Prolongement par continuit´ e
D´edou
Mars 2011
Exemple
On consid`ere la fonction f :=x7→ sinxx. Elle est d´efinie en dehors de 0, mais elle a une limite en 0, `a savoir 1. Alors la fonction
x 7→ si x= 0 alors 1 sinon sinx x prolonge ”continˆument” f en 0.
La notation qu’on pr´ef`ere pour un tel prolongement est ˆf.
Restriction et prolongement
D´efinition
Soitf une fonction etI une partie de DDf.
La restriction def `a I est la fonction d´efinie sur I (et pas ailleurs) par x 7→f(x).
Inversement, sig est la restriction def `aI, on dit quef prolongeg `aDDf.
Si aest dans DDf mais pas dansI, on dit quef prolonge g ena.
Exemple
La fonctionx7→p
|x|prolonge `aRtout entier la fonctionx7→√ x
Exo 1
Donnez un prolongement dex7→√
x+ 1 `a Rtout entier.
Prolongement par continuit´ e
Proposition
SoitI un intervalle, eta un point deI. soitf d´efinie surI − {a} et
`un nombre. On pose
ˆf :=x7→ si x =a alors ` sinon f(x).
Alors ˆf est continue en assi la limite de f ena est `.
Exemple La fonction
x 7→ si x= 0 alors 2 sinon sinx x est discontinue en 0.
Exercice
Exo 2
Prolongez continˆument en z´ero la fonction x7→ coslnxx.
