D Transformation du plan

D Transformation du plan

I La symétrie axiale

Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si elles se superposent par pliage le long de cette droite.

L'axe de symétrie est la médiatrice des segments qui relient les points de départ à leurs images.

II La symétrie centrale

Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à un point (le centre), lorsqu'elles se superposent par demi-tour autour de ce point.

Dans cet exemple, H est le centre de la symétrie. C'est le milieu des segments qui relient les points de départ à leurs images.

III La translation

Définition : La translation d'une figure correspond à un glissement de cette figure, dans une direction donnée, sur une longueur donnée.

Tous les points de départ et leurs images indiquent le même déplacement, la même flèche.

IV La rotation

Définition : La rotation d'une figure revient à la faire tourner autour d'un point donné, dans un sens donné, d'un angle donné.

Le sens des aiguilles d'une montre est le sens indirect. Le sens inverse est le sens direct.

Tous les points de départ et leurs images forment un même angle avec H. Ici, c'est 110° dans le sens indirect.

V Conservation

Les transformations ci-dessus conservent les alignements, les longueurs, le parallélisme et les mesures angles, c'est à dire que :

- la longueur d'un segment et celle de son image est la même.

- la mesure d'un angle et celle de son image est la même.

- si deux droites sont parallèles, leurs images le sont aussi.

- si trois points sont alignés, leurs images le sont aussi.

VI Triangles égaux

Définition : Deux triangles sont égaux lorsqu'on peut les superposer par glissement ou par retournement.

Propriété : Si deux triangles sont égaux alors ils ont leurs trois côtés et leurs trois angles de même mesure.

Propriété : cas d'égalité de deux triangles

cas n°1 : Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés deux à deux égales, alors les triangles sont égaux.

cas n°2 : Si deux triangles ont un côté de même longueur, commun à deux angles deux à deux de même mesure, alors les triangles sont égaux.

cas n°3 : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors les triangles sont égaux.

Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3

VII Homothétie

Dans la figure ci-contre, le triangle A'B'C' est un agrandissement du triangle ABC mais il n'est pas placé n'importe où et construit n'importe

comment. En effet, cet agrandissement a été construit par rapport au point O.

Les longueurs OA'; OB' et OC' ont été

déterminées en multipliant les longueurs OA ; OB et OC par 3.

OA '=OA×3 ; OB '=OB×3 et OC '=OC×3

On dit qu'on a effectué une homothétie de centre O et de rapport 3.

Définition : Appliquer une homothétie de centre O et de rapport k à une figure consiste à multiplier les distances entre le point O et les points de la figure par k.

Exemple : A'B'C'D'E' a été obtenu en multipliant les longueurs FA, FB, FC, FD et FE par 2.

On a donc effectué une homothétie de centre F et de rapport 2.

Conséquence : A'B'C'D'E' est un agrandissement de ABCDE.

Propriété : lorsque k est positif, supérieur à 1, l'homothétie est un agrandissement. Lorsque k est compris entre 0 et 1, c'est une réduction.

*

%

A

B C

*

%

E

F D

A@

B

C @

D F

E

@

A

B

C @

D F

*

*

Lorsque k est négatif, les longueurs sont reportées de l'autre côté du centre. La figure est alors inversée.

Cas particuliers :

Le triangle AB'C' a été construit en effectuant

l'homothétie de centre A et de rapport 4 au triangle ABC.

On se retrouve dans une configuration de Thalès.

Agrandissement-réduction : Dans le cas d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k² et les volumes sont multipliés par k³.

VIII Triangles semblables

Les deux triangles ci-contre ont la même forme mais pas la même taille.

On dit qu'ils sont semblables.

Définition : Deux triangles sont dits semblables s'ils ont les mêmes mesures d'angles.

Remarque : Deux triangles qui ont 2 mêmes mesures d'angles auront aussi leur 3e mesure égale, ils sont donc semblables.

Propriété : Deux triangles semblables sont uniquement des agrandissements ou des réductions l'un de l'autre. Les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

Exemples :

1) Les triangles ABC et MNP sont semblables car ils ont les mêmes mesures d'angles donc les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles :

6cm=4cm×1,5 donc NP=AC×1,5

MNP est donc un agrandissement de ABC de coefficient 1,5 donc : MP=BC×1,5=3cm×1,5=4,5cm et

MN=AB×1,5=1cm×1,5=1,5cm

2) Dans la figure ci contre :

SR=2,5cm=2cm×1,25=DE×1,25 ST=6,25cm=5cm×1,25=FE×1,25 et TR=5cm=4cm×1,25=DF×1,25

Les longueurs des côtés des triangles EDF et RST sont proportionnelles donc les triangles DEF et RST sont semblables.

(On peut également dire que le triangle RST est un agrandissement du triangle EDF de coefficient 1,25.)