1.1.2 Nombre complexe

Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.

1 Définitions et propriétés immédiates

1.1 Définition historique 1.1.1 À l’origine

L’idée de départ fut de créer des nombres non réels, dits « imaginaires », solutions d’équations du second degré dont le discriminant est négatif, dans lesquelles on pourrait envisager d’écrire la racine carrée d’un nombre négatif. De nos jours, on appelle « complexes » ces nombres. C’est ainsi qu’au XVI°

siècle (vers 1545) les mathématiciens italiens Bombelli et Cardano (Cardan) ont d’abord eu l’idée d’introduire le nombre i tel que :

i² =

–

1

, i et –i étant les solutions de l’équation x² + 1 = 0.

Le symbole i désigne un nombre « imaginaire ». Il représente une « racine carrée de –1 ».

Tout multiple de i (produit de type b×i où b est un réel) est appelé imaginaire pur.

Le carré d’un imaginaire pur est un réel négatif : (b×i )² = – b² .

Une « racine carrée » d’un réel négatif est donc désignée par un imaginaire pur : − = ±b² ib. Ex : − =25 5 ou 5i − i, − =49 7 ou 7i − i, − =3 i 3 ou −i 3

nb : aucun imaginaire pur ne peut être déclaré positif ou négatif. Cette notion n’a tout simplement pas de sens dans l’ensemble des nombres imaginaires.

1.1.2 Nombre complexe

La « somme » d’un réel a et d’un imaginaire pur ib forme ce qu’on appelle un nombre complexe z :

z = a + ib

(si tant est que cette pseudo- addition, entre deux objets de natures différentes, ait un sens…)

1.1.3 Utilité

Les calculs avec les nombres complexes permettent : D’écrire les solutions d’équations polynômiales

De simplifier certaines écritures, notamment trigonométriques

De résoudre certaines équations différentielles, de calculer certaines intégrales réelles D’écrire sous forme de calculs des résultats et des fonctions géométriques

De simplifier les calculs traditionnels notamment en électricité, mécanique, automatisme, etc.

1.2 Définition mathématique 1.2.1 Définition stricte

Tout nombre complexe est tout couple – donc ordonné - (a , b) de nombre réels.

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

On décide que

(

^{a b1, 1}

) (

^{= a b2, 2}

)

^{⇔ a1=a2 et b1=b2}

On munit l’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, de deux « lois de composition internes », à savoir ici une addition, notée +, et une multiplication, notée ×, définies comme suit :

2

Supposons qu’on se permette d’écrire le complexe z = (a, b) sous la forme z = a + ib (on se permet donc d’additionner des choux et des carottes).

L’égalité a₁+ib₁= +a₂ ib₂ signifie, d’après la définition ci-dessus : ^{1 2}

1 2

a a

b b

=



=

 L’addition donne :

(

a1+ib1

) (

+ a2+ib2

)

= + +a1 a2 i b

(

1+b2

)

La multiplication donne :

( )( )

²

( )

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

z ×z = a +ib a +ib =a a +a ib +ib a +i b b =a a −b b +i a b +a b Ceci vérifie également la définition mathématique du produit de deux complexes.

L’écriture z = a + ib est équivalente à la définition mathématique d’un nombre complexe dans ses propriétés algébriques, si on lui associe le fait que i² = -1.

On peut voir en particulier que les nombres complexes (a, 0) de partie imaginaire nulle sont assimilables aux nombres réels a. L’imaginaire pur ib est le complexe (0, b) et i, quant à lui, s’écrit 0 + 1i et est donc le complexe (0, 1). On utilisera dans un premier temps l’écriture z = a + ib pour mener à bien des calculs sur les nombres complexes.

1.2.3 Définitions associées

Soit un nombre complexe z = a + ib.

* son conjugué est le nombre complexe :

z = − a ib

* son opposé est le nombre complexe :

− = − − z a ib

Soustraire un complexe, c’est ajouter son opposé.

* son module est le nombre réel positif :

z = a

²

+ b

²

* son inverse est le nombre complexe : ¹ ₂

z

₂

z a b

−

= +

Diviser par un complexe, c’est multiplier par son inverse. Nb : comme dans le corps des réels, le complexe nul est l’unique élément qui ne possède pas d’inverse.

1.3 Polynômes dans

^ℂ

1.3.1 Généralités

Un polynôme est une expression de type P(z) = anzⁿ + an-1z^n-1 + … + a2z² + a1z + a0.

Comme dans ℝ, les exposants sont des entiers positifs et n est le degré du polynôme P(z).

Par contre, la variable z est ici un nombre complexe, ainsi que les coefficients ak. Théorème fondamental de l’algèbre (théorème de d’Alembert-Gauss) :

Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ_. Conséquence immédiate :

Tout polynôme non constant à coefficients complexes est scindé, c’est à dire que tout polynôme de degré n peut être écrit comme le produit d’un coefficient complexe par n facteurs polynomiaux de degré 1 :

P(z) = a

n

z

ⁿ

+ a

n-1

z

^n-1

+ … + a

2

z

²

+ a

1

z + a

0

= a

n

(z – z

1

) (z – z

2

) … (z – z

n

)

Cela signifie que tout polynôme de degré n admet au moins une et au plus n racines distinctes dans ℂ (parmi les racines z1, z2, … , zn, certaines peuvent éventuellement être égales).

1.3.2 Polynômes du second degré

Tout polynôme du second degré à coefficients complexes, az² + bz + c, peut être résolu par la même méthode que celle utilisée dans ℝ _:

* Calculer ∆ = b² - 4ac (∆ est alors un nombre complexe)

* Les racines sont obtenues par la formule :

2 z b

a

− ± ∆

=

(l’existence de ∆ est toujours assurée dans ℂ, même si sa recherche manuelle n’est pas toujours immédiate…)

1.3.3 Factorisation

Lorsqu’on connaît une racine z1 d’un polynôme P(z) de degré supérieur ou égal à 2, on peut souhaiter factoriser ce dernier par (z – z1). Pour cela, il est possible d’utiliser la méthode d’identification.

4

2 Représentation graphique et notations

2.1 Représentation en coordonnées cartésiennes

Nous considérons un repère orthonormé (O, Ox, Oy). À tout point M de coordonnées (a, b) correspond de manière unique le nombre complexe z = (a, b) = a + ib. Le plan est isomorphe à l’ensemble des complexes, si bien que nous pourrons l’appeler « le plan complexe ».

Nous dirons que M est l’image du nombre complexe z. et que z est l’affixe du point M Résultats immédiats (voir figure ci-contre) :

Le point O est l’image de z = 0 ; Les points de l’axe (Ox) sont les images des nombres réels (z = a).

(Ox) est appelé l’axe « Réel »

Les points de l’axe (Oy) sont les images des nombres imaginaires purs (z = ib)

(Oy) est appelé l’axe « Imaginaire » Les images de z et -z (opposés) sont symétriques par rapport à O.

Les images de z et z (conjugués) sont symétriques par rapport à (Ox).

2.2 Représentation en coordonnées polaires

Dans le plan il est aussi possible de définir M par ses coordonnées polaires : ρ ^et θ Liens avec la représentation cartésienne :

En observant les représentations dans le plan, on peut à partir du module ρ ^et de l’argument θ calculer les parties réelle et imaginaire :

cos sin

a = ρ θ

^et

b = ρ θ

2 2

a b z

ρ

= + = , est le module de z. θ, mesure de l’angle orienté

(

O OM , modulo 2^x,

)

π, est l'argument de z, Arg(z).

On a en particulier : tan b θ =a ( )

On définit ainsi l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe :

^{z = ρ} ( ^{cos θ + i sin θ} )

associée à son écriture polaire sous forme de couple : z = (

ρ

,

θ

⁾

remarque : un complexe est nul si et seulement si ρ ^{= 0.}

En effet, aucune valeur de θ ne peut rendre z nul si ρne l’est pas.

Opposé et conjugué :

(

^{cos sin}

) (

^{cos sin}

) (

^cos

( )

^sin

( ) )

z

ρ θ

i

θ ρ θ

i

θ ρ θ

i

θ

− = − + = − − = + π + + π

Donc : |-z| = ρ = |z| et Arg(-z) = θ + π = Arg(z) + π

(

^{cos sin}

) (

^cos

( )

^sin

( ) )

z =

ρ θ

−i

θ

=

ρ

− +

θ

i −

θ

Donc : z = z ^{et Arg}

( )

^{z = −Arg}

( )

^z

2.3 Identification aux vecteurs

On notera aussi qu’au nombre complexe z = (a, b) correspond le vecteur OM a b

=  

  On note que ρ= a²+b² = =z OM =OM et que θ ^{= Arg(}z) =

(

^{O OMx,}

)

^.

Soustrayons les deux complexes z et z’ affixes de deux points M et M’ : ^{z′− =z}

(

^{a′− +a}

) (

^{i b′−b}

)

^.

Or MM a a

b b

′ −

 

′ = 

 ′ − 

z’ – z est donc le représentant du vecteur MM′, module : | z’ – z | = MM’

argument : ^Arg

(

^{z′− =z}

) (

^{O MMx, ′}

)

2.4 Notation exponentielle

On montre qu’un nombre complexe peut aussi être écrit sous forme exponentielle (travaux d’Euler, Mathématicien Suisse 1707-1783) :

e ⁱ z = ρ ^θ

Cette dernière notation permet de simplifier de nombreux calculs, notamment lorsqu’on doit multiplier ou diviser deux nombres complexes. Elle permet également de démontrer l’immense majorité des formules de trigonométrie.

6

3 Opérations sur les complexes

3.1 dans leurs différentes représentations

Addition et soustraction Multiplication et division

Cartésienne

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

z + = z a + a + i b + b

( ) ( )

z

2

− = z

1

a

2

− a

1

+ i b

2

− b

1

( ) ( )

z z

1 2

= a a

1 2

− b b

1 2

+ a b

1 2

+ b a i

1 2

( ^{a a b b} ) ( ^{i a b a b} )

z

z a b

+ + −

= +

1 2 1 2 1 2 2 1

2

2 2

1 1 1

Addition et soustraction Multiplication et division

Trigono- métrique

( )

( )

cos cos

sin sin

z z i

ρ θ ρ θ

ρ θ ρ θ

+ = +

+ +

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

aucune simplification possible, ni avec la soustraction

( )

( )

( ) ( )

( )

cos cos sin sin cos sin sin cos

cos sin

[

]

z z i

z z i

ρ ρ θ θ θ θ

θ θ θ θ

ρ ρ θ θ θ θ

= −

+ +

= + + +

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

ainsi :

|z

1

z

2

| = |z

1

|×|z

2

|

et

Arg(z

1

z

2

) = Arg(z

1

) + Arg(z

2

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

cos sin

cos sin

cos sin

z i z

i

ρ ρ θ θ θ θ

ρ θ ρ θ

ρ θ θ θ θ

ρ

− + −

= +

= − + −

1 2 2 1 2 1

2

2 2

1 1 1 1 1

2

2 1 2 1

1

ainsi : z z z² = z²

1 1

et ^z

( )

^z

( )

^z

z

 

= −

 

 

2

2 1

1

Arg Arg Arg

Addition et soustraction Multiplication et division

Exponentielle

1 2

1 2 1

e

ⁱ 2

e

ⁱ

z + = z ρ

^θ

+ ρ

^θ

aucune simplification possible, ni avec la soustraction

( 1 2)

1 2

1 2 1

e

ⁱ 2

e

ⁱ 1 2

e

ⁱ

z z = ρ

^θ

ρ

^θ

= ρ ρ

^{θ θ+}

d’où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique

( )

2

2 1 1

2 2 2

1 1 1

e e

e

i

i i

z z

θ θ θ

θ

ρ ρ

ρ ρ

= =

−

d’où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique

Addition et soustraction Multiplication et division

Vectorielle et

graphique

1 2

z +z représente le vecteur

1 2

OM +OM

2− 1

z z représente le vecteur M M_{1 2}

ON = OM1 × OM2

(

^{O ONx,}

) (

^{= O OMx, 1}

) (

^{+ O OMx, 2}

)

2 1

ON OM

=OM

( ) ( ) ( )

( )

, , ,

,

2 1

1 2

O ON O OM O OM OM OM

= −

=

x x x

8

3.2.1 Multiplication par i

Considérons les deux nombres complexes écrits sous leur forme géométrique polaire :

( )

^,

z=

ρ θ

et 1, i  2π

= 

  ou encore sous leur forme exponentielle : z=

ρ

e^{iθ et i}=^ei2π. Formons leur produit : iz eⁱ² eⁱ e^{i 2}

π ρ θ ρ ^θ^+π

= × =

Le module de iz est égal à celui de z mais son argument est augmenté de 2

π. Ainsi le point image

M’(iz) se déduit du point M(z) par une rotation de centre O et d’angle de rotation 2 π.

Ex : Donner les coordonnées du point B, image de A(5 , 2) par rotation de centre O et d’angle 90°.

( ) ( )

B . A 5 2 2 5 donc B 2 , 5

z =i z =i + i = − + i = − .

3.2.2 Cas général

Soit un complexe z0 de module 1. En écriture exponentielle :

z z

₀

. = e

^iθ0

× ρ e

^iθ

= ρ e

^{i(θ θ+ 0)}

M’(z0z) se déduit du point M(z) par la rotation de centre O et d’angle θ^0. Ex : Donner les coordonnées de B, image de A(5 ; 2) par la rotation de centre O et d’angle 60°.

Il faut multiplier zA par le complexe ³ cos sin 1 3

e 3 3 2 2

i

i i

π =   π +   π = +

    :

( )

^.

B

1 3 5 5 3 5 5 3

5 2 3 1 Donc B 3 , 1

2 2 2 2 2 2

z i  i    i   

= +  + = − +  +  = − + 

3.2.3 Rotation autour d’un point quelconque

Les nombres complexes peuvent nous faire déterminer la position de l’image B d’un point A par une rotation de centre C, point du plan autre que l’origine de notre repère. En effet, les vecteurs CA et CB sont décrits par les nombres complexes zA – zC et zB – zC. Or, comme vu précédemment, une rotation d’angle θ⁰ se traduit en nombres complexes par la multiplication par e^iθ0. D’où :

^z

^B

^{− = z}

^C

^e

^iθ0

( ^z

^A

^{− z}

^C

)

En retour, dans plusieurs exercices on pourra faire apparaître un nombre complexe de forme ^{B C}

A C

z z

z z

−

− ^. Son argument est alors automatiquement l’angle

(

^{CA , CB ,}

)

et son module est le rapport CB

CA . Si ce module vaut 1, cela exprime directement que CA = CB.

3.3 Puissances, formule de Moivre et angle multiple

Considérons le nombre complexe : ^z=ρ

(

^cosθ+isinθ

)

^=ρeiθ. Nous voulons calculer zⁿ. Grâce à la notation exponentielle, on voit que

( )

^{ρeiθ n =ρn}

( )

^{eiθ n =ρneinθ}

Cela exprime la formule de Moivre :

( ^{cos θ + i sin θ} )

ⁿ

^{= cos} ( ) ^{n θ + i sin} ( ) ^{n θ}

3.4 Formules d’Euler et lignes trigonométriques

Soit la notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1, e^ix =cosx+isinx, Il vient en changeant x en – x : ^{e−ix =cos}

( )

^{− +x isin}

( )

^{− =x cosx i− sinx.}

Additionnons puis soustrayons membre à membre ces deux expressions. Nous obtenons deux expressions pour les fonctions trigonométriques usuelles, les deux formules d’Euler :

cos e e sin e e

2 ; 2

ix ix ix ix

x x

i

− −

+ −

= =