+= DNB u = 1 u −= 1 n Ν∈ n Ν∈ += IAC

Les matrices

Exercice 1 : Soit M₃

( )

IR l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. On donne les

matrices :

 







 







=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

,

 







 







=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

et

 







 





 − − −

=

4 12 5

0 0 1

2 6 4 A

1) a) Calculer A² etA³. En déduire Aⁿ pour tout entier naturel n ≥3.

b) Calculer

(

^{I −A}

) (

^{I+ A+A2}

)

. En déduire que I −A est inversible et déterminer

(

^{I −A}

)

^−1.

2) On donne la matrice

 







 







−

−

=

1 1 1

0 1 2

0 0 1

P

et on poseB=PAP.

a) CalculerP². En déduire que P est inversible et donnerP⁻¹. b) Démontrer que : ∀n∈Ν,Bⁿ =PAⁿP.

c) On pose

C = A + I

. Pour tout entier naturel n, calculer Cⁿen fonction de n, I, A et A². d) En déduire l’écriture explicite de Cⁿ pour tout entier naturel n.

3) On considère trois suites u, v et w définies par : u₀ =v₀ =w₀ =1 et

 

 



+ +

= +

=

−

−

−

=

∈

∀

+ + +

n n n n

n n n

n n n n

w v u

w

v u v

w v u u

n

5 12 5

2 6 3 ,

1 1

1

Ν

.

a) Vérifier que, pour tout

n ∈ Ν

,

 







 







=

 







 







+ + +

n n n

n n n

w v u C w

v u

1 1 1

puis montrer que, pour tout

n ∈ Ν

,

 







 







=

 







 







0 0 0

w v u C w v u

n

n n n

.

b) En déduire u_n,v_n etw_nen fonction de n.

Exercice 2 : Soit u la suite définie par : u₀ =0,

u

₁

= 1

,

u

₂

= − 1

et pour tout entier n : u_n+3 =u_n+2 +u_n+1 −u_n. Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de u_n en fonction de n.

On note pour tout entier n :

 







 







=

₊

+

n n n n

u u u

V

₁

2

.

1) a) Déterminer une matrice M telle que pour tout entier n, V_n+1 =M×V_n. b) Démontrer que, pour tout entier n : V_n =Mⁿ×V₀.

2) Soit

 







 





 −

=

0 1 0

0 0 1

1 1 1

A

,

 







 







−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

D

,

 







 







=

0 0 0

0 0 0

0 1 0

N

et

B = N + D

.

a) Déterminer la matrice

 







 







=

v b y

u a x P

1 1 1

telle queAP=PB.

b) Montrer que P est inversible.

c) Montrer que A=PBP⁻¹et en déduire Aⁿ en fonction de Bⁿ. 3) a) Calculer N² et en déduire pour tout entier n la valeur de Nⁿ.

b) En déduire la valeur de Bⁿ en fonction de n.

c) Calculer enfin V_n puis u_n en fonction de n.

Exercice 3 :

On donne les matrices :

















−

−

−

=

1 6 3

3 4 3

3 6 5 2

A 1 ^,

















=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I ,

















−

−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 2

D et

















−

=

1 1 1

1 0 1

1 1 1 P

Partie I : Etude des puissances entières d’une matrice

1) Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que



















−

=





















−

1 2 1 2 1 0 0 1

P 1 .

2) a) Donner Dⁿen fonction de n pour tout entier naturel n.

b) En déduire l’expression de

 







 







−

0 0 1 P

1

D

ⁿ en fonction de n.

3) a) Vérifier que A=PDP⁻¹ puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : Aⁿ =PDⁿP⁻¹.

b) En déduire l’expression de

 







 







0 0 1

A

n en fonction de n pour tout entier naturel n.

Partie II : Étude de suites

Les suites(x_n), (y_n) et (z_n) sont définies par les conditions initialesx₀ =1, y₀ =1 et z₀ =0

et par les égalités : pour tout entier naturel n,



 



 







− + +

−

=

− + +

−

=

− + +

−

=

+ + +

2 3 3 1 2 3

2 1 2 3 2 3

2 3 3 3 2 5

1 1 1

n n n n

n n n n

n n n n

z y x z

z y x y

z y x x

On pose

 







 







−

−

−

= 3 1 3

B

et pour tout entier naturel n :

 







 







=

n n n n

z y x

X

.

1) Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X_n+1 = AX_n +B relation (1)

2) On se propose de trouver la matrice colonne U∈M3,1

( )

^IR telle que :

U = AU + B

relation (2) a) Montrer que la relation (2) équivaut à

( I − A ) U = B

.

b) Calculer la matrice

A ( I − A )

. En déduire que :

− 2 U = AB

, puis que

 







 







= 0 1 0

U

.

3) a) A l’aide des relations (1) et (2) , montrer que : ^Xn₊₁ −^U = ^A

(

^Xn −^U

)

.

b) En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a : X_n −U = Aⁿ

(

X₀ −U

)

. En utilisant l’expression obtenue dans la partie A, question 3)b), calculer x_n,y_n et z_n, en fonction de n.

Exercice 4 :

Soit





















−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2

A et I la matrice unité de taille 4.

1)Calculer ܣ^ଶ.

2)Trouver les deux réels α et β tels que A² =

α

A+

β

I.

3)Établir par récurrence que, pour tout entier n, il existe des réels an et bn tels que Aⁿ =a_nA+b_nI On exprimera a_n+1et b_n+1 en fonction de a_n et b_n.

4) a) Montrer que (ܽ_௡) est récurrente linéaire d’ordre 2 et déterminer l’expression de an en fonction de n.

b) En déduire celle de bn. Exercice 5 :

Soient

 







 







−

−

−

=

1 1 2

0 0 0

1 1 2

A

,

 







 







−

−

−

=

2 4 2

2 4 2

0 0 0

B

et

 







 







−

−

−

=

3 5 4

2 4 2

1 1 2

C

.

1) Calculer AB et BA.

2) CalculerA², puis pour n∈ Ν^∗, calculerAⁿ.

3) CalculerB², puis montrer que pour tout n∈ Ν^∗,Bⁿ =2ⁿ⁻¹B. 4) En déduire Cⁿ pour n∈ Ν^∗.

Exercice 6 :

Soient

 







 







−

−

−

−

−

−

=

11 6 14

11 6 15

2 1 2

A

et

 







 







=

1 2 2

0 3 1

0 0 1

P

.

1) a) Montrer que la matrice P est inversible et calculer son inverse P⁻¹. b) Calculer la matrice T =P⁻¹AP. Que constate-t-on ?

c) Exprimer A en fonction de P, P⁻¹ et T.

d) Montrer que pour tout

n ∈ Ν

, Aⁿ = PTⁿP⁻¹.

2) a) On définit la matrice N en écrivant

T = I + N

où I est la matrice unité de M₃

( )

Ρ _. Calculer N² et N³. En déduire N^k pour tout entier k supérieur ou égal à 3.

b) Déterminer Tⁿen fonction de n et de N, puis de n uniquement.

c) Montrer que PNP⁻¹ = A−I et que PN²P⁻¹ = A² −2A+I. d) Donner l’expression de Aⁿ en fonction de n, I, A etA².