LE RAYONNEMENT D’UN CORPS NOIR
Un corps noir est un corps capable d’absorber toute la lumi`ere qu’il re¸coit, pour la r´e´emettre dans une gamme de longueur d’ondes diff´erente de celle re¸cue (pas de r´eflexion). Il absorbe et ´emet donc continuellement de l’´energie sous forme de radiations ´electromagn´etiques.
ν
ν
Fig.1 –Evolution exp´´ erimentale de la fonctionuν(T,ν)
A l’´equilibre, un corps noir est `a une temp´eratureT constante car les taux d’absorption et d’´emission d’´energie sont
´egaux. Le rayonnement ´emis est caract´eris´e par une distribution spectrale en ´energieuν. On montre que cette fonction ne d´epend que de la temp´eratureT du corps et de la fr´equenceν du rayonnement ´emis. En particulier, elle ne d´epend pas de la forme du corps, ni de la nature du milieu.
La figure 1 donne l’´evolution exp´erimentale de cette fonction avecν, pour deux temp´eratures. L’objectif est de mod´eliser cette ´evolution. Pour cela, on consid`ere un corps di´electrique rectangulaire de dimensions Lx (0 ≤ x ≤ Lx), Ly (0 ≤ y ≤ Ly) et Lz (0 ≤ z ≤ Lz), dont les parois planes sont parfaitement conductrices. D’apr`es les ´equations de Maxwell, le champ ´electrique −→
E doit satisfaire les ´equations de Maxwell. Comme les parois sont parfaitement conductrices, les conditions aux limites−→
E ∧ −→n =−→
0 sont appliqu´ees sur chacune d’elles (−→n est la normale `a la paroi consid´er´ee). On notec la vitesse de la lumi`ere
1. V´erifier que le champ solution est de la forme −→ E =−→
G e−iωt, o`u−→
G est d´efini de la fa¸con suivante :
Gx=excos(kxx)sin(kyy)sin(kzz) Gy=eysin(kxx)cos(kyy)sin(kzz) Gz=ezsin(kxx)sin(kyy)cos(kzz) et o`u le vecteur d’onde−→
k, le vecteur−→e et la pulsationω ob´eissent aux relations suivantes (cest la vitesse de la lumi`ere, etl,metnsont des entiers positifs) :
ω2=k2c2= (kx2+k2y+kz2)c2 exkx+eyky+ezkz=−→e .−→
k = 0 kx=lπ/Lx,ky =mπ/Ly,kz=nπ/Lz
2. Tracer dans l’espace (kx,ky,kz) l’allure des vecteurs d’onde. Donner une estimation du nombre de vecteurs d’onde possibles correspondant `a une fr´equence comprise entre 0 et une valeur donn´eeν =ω/2π.
3. Donner le nombre Nν de modes de rayonnement avec une fr´equence comprise entre 0 et ν, puis le nombre de modesρ(ν) par unit´e de volume et par unit´e de fr´equence.
4. La statistique de Bolztmann donne la probabilit´e ´el´ementaire pour que l’´energie d’un mode soit comprise entre E et E+dE (C est une constante,kB la constante de Bolztmann etT la temp´erature) :
dP =Cexp(−E/kBT)dE
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En d´eduire l’´energie moyenne de chaque mode, puis l’expression de la fonction uν(ν,T) selon cette statistique.
C’est la loi de Rayleigh-Jeans. Comparer les valeurs obtenues pourT = 3000K etν= 1014Hz, puisν= 2.1014Hz, avec les valeurs exp´erimentales de la figure 1. Commenter.
5. L’hypoth`ese fondamentale de Planck est que l’´energie d’un mode ne peut pas prendre une valeur arbitraire positive, mais que les valeurs permises devaient ˆetre des multiples entiers d’une quantit´e fondamentalehν, o`u h est une constante aujourd’hui appel´ee constante de Planck. Cette quantit´e minimale qui peut ˆetre ´echang´ee est appel´ee quantum de lumi`ere ou photon. Calculer dans ce cas l’´energie moyenne d’un mode, puis l’expression de la fonctionuν(ν,T). C’est la formule de Planck. Faire l’application num´erique en utilisant la constante de Planck donn´ee dans le cours. Commenter.
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