X

0

=

x

0 2N

n1

jx

0 Ax

0 Be

Si^{u(0)= e}, la condition initiale canonique^{x(0) =ABe} est la plus petite (au sens de) condition initiale admissible.

Remarque 2 Prendre des conditions initiales canoniques re- vient `a consid´erer que le graphe a fonctionn´e ”librement” `a

t = 1, de telle sorte que l’´etat s’est stabilis´e `a la valeur

A

Bu(0)`a<sup>t= 1</sup>. Le marquage du GET `a^t=0est alors tel que :

tout chemin ´el´ementaire allant d’une entr´ee `a une sortie est vide de jeton,

toute transition poss`ede au moins une place amont vide de jeton. En particulier dans un circuit, seules les places amont `a une transition synchronis´ee peuvent contenir des jetons. Autrement dit les ”ressources” du syst`eme sont consid´er´ees comme disponibles `a^t=0.

Pour un syst`eme initialis´e de la sorte, on parle ´egalement de syst`eme relax´e. Cette appellation se justifie par le fait que si aucune ”excitation” n’est apport´ee en entr´ee du syst`eme, ni l’´etat, ni la sortie de celui-ci n’´evolueront.

On montre maintenant qu’avec des conditions initiales canoniques la relation entr´ee-sortie d’un GET est lin´eaire.

En d´eveloppant la r´ecurrence, la premi`ere ´equation de (1) peut s’´ecrire :

x(t)=A p

x(t p) p 1

L

j=0 A

j

Bu(t j)

Avec^u(t)=u(0)et^x(t)=ABu(0)pour^t<0; d`es que

p>t, on a :

x(t)=A p

A

Bu(0) p 1

L

j=0 A

j

Bu(t j),

x(t)= L

jp A

j

Bu(0) p 1

L

j=0 A

j

Bu(t j),

x(t)= +1

L

j=0 A

j

Bu(t j). D’o `u

y(t)= L

j2Z

h(j)u(t j)=(hu)(t), o `u la r´eponse impulsionnelle^hest donn´ee par :

h(j)=

CB ; j 0

CA j

B ; j >0

.

3.2 GET non relax´e

On suppose ici que les GET consid´er´es sont ”gel´es” avant l’instant⁰. En d’autres termes, on consid`ere que les jetons ne peuvent pas se d´eplacer avant la date<sup>t=0</sup>. C’est l’hypoth`ese classique pour l’´etude du r´egime autonome dans la litt´erature des RdP.

Les jetons du marquage initial sont alors ”visibles” `a^t=0, et on suppose qu’ils sont entr´es dans les places avant cette date. A^{t =0}, un jeton du marquage initial est donc soit en train d’effectuer son temps de s´ejour, soit disponible pour le tir de la transition aval.

La d´emarche d´ecrite dans [1] consiste alors `a d´efinir pour chaque place^piun compteur^wi

(t), qui renvoie le nombre de jetons du marquage initial de^pidisponibles pour le tir de la transition aval `a<sup>p</sup>i `a la date^t. Ce compteur doit v´erifier les hypoth`eses suivantes :

On notei et^Mirespectivement la temporisation et le marquage initial de la place^pi. A l’instanti tous les jetons du marquage initial de^pidoivent ˆetre disponibles pour la transition aval `a^pi, i.e.,^wi

(

i )M

i. Pour cela, on pose par convention^wi

(t)=+1pour^ti.

Les jetons du marquage initial de^pine peuvent pas ˆetre disponibles avant l’instant 0, i.e.,^wi

(t) = w

i

(0) = 0

pour^t<0.

Par analogie avec les ´etudes men´ees dans l’alg`ebre<sup>(max;+)</sup> dans [1,<sup>x</sup>2.5.2] et [5,<sup>x</sup>2.1], on qualifiera de conditions ini- tiales faiblement compatibles celles v´erifiant les hypoth`eses pr´ec´edentes.

Pour obtenir les ´equations d’´evolution du GET, on d´efinit un vecteur^v(t)par :

v

j (t)=

L

fijpi2

xjg w

i (t),

o `u<sup>x</sup>j est l’ensemble des places amont `a la transition^xj. Chaque ´el´ement^vj est le compteur d’une transition fictive adjointe en amont de la transition^xj, de telle sorte que les jetons du marquage initial des places amont `a^xj sont ”rete- nus” dans celles-ci selon les conditions initiales faiblement compatibles d´efinies par les compteurs^wi.

Le fonctionnement du GET peut alors ˆetre repr´esent´e par la r´ecurrence suivante :

x(t) = Ax(t 1)Bu(t)v(t)

y(t) = Cx(t)

On notera que la deuxi`eme hypoth`ese sur les conditions ini- tiales impose que :

v(t)=v(0)pour^t<0.

La d´emarche pour obtenir l’´etat initial faiblement compatible est analogue au cas relax´e : celui-ci correspond `a la plus pe- tite solution de l’´equation d’´etat implicite pour^t0, i.e.,

x(0)=A

Bu(0)A

v(0). On obtient alors la relation entr´ee-sortie suivante :

y(t)=(hu)(t)y

0 (t), o `u^y0

(t)=(h

0

v)(t), avec

h

0 (j)=

C ; j0

CA j

; j>0

.

Comme dans la th´eorie des syst`emes conventionnels, un syst`eme non relax´e engendre une relation entr´ee-sortie af- fine.

4 Commande optimale des GET

On a vu que la relation entr´ee-sortie d’un GET relax´e peut s’´ecrire

y=hu.

Etant donn´ee une trajectoire de sortie d´esir´ee^fz(t)g

t2Z

, on cherche `a calculer la trajectoire de commande ^fu(t)g

t2Z

la plus tardive (la plus grande pour l’ordre) telle que la r´eponse en sortie^fy(t)g

t2Z

soit inf´erieure `a^fz(t)g

t2Z

. Une telle commande est dite optimale vis-`a-vis du crit`ere de juste-

`a-temps. Plus formellement, cette commande, not´ee^uopt, est la plus grande solution de l’in´equation

huz. (2)

(,,) ´etant un dio¨ıde complet (cf. section 2.3), l’applica- tion^{x !hx}est r´esidu´ee (cf. propri´et´e¹). La commande

u

optexiste donc et est d´efinie par :

u

opt

=h Æ

nz. Proposition 1 Les commandes^uopt

(t),^{t 2Z}sont donn´ees par

u

opt (t)=

^

it

h(i t) Æ

nz(i): (3) Preuve

8t2Z, on a

(hu

opt )(t)=

L

s2Z

h(t s)u

opt (s)=

L

st

h(t s)u

opt (s)=

L

st

h(t s) V

is z(i)

h(i s)

L

st

h(t s) z(t)

h(t s)

z(t), ce qui montre que^uoptest solution de (2).

8xsolution de (2), on a

8t2Z;

L

s2Z

h(t s)x(s)= L

st

h(t s)x(s)z(t)

8t;s2Z;st; h(t s)x(s)z(t)

8t;s2Z;st; x(s)h(t s) Æ

nz(t)

8s2Z; x(s) V

ts

h(t s) Æ

nz(t)=u

opt (s)

On montre ici que ^uopt est solution d’un syst`eme d’´equations ”backward” analogue aux ´equations du syst`eme adjoint en th´eorie de la commande optimale.

Proposition 2 La commande^uopt(3) est la plus grande so- lution de

(t) =A Æ

n(t+1)^C Æ

nz(t)

u(t) =B Æ

n(t)

;8t2Z: (4) Preuve En utilisant la formule (^f:3), on pose tout d’abord :

u

opt (t)=B

Æ

n

opt

(t), avecopt (t)=

V

it (A

i t

C) Æ

nz(i).

Montrons queoptest solution de (4).^8t2Z,

opt (t+1)

A

^ z(t)

C

= V

it+1 CA

i t 1

Æ

nz(i)

A

^ z(t)

C

= V

it+1 CA

i t 1

Æ

nz(i)

A

^ z(t)

C

(cf f.2)

= V

it+1 z(i)

CA i t

^ z(t)

C

(cf f.3)

= V

it+1 z(i)

CA i t

^ z(t)

C

= V

it z(i)

CA i t

=

opt (t)

Soitune solution de (4). En d´eveloppant la r´ecurrence, on a^8t2Z

(t)= (t+t

0 )

A t

0

^ t+t

0 1

V

j=t z(j)

CA j t

Lorsque^t0

! 1, il est clair que^(t)opt

(t).

Remarque 3 Des conditions initiales faiblement compa- tibles engendrent un relation entr´ee-sortie affine (section 3.2). La synth`ese d’une commande optimale avec de telles conditions initiales a ´et´e trait´ee dans [5,<sup>x</sup>4.2] dans le cadre de l’alg`ebre (^max,⁺), et peut se transposer `a l’alg`ebre (^min,

+). Elle consiste `a ajouter (au sens du) `a la sortie d´esir´ee

fz(t)g

t2Z

la s´equence^fy0 (t)g

t2Z

, la commande r´esultante est la plus tardive telle que la sortie se comporte au plus tard avant la consigne ”r´ealisable”^{z y}0, c.-`a-d. au plus tard avant ou au plus tˆot apr`es la consigne^z.

5 Conclusion

Dans cet article, on donne les formulations de l’initialisation, de la relation entr´ee-sortie et de la commande en juste-`a- temps des GET dans l’alg`ebre (^min,⁺). Il s’agit d’une simple transposition de r´esultats existants dans l’alg`ebre (^max,⁺) ou plus g´en´eralement dans le dio¨ıde^Max

in

[[;Æ℄℄. Ce travail a constitu´e un pr´eliminaire `a l’extension de ces r´esultats aux syst`emes non stationnaires [3].

R´ef´erences

[1] F. Baccelli, G. Cohen, G.J. Olsder, and J.P. Quadrat. Synchronization and Linea- rity. Wiley, 1992.

[2] S. Gaubert. Th´eorie des syst`emes lin´eaires dans les dio¨ıdes. Th`ese, Ecole des Mines de Paris, July 1992.

[3] Lahaye S., Boimond J.L., and Hardouin L. Optimal Control of (min,+) Linear Time-Varying Systems. In PNPM’99, Zaragoza, 1999.

[4] L. Libeaut. Sur l’utilisation des dio¨ıdes pour la commande des syst`emes `a

´ev´enements discrets. Ph. D. thesis, Ecole Centrale de Nantes, Sept 1996.

[5] E. Menguy. Contribution `a la commande des syst`emes lin´eaires dans les dio¨ıdes.

Ph. D. thesis, ISTIA - Universit´e d’Angers, Nov 1997.

[6] M. Plus. A linear system theory for systems subject to synchronization and sa- turation constraints. In Proceedings of the first European Control Conference, Grenoble, July 1991.

[7] M. Plus. Second order theory of min-linear systems and its application to discrete event systems. In Proceedings of the 30th CDC, Brighton, Dec. 1991.