Table des mati`eres

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Table des mati` eres

1 Formes lin´eaires et Espaces duals 3

1.1 Formes lin´eaires . . . 3

1.2 Hyperplans . . . 4

1.3 Base duale . . . 5

1.4 Orthogonalit´e . . . 8

1.5 Bidual et base pr´eduale . . . 10

1.6 Transpos´ee d’une application lin´eaire . . . 11

2 Formes bilinéaires et formes quadratiques 13 2.1 Formes bilinéaires symétriques . . . 13

2.1.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . 13

2.1.2 Matrice associée à une forme bilinéaire . . . 15

2.1.3 Rang d’une forme bilin´eaire . . . 17

2.1.4 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées . . . 17

2.1.5 Orthogonalit´e et vecteurs isotropes . . . 18

2.1.6 Bases orthogonales . . . 20

2.2 Formes quadratiques . . . 21

2.2.1 Définition et propriétés élémentaires . . . 21

2.2.2 Réduction d’une forme quadratique par la méthode de Gauss . 24 2.3 Signature d’une forme bilinéaire symétrique . . . 26

2.3.1 base orthogonale . . . 26

2.3.2 Th´eor`eme d’inertie de Sylvestre : . . . 27

3 Espaces Euclidiens 29 3.1 Produit scalaire . . . 29

1

(2)

TABLE DES MATI`ERES

3.2 Procédé d’orthogonalité de Gram-Schmidt . . . 32

3.3 Endomorphisme adjoint . . . 34

3.4 Projection orthogonale . . . 36

3.5 Endomorphismes orthogonaux . . . 37

(3)

Chapitre 1

Formes lin´ eaires et Espaces duals

1.1 Formes lin´ eaires

Définition 1.1.1 Soit E un IK-espace vectoriel. Une forme linéaire sur E est une application linéaire deE dans IK.

L(E,IK), l’espace des formes lin´eaires sur E, se note E^∗ et s’appelle l’espace dual de E.

Notation :Soient Φ∈E^∗ et x∈E, on note Φ(x) =< x,Φ>.

Exemple 1.1.1 Soit P_i : IKⁿ →IK, (a₁, . . . , a_i, . . . , a_n)7→ a_i. P i est lin´eaire et donc c’est une forme lin´eaire sur IK.

Exemple 1.1.2 L’application ϕ : IR[X]→IR, P 7→ϕ(P) =R1

0 P(t)dt, est lin´eaire et donc c’est une forme lin´eaire sur IR[X].

Exemple 1.1.3 T r : M_n(IK)→IK, A= (a_ij)7→T r(A) =Pn

i=0a_ij. La trace est une application lin´eaire et donc c’est une forme lin´eaire sur Mn(IK).

Exemple 1.1.4 Soit (x_n)_n≥0 un élément de IKIN. Alors l’application ψ définie sur IK[X] par pour tout P ∈ IK[X], P =

n

X

i=1

a_iXⁱ, ψ(P) =

n

X

i=1

a_ix_i est une forme lin´eaire surIK[X].

Remarque 1.1.1 Soit ϕ une forme bilin´eaire sur E un IK-espace vectoriel. Alors ϕ est identiquement nulle ou une application surjective.

3

(4)

1.2. HYPERPLANS

Théorème 1.1.1 1t1 Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un IK- espace vectoriel E. Alors toute forme linéaire sur F se prolonge en une forme linéaire sur E.

Démonstration : Soitϕ∈F^∗ une forme linéaire sur F. Soit Gun supplémentaire deF dans E. Soitx∈E, alors il existe un uniquex₁ ∈F et un uniquex₂ ∈Gtels que x=x₁+x₂. posons Φ(x) = ϕ(x₁), alors Φ est une forme linéaire sur E et Φ|F =ϕ.

Corollaire 1.1.1 Soitx un vecteur non nul d’un IK-espace vectoriel E. Alors il existe une forme lin´eaire Φ sur E telle que Φ(x) = 1.

Démonstration : Soit F = V ect({x}). Soit ϕ la forme linéaire définie sur F par ϕ(αx) = α. Alors d’après le théorème précédent, il existe une forme linéaire Φ sur E telle que Φ|F =ϕ. On a donc Φ(x) =ϕ(x) = 1.

1.2 Hyperplans

Définition 1.2.1 Soit E unIK-espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E admettant un supplémentaireGdansE. On dit queF est unhyperplansi la dimension deG est égale à 1 (on dit queF est de codimension égale à 1).

Remarque 1.2.1 Soit ϕ ∈ E^∗ non nulle. Alors Kerϕ est un hyperplan de E. En effet, commeϕest non nulle, alorsKerϕ 6=E. Soit x∈E\Kerϕ. Montrons que E = Kerϕ⊕vect({x}). Soit y∈E\Kerϕ, alors ϕ(y−^ϕ(y)_ϕ(x)x) = 0. Donc y−^ϕ(y)_ϕ(x)x∈Kerϕ.

A¨ınsi,

y=y− ϕ(y)

ϕ(x)x+ ϕ(y)

ϕ(x)x∈Kerϕ⊕vect({x}).

D’o`u, E =Kerϕ⊕vect({x}). Par cons´equent, Kerϕ est un hyperplan deE.

Proposition 1.2.1 Soit F un sous-espace vectoriel d’un IK-espace vectoriel E. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :

i)F est un hyperplan de E;

ii) Pour tout x∈E\F, E =F ⊕vect({x}); iii) Il existeϕ∈E^∗ non nulle telle que Kerϕ=F.

(5)

1.3. BASE DUALE

D´emonstration : : i) ⇒ ii) : Si F est un hyperplan de E, alors il existe un vecteur u∈ E\F tel que E =F ⊕V ect({u}). Soit x ∈ E\F. Comme E = F ⊕V ect({u}), alors il existe un vecteur v ∈ F et un scalaire α ∈ IK tels que x = v +αu. Puisque x /∈F, alors α6= 0. il vient que

u= 1 αx− 1

αv ∈F ⊕V ect({x}).

On en d´eduit que E =F ⊕V ect({x}).

ii)⇒iii) : Soit u∈ E\F tel que E =F ⊕V ect({u}). On consid`ere l’application Φ d´efinie sur E par

Φ :E =F ⊕V ect({u}) −→ IK x+αu 7−→ α . Alors Φ est une forme lin´eaire sur E non nul. De plus, KerΦ =F.

ii)⇒iii) : voir la remarque pr´ecedente.

Définition 1.2.2 Soit F = KerΦ un hyperplan de E. L’équation Φ(x) = s’appelle uneéquation de l’hyperplan F.

Examples 1.2.1 i) H={(x, y, z)∈IR³/ x+ 2y−3z = 0}est un hyperplan de IR³. ii)H ={A ∈ M_n(IK)/ tr(A) = 0} est un hyperplan de M_n(IK).

iii) H ={P ∈IK[X]/ P(1) = 0} est un hyperplan de IK[X].

1.3 Base duale

Théorème 1.3.1 Soit E un espace vectoriel sur IK de dimension finie égale à n et soit {e₁, e₂, . . . , e_n} une base de E. Pour chaque i, i = 1, . . . n, on définit e^∗_i la forme linéaire définie sur E par

< e_j, e^∗_i >=e^∗_i(e_j) =δ_ij, ∀j, j = 1. . . , n o`u δ_ij est le symbole de Kronecker d´efinie par

δij =







1 si i=j

0 sinon

Alors la famille{e^∗₁, e^∗₂, . . . , e^∗_n}est une base deE^∗, dite la base duale de{e₁, e₂, . . . , e_n}.

K. Lamrini Uahabi -5- SMA S4 Alg`ebre 5

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1.3. BASE DUALE

Démonstration : : D’abord, il est clair que pour chaque i, i = 1, . . . n, l’application e^∗_i a¨ınsi définie est une forme linéaire sur E.

Soient λ₁, λ₂, . . . , etλ_n ∈IK tels que X

i=1

nλ_ie^∗_i = 0_E^∗. Soit j ∈ {1, . . . , n}, alors

0 = (X

i=1

nλ_ie^∗_i)(e_j) =X

i=1

nλ_i < e_j, e^∗_i >=λ_j.

Il s’en suit que la famille{e^∗₁, e^∗₂, . . . , e^∗_n}est lin´eairement ind´ependante.

Maintenant soit Φ ∈ E^∗. Comme < ej,X

i=1

nΦ(ei)e^∗_i >=< ej,Φ > pour tout j, j = 1. . . , n, alors Φ =X

i=1

nΦ(e_i)e^∗_i. Donc{e^∗₁, e^∗₂, . . . , e^∗_n} est une famille génératrice deE^∗. Ce qui achève la preuve.

Proposition 1.3.1 Soit E un espace vectoriel sur IK de dimension finie ´egale `a n.

Soient {e₁, e₂, . . . , e_n} une base de E et {e^∗₁, e^∗₂, . . . , e^∗_n} sa base duale. alors on a : i) pour tout x∈E, xX

i=1

n < x, e^∗_i > e_i. ii) pour tout Φ∈E^∗, Φ =X

i=1

n< e_i,Φ> e^∗_i.

D´emonstration : : i) Soit x∈E, alors x=X

i=1

nx_ie_i avec lesx_i sont dansk. Pour tout j, j = 1, . . . , n on a

< x, e^∗_j >=X

i=1

n< e_i, e^∗_j >=x_j.

A¨ınsi,

x=X

i=1 nx_ie_i.

ii) voir la deuxième partie de la démonstration du Théorème 1.3.1.

Exemple 1.3.1 Soit {e₁, e₂}la base canonique de IR². Alors sa base duale {e^∗₁, e^∗₂}est d´efinie par

∀x= (x1, x2)∈IR², < x, e^∗_i >=xi. On en d´eduit que

e^∗₁ :IR² −→ IR (x₁, x₂) 7−→ x₁ et

e^∗₂ :IR² −→ IR (x₁, x₂) 7−→ x₂

.

(7)

1.3. BASE DUALE

Plus g´en´eralement on a

Exemple 1.3.2 Soit {e₁, . . . , e_n} la base canonique de IKⁿ. La base duale {e^∗₁, . . . , e^∗_n} de {e₁, . . . , e_n} est d´efinie par

∀x= (x₁, . . . , x_n)∈IRⁿ, < x, e^∗_i >=x_i.

donc pour tout i, i= 1, . . . , n, e^∗_i est la projection de la i`eme composante. (....)

Exemple 1.3.3 Soit{1, X, . . . , Xⁿ}la base canonique deIK_n[X]. La base duale{Φ₀,Φ₁, . . . ,Φ_n} de{1, X, . . . , Xⁿ} est d´efinie par

mboxpourtoutP =

n

X

k=0

a_kX^k∈IK_n[X], pour tout i, i= 1. . . , n, < P,Φ_i >=a_i. Maintenant, soit a ∈ IK et soit Φ_a la forme lin´eaire sur E d´efinie par < P,Φ_a >=

P(a),∀P ∈IK_n[X]. Ce qui donne Φ_a=

n

X

i=0

< Xⁱ,Φ_a>Φ_i =

n

X

i=0

aⁱΦ_i.

Proposition 1.3.2 Soient E et B deux bases de E, et E^∗ et B^∗ les bases duales res- pectives. Alors

PE^∗→B^∗ =^t((PE→B)⁻¹),

où PE^∗→B^∗ est la matrice de passage de E^∗ à B^∗ et PE→B est la matrice de passage de E à B.

D´emonstration : : Soient PE→B= (aij) et PE^∗→B^∗ = (bij). Posons x_j =

n

X

k=1

a_kje_k et x^∗_i =

n

X

l=1

b_lie^∗_l.

Alors pour touti, j ∈ {1, . . . , n}, on a δ_ij =< x_j, x^∗_i > =

n

X

l=1

b_lie^∗_l(

n

X

k=1

a_kje_k)

=

n

X

l=1 n

X

k=1

bliakje^∗_l(ek)

=

n

X

l=1 n

X

k=1

b_lia_kjδ_lk

=

n

X

k=1

b_kia_kj.

(8)

1.4. ORTHOGONALIT´E

On remarque que le membre à gauche de l’égatilé est le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice identité, tandis que le membre à droite de l’égalité est le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne du produit de la transposée de PE^∗→B^∗ et la matrice PE→B. Il s’ensuit que I = ^t(PE^∗→B^∗)PE→B, soit P_E^∗_→B^∗ =^t((P_E→B)⁻¹.

Exemple 1.3.4 Soit E = {e₁, e₂} la base canonique de IR². Soient v₁ = e₁ et v₂ = e1 −e2. Alors B = {v1, v2} est une nouvelle base de IR². Soient E^∗ = {e^∗₁, e^∗₂} et B^∗ ={v₁^∗, v₂^∗} de{v₁, v₂}. D’après la proposition précédente, on a

P_E^∗_→B^∗ =^t((P_E→B)⁻¹ =



 1 0 1 −1



.

A¨ınsi,

v₁^∗ :IR² −→ IR (x₁, x₂) 7−→ x₁+x₂ et

v₂^∗ :IR² −→ IR (x₁, x₂) 7−→ −x₂ .

1.4 Orthogonalit´ e

D´efinition 1.4.1 Soit E unIK-espace vectoriel.

i) Pour toute partieA deE, l’orthogonale de A dans E^∗, qu’on note A^⊥, est la partie deE^∗ d´efinie par A^⊥ ={Φ∈E^∗ : ∀x∈A, < x,Φ>= 0}.

ii) Pour toute partieB deE^∗, l’orthogonale de B, qu’on note ^⊥B, est la partie de E d´efinie par ^⊥B ={x∈E : ∀Φ∈B, < x,Φ>= 0}.

Remarque 1.4.1 SiA₁ ⊂A₂, alorsA^⊥₂ ⊂A^⊥₁.

Proposition 1.4.1 Soit E un espace vectoriel sur IK.

i) Pour toute partie A de E, A^⊥ est un sous-espace vectoriel de E^∗.

ii) Pour toute partie A de E, A^⊥ = (V ect(A))^⊥. En particulier, ∅^⊥={O_E}^⊥.

(9)

1.4. ORTHOGONALIT´E

iii) Pour toute partie B de E^∗, ^⊥B est un sous-espace vectoriel de E.

iv) Pour toute partieB de E^∗, ^⊥B =^⊥(V ect(B)). En particulier, ^⊥∅=^⊥{0_E^∗}=E.

v) E^⊥ ={0E^∗} et ^⊥E^∗ ={0E}.

Démonstration : i) Première méthode : on peut utiliser la définition d’un sous- espace vectoriel.

Deuxième méthode : pour chaque x ∈ A, soit ˜x la forme linéaire définie sur E^∗ par

< ϕ,x >=< x, ϕ >˜ pour tout ϕ ∈ E^∗. On a alors A^⊥ = ∩x∈Aker ˜x, qui est une intersection de sous-espace vectoriel de E^∗. On en d´eduit que A^⊥ est un sous-espace vectoriel deE^∗.

ii) D’après la remarque 1.4.1, on a V ect(A)^⊥ ⊂ A^⊥. L’autre inclusion est facile à vérifier.

iii) On a ^⊥B =∩ϕ∈Bkerϕ. Alors ^⊥B est un sous-espace de E.

iv) Facile `a v´erifier.

iv) On aϕ∈E^⊥ si, et seulement si, ∀x∈E, < x, ϕ >= 0 ; C’est-`a-direϕ= 0_E^∗. Six∈^⊥E^∗, alors pour toutϕ∈E^∗, < x, ϕ >= 0. Donc x= 0. Car sinon il existe une forme lin´eaire ϕ∈E^∗ telle que< x, ϕ >6= 0.

Théorème 1.4.1 Soit F un sous-espace vectoriel d’un IK-espace vectoriel E. Alors a) F^∗ est isomorphe à E^∗/F^⊥.

b) (E/F)^∗ est isomorphe `a F^⊥.

Démonstration : a) Considèrons l’application Ψ : E^∗ →F^∗ définie par Ψ(Φ) = Φ|F. Alors Ψ est linéaire. De plus, Ψ est surjective. En effet, siϕ∈F^∗, alors d’après le théorème des prolongements des formes linéaires, il existe Φ∈ E^∗ telle que Φ|F =ϕ.

Donc Ψ(Φ) =ϕet Ψ est surjective.

On a

ker Ψ = {Φ∈E^∗/Φ|F = 0_F^∗}

= {Φ∈E^∗/∀x∈F, < x,Φ>= 0}

= F^⊥.

On en d´eduit que E^∗/F^⊥ est isomorphe `a F^∗.

(10)

1.5. BIDUAL ET BASE PR´EDUALE

b) Soit π : E → F la surjection canonique et soit s : (E/F)^∗ → E^∗ d´efinie par s(Φ) = Φ◦π pour tout Φ ∈ (E/F)^∗. Alors s est lin´eaire et de plus elle est injective.

Montrons queIm(s) =F^⊥.

Soit ϕ∈F^⊥. Alors < x, ϕ >= 0 pour toutx∈F. Soit Φ d´efinie par Φ◦π(x) =< π(x),Φ>=< x, ϕ >, ∀x∈E.

Alors Φ est bel et bien d´efinie : si π(x) = π(y), alors x−y ∈ F. Donc par hypoth`ese surϕ, < x−y, ϕ >= 0. Par suite < x, ϕ >=< y, ϕ. Ce qui donne Φ(π(x)) = Φ(π(y)).

De plus, Φ∈(E/F)^∗ et s(Φ) =ϕ. Alors F^⊥⊆Im(s).

Inversement, soitϕ∈Im(s). Donc il existe Φ ∈(E/F)^∗ telle ques(Φ) = Φ◦π =ϕ.

Donc pour toutx∈E, < π(x),Φ>=< x, ϕ >. En particulier, si x∈F alors π(x) = 0 et donc< x, ϕ >= 0. Ce qui donne ϕ∈F^⊥.

Corollaire 1.4.1 SoitE un espace vectoriel de dimension finie. Alors pour tout sous- espace vectoriel F de E, on a

dimE = dimF + dimF^⊥.

Démonstration : Etant donné que (E/F)^∗ est isomorphe à F^⊥, alors dim(E/F)^∗ = dimF^⊥. Or, dim(E/F)^∗ = dim(E/F) = dimE−dimF. D’où le résultat.

1.5 Bidual et base pr´ eduale

D´efinition 1.5.1 Soit E un espace vectoriel sur IK. On appelle bidual de E, qu’on note E^∗∗, l’espace vectoriel dual de E^∗. Autrement dit, E^∗∗= (E^∗)^∗ =L(E^∗,IK).

Remarque 1.5.1 Soit E un espace vectoriel surIK. Consid`erons l’application Ψ : E −→ E^∗∗

x 7−→ x,˜

où ˜x(ϕ) = Ψ(x)(ϕ) :=ϕ(x),∀ϕ∈E^∗ et∀x∈E. Alors Ψ est linéaire et injective. Donc E s’identifie canoniquement à un sous-espace vectoriel deE^∗∗. Si E^∗ est de dimension finie, alors dimE = dimE^∗ = dimE^∗∗ et donc Ψ est un isomorphisme et dans ce cas E s’identifie canoniquement à E^∗∗.

(11)

1.6. TRANSPOS´EE D’UNE APPLICATION LIN´EAIRE

Proposition 1.5.1 Soient E un espace vectoriel sur IK de dimension finie ´egale `a n.

Alors pour toute base {ϕ₁, ϕ₂, . . . , ϕ_n} de E^∗, il existe une base {u₁, u₂, . . . , u_n} de E, dite base pr´eduale de {ϕ₁, ϕ₂, . . . , ϕ_n} v´erifiant u^∗_i =ϕ_i pour tout i= 1, . . . , n.

Démonstration : Soit {ϕ₁, ϕ₂, . . . , ϕ_n}de E^∗. Soit{ϕ^∗₁, ϕ^∗₂, . . . , ϕ^∗_n}sa base duale dans E^∗∗. Etant donné queE est un espace vectoriel de dimension finie, alors d’après la remarque précédente l’application

Ψ : E −→ E^∗∗

x 7−→ x,˜

est bijective. Pour chaquei, i= 1, . . . , n, posons ui = Ψ⁻¹(ϕ^∗_i). Alors {u1, u2, . . . , un} est une base deE v´erifiant ˜u_i =ϕ^∗_i, ∀i= 1, . . . , n. Donc pour tous i etj = 1, . . . , non a

< ui, ϕj >=< ϕj,u˜i >=< ϕj, ϕ^∗_i >=δij. on en d´eduit que u^∗_i =ϕi pour touti= 1, . . . , n.

1.6 Transpos´ ee d’une application lin´ eaire

Définition 1.6.1 Soient E et F des IK-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application linéaire. La transposée de ϕ, qu’on note ^tϕ, est l’application de F^∗ dans E^∗ définie par

tϕ(Φ) = Φ◦ϕ, ∀Φ∈F^∗.

Autrement dit

∀Φ∈F^∗, ∀x∈E, < x,^tϕ(Φ)>=< ϕ(x),Φ> . (1.1) Proposition 1.6.1 L’application transpos´ee ^tϕest lin´eaire.

D´emonstration : Exercice.

Proposition 1.6.2 Soient E et F des IK-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application linéaire. Si ψ : F^∗ →E^∗ est une application linéaire vérifiant

∀Φ∈F^∗, ∀x∈E, < x, ψ(Φ)>=< ϕ(x),Φ>, alors ψ =^tϕ.

(12)

1.6. TRANSPOS´EE D’UNE APPLICATION LIN´EAIRE

Proposition 1.6.3 Soient E, F et G des IK-espaces vectoriels et soit λ ∈IK. Soient ϕ, ψ∈ L(E, F) et Φ∈ L(F, G). Alors

t(ϕ+ψ) =^tϕ+^tψ, ^t(λϕ) = λ^tϕ et ^t(Φ◦ϕ) = ^tϕ◦^tΦ.

Th´eor`eme 1.6.1 Soient E et F des IK-espaces vectoriels et ϕ∈ L(E, F). Alors i)ker^tϕ= (Imϕ)^⊥.

ii) Im^tϕ= kerϕ^⊥.

Th´eor`eme 1.6.2 Soient E un IK-espace vectoriel de dimension finie et ϕ un endomorphisme deE. Soient B une base deE etB^∗ sa base duale. SiA=M at(ϕ,B), alors M at(^tϕ,B^∗) =^tA.

D´emonstration:SoientB ={e₁, . . . , e_n}etB^∗ ={e^∗₁, . . . , e^∗_n}. SoitA=M at(ϕ,B) = (a_ij)1≤i,j≤n. Donc pour tousi et j, on a

a_ji=< ϕ(e_i), e^∗_j > .

Soit B = (b_ij)1≤i,j≤n la matrice associ´ee `a ^tϕ dans B^∗. Pour tout j = 1, . . . , n, on a

tϕ(e^∗_j) =

n

X

k=1

bkje^∗_k. Par cons´equent, pour tout i= 1, . . . , n,

a_ji=< e_i,^tϕ(e^∗_j)>=< e_i,

n

X

k=1

b_kje^∗_k>=b_ij.

(13)

Chapitre 2

Formes bilin´ eaires et formes quadratiques

2.1 Formes bilin´ eaires sym´ etriques

2.1.1 D´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires

Définition 2.1.1 Soit E un IK-espace vectoriel. Une application Φ : E×E →IK est dite forme bilinéaire surE si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

i) pour touty ∈E fix´e, l’application Φ_y : E →IK,x7→Φ(x, y) est une forme lin´eaire surE;

ii) pour toutx∈E fix´e, l’application Φx : E →IK,y7→Φ(x, y) est une forme lin´eaire surE.

la forme bilinéaire Φ sur E est dite symétrique si ∀x, y ∈E, Φ(x, y) = Φ(y, x). Elle est diteantisymétrique si ∀x, y ∈E, Φ(x, y) = −Φ(y, x).

Exemple 2.1.1 Soit E = C([0,1]) l’espace des fonctions r´eelles continues sur [0,1].

Alors l’application Φ d´efinie sur E×E par Φ(f, g) =

Z 1 0

f(t)g(t)dt

est une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.

Exemple 2.1.2 Soit E =IKⁿ, alors l’application ϕd´efinie par ϕ(x, y) =

n

X

i=1

xiyi

13

(14)

2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES

est une forme bilin´eaire sym´etrique sur IKⁿ.

Exemple 2.1.3 L’application Φ(x, y) =x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃−x₄y₄est une forme bilinaire surIR⁴.

Exemple 2.1.4 Soient Φ₁et Φ₂des formes lin´eaires surE. Alors l’application Φ(x, y) = Φ1(x)Φ2(y) est une forme bilin´eaire sur E.

En particulier, Φ(x, y) =xy est forme bilin´eaire sym´etrique surIR.

Exemple 2.1.5 L’application

E^∗×E → IR

(x^∗, x) 7→ < x, x^∗ >

est une forme bilin´eaire dite canonique.

Exemple 2.1.6 L’application IR² ×IR² → IR, (x, y) 7→ det(x, y) est une forme bilin´eaire antisym´etrique.

Exemple 2.1.7 Soit M ∈ M_n(IR). Alors l’application Ψ_M : IRⁿ×IRⁿ → IR

(X, Y) 7→ ^tXM Y est une forme bilin´eaire sur IRⁿ.

Remarque 2.1.1 i) si Φ est une forme bilin´eaire sym´etrique, alorsΦ(x+y, x+y) = Φ(x, x) + 2Φ(x, y) + Φ(y, y), ∀x, y ∈E.

ii) si Φ est antisym´etrique, alors Φ(x, x) = 0, ∀x∈E.

Proposition 2.1.1 Soitφ une forme bilin´eaire surE. Alors φ est identiquement nulle si, et seulement si, ∀x∈E, φ(x, x) = 0.

Démonstration : Si φ(x, x) = 0 pour tout x ∈ E, alors d’apres i) de la remarque précédente, 0 = φ(x+y, x+y) = 2φ(x, y). Ce qui implique que φ est identiquement nulle. L’autre sens est trivial.

(15)

2.1.2 Matrice associ´ ee ` a une forme bilin´ eaire

Proposition 2.1.2 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie et de base B = {e1, e2, . . . , en}. Alors toute forme bilinéaire Φ sur E est caractérisée par l’ensemble {Φ(e_i, e_j),1≤i, j ≤n}.

D´emonstration:Soientxety∈E. Alorsx=x1e1+· · ·+xnenety=y1e1+· · ·+ynen. Donc

Φ(x, y) = Φ(

n

X

i=1

x_ie_i,

n

X

j=1

y_je_j)

=

n

X

i=1

x_iΦ(e_i,

n

X

j=1

y_je_j)

=

n

X

i=1 n

X

j=1

xiyjΦ(ei, ej).

D’o`u le r´esultat.

Définition 2.1.2 Soient Φ : E×E →IRune forme bilinéaire surEetB={e₁, . . . , e_n} une base deE. La matrice associée à Φ dans la base B est la matrice définie par

M atB(Φ) = (Φ(e_i, e_j))1≤i,j≤n.

Exemple 2.1.8 On considère la forme bilinéaire Φ définie sur IR₂[X] par Φ(P, Q) = P(0)Q(0) +P(1)Q(1) + 2P(2)Q(2).

la matrice associ´ee `a Φ dans la base canonique B={1, X, X²} est

M at_B(Φ) =







Φ(1,1) Φ(1, X) Φ(1, X²) Φ(X,1) Φ(X, X) Φ(X, X²) Φ(X²,1) Φ(X², X) Φ(X², X²)







=







4 5 9

5 9 17 9 17 33





 .

Théorème 2.1.1 Soit B = {e1, . . . , en} une base d’un IR-espace vectoriel E. Soit Φ une forme bilinéaire sur E. Alors

Φ(x, y) = (x1· · ·xn)M^t(y1· · ·yn) o`u x=x₁e₁+· · ·+x_ne_n, y=y₁e_n+· · ·+y_ne_n et M =M atB(Φ).

(16)

En particulier, toute forme bilin´eaire sur IRⁿ est de la forme

< , >M: IRⁿ×IRⁿ → IR (X, Y) 7→ ^tXM Y o`u M ∈ M_n(IR).

Corollaire 2.1.1 Une forme bilinéaire est symétrique si, et seulement si, sa matrice dans une base quelconque est symétrique.

Théorème 2.1.2 Soit Φ une forme bilinéaire sur IR-espace vectoriel E. Soient B = {e₁, . . . , e_n}et B⁰ ={f₁, . . . , f_n} deux bases deE. Soit P la matrice de passage de base B à la base B⁰. Alors la matrice associée à Φ dans la base B⁰ est donnée par

M atB⁰ =^tP M atB⁰(Φ)P.

D´emonstration : Soit

P =







f₁₁ · · · f_1n f21 · · · f2n

... ... ... fn1 · · · fnn





 .

Alors

tP M atB(Φ)P =







f₁₁ · · · f_n1 f₁₂ · · · f_n2 ... ... ... f_1n · · · f_nn













Φ(e₁, e₁) · · · Φ(e₁, e_n) Φ(e₂, e₁) · · · Φ(e₂, e_n)

... ... ... Φ(e_n, e₁) · · · Φ(e_n, e_n)













f₁₁ · · · f_1n f₂₁ · · · f_2n ... ... ... f_n1 · · · f_nn





 .

On remarque que le coefficient de la i-`eme ligne et de la j-`eme colonne est

n

X

k=1 n

X

l=1

f_kiΦ(e_k, e_l)f_lj

qui est égal à Φ(f_i, f_j) le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice M atB⁰(Φ). Ce qui achève la démonstration.

Exemple 2.1.9 Reprenons l’exemple pr´ec´edent

Φ(P, Q) = P(0)Q(0) +P(1)Q(1) + 2P(2)Q(2).

(17)

SoientB ={1, X, X²}la base canonique de IR₂[X] et soit B⁰ ={1,1 +X,1 +X²}. On sait que

M atB(Φ) =







4 5 9

5 9 17 9 17 33





 .

Alors d’après le théorème précédent,

M atB⁰(Φ) =^t







1 1 1 0 1 0 0 0 1













4 5 9

5 9 17 9 17 33













1 1 1 0 1 0 0 0 1







=







4 9 13 9 23 35 13 35 55





 .

2.1.3 Rang d’une forme bilin´ eaire

On rappelle que deux matrices carrées A et B de même ordre sont équivalentes s’il existe deux matrices inversibles P et Q telles que B = QAP. Dans ce cas, les deux matrices ont le même rang.

D´efinition 2.1.3 Soient A et B ∈ M_n(IK). On dit que A et B sont congruentes s’il existe une matrice inversibleP telle queB =^tP AP.

Remarque 2.1.2 Deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire par rapport à deux bases de E sont congruentes et donc ont le même rang.

Définition 2.1.4 Soit Φ une forme bilinéaire surE. SoitB une base de E. On définit le rang de Φ, noté rg(Φ), par rg(Φ) =rg(M atB(Φ)).

Exemple 2.1.10 Le rang de la forme bilinéaire Φ(P, Q) = P(0)Q(0) +P(1)Q(1) + 2P(2)Q(2) est égale à 3.

2.1.4 Formes bilin´ eaires sym´ etriques non d´ eg´ en´ er´ ees

Définition 2.1.5 Une forme bilinéaire Φ surIK-espace vectoriel E de dimension finie est dite dégénérée si rg(Φ) <dimE. Dans le cas contraire (si rg(Φ) = dimE), Φ est dite non-dégénérée.

Exemple 2.1.11 La forme bilinéaire dans l’exemple précédent est non-dégénérée.

(18)

Théorème 2.1.3 soit Φune forme bilinéaire symétrique sur E un espace vectoriel de dimension finie. Alors Φest non-dégénérée si, et seulement si, l’application

Ψ : E −→ E^∗

y 7−→ Φ_y, o`u Φ_y(x) = Φ(x, y), ∀x∈E est injective.

D´emonstration : Soient B={e₁, . . . , e_n} une base deE et B⁰ ={e^∗₁, . . . , e^∗_n} sa base duale. Soit M = M at(Ψ,B,B⁰) = (m_ij)1≤i,j≤n. Alors on a Ψ(e_j) =

n

X

k=1

m_kje^∗_k. Donc pour chaqueiet j, on a Φ(ej, ej) = Ψ(ej)(ei) =

n

X

k=1

mkje^∗_k(ei) = mij. On en d´eduit que M =M at_B(Φ).

Ainsi, on aura,

Φ est non-dégénérée ⇐⇒ det(M)6= 0

⇐⇒ det(M at(Ψ,B,B⁰)6= 0

⇐⇒ Ψ est bijective

⇐⇒ Ψ est injective.

2.1.5 Orthogonalit´ e et vecteurs isotropes

D´efinition 2.1.6 Soit Φ une forme bilin´eaire surE. SoitA une partie non vide deE.

L’orthogonale deA par rapport à la forme bilinéaire Φ, qu’on note A^⊥, est défini par A^⊥ ={y∈E /Φ(x, y) = 0, ∀x∈A}.

Remarque 2.1.3 Soient A et B des parties non vides de E telles que A ⊂B. Alors B^⊥⊂A^⊥.

Proposition 2.1.3 Soient Φ une forme bilin´eaire sur E et A une partie non vide de E. Alors

i)A^⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

ii) A^⊥ =V ect(A)^⊥.

D´emonstration : Exercice. (A^⊥=∩x∈Aker Φ_x)

(19)

Remarque 2.1.4 Par convention,

∅^⊥ =V ect(∅)^⊥ ={0}^⊥ =E.

Proposition 2.1.4 SoientE un IK-espace vectoriel de dimension finie et Φune forme bilin´eaire sym´etrique sur E. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors

i)dimF + dimF^⊥ ≤dimE.

ii) Si de plus Φ est non-dégénérée, on aura dimF + dimF^⊥ = dimE.

Démonstration : On considère l’application Ψ : E →F^∗ définie par Ψ(y)(x) = Φ(x, y), ∀y∈E, ∀x∈F.

Il est clair que Ψ est linéaire et ker Ψ =F^⊥. i) Il découle du théorème du rang.

ii) On suppose que Φ est non-dégénérée et montrons que ImΦ = F^∗. Soit ϕ ∈ F^∗. D’après le théorème de prolongement des formes linéaires, il existe ψ ∈ E^∗ telle que ψ|_F = ϕ. Etant donnée que Φ est non-dégénérée et E de dimension finie, alors l’application

ξ : E −→ E^∗

y 7−→ ξ(y), o`u ξ(y)(x) = Φ(x, y),∀x∈E est bijective. Il existe donc uny∈E tel que ξ(y) =ψ. Par cons´equent,

∀x∈F, Ψ(y)(x) = Φ(x, y) = ξ(y)(x) =ψ(x) = ϕ(x).

Ainsi, Ψ(y) =ϕ. Ce qui implique que Ψ est surjective. On en déduit queImΨ =F^∗. Maintenant, le théorème du rang affirme

dimF + dimF^⊥ = dimE.

Définition 2.1.7 Soit Φ une forme bilinéaire symétrique sur unIK-espace vectorielE.

i) Deux vecteurs xet y∈E sont orthogonauxsi Φ(x, y) = 0.

ii) Un vecteurx∈E estisotrope si Φ(x, x) = 0.

iii) Un sous-espace vectoriel F de E estisotrope si F ∩F^⊥ 6={0}.

iv) Un sous-espace vectorielF deE est totalement isotrope si F ⊂F^⊥.

(20)

Exemple 2.1.12 Soit Φ la forme bilinéaire symétrique définie sur IR² par Φ(x, y) = x₁y₁ −x₂y₂. Les vecteurs (1,0) et (0,1) sont orthogonaux tandis que le vecteur (1,1) est isotrope.

Remarques 2.1.5 1) L’ensemble des vecteurs isotropes deE n’est pas n´ecessairement un sous-espace vectoriel deE.

2) Le noyau de Φ n’est pas en g´en´eral l’ensemble des vecteurs isotropes.

Théorème 2.1.4 Soit Φ une forme bilinéaire symétrique sur un IK-espace vectoriel E. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors

E =F ⊕F^⊥⇐⇒F est non isotrope.

D´emonstration :=⇒: Supposons E =F ⊕F^⊥. AlorsF ∩F^⊥ ={0} et doncF n’est pas isotrope.

⇐= : Si F est non isotrope, alors F ∩F^⊥ = {0}. Il suffit donc de montrer que E = F +F^⊥.

2.1.6 Bases orthogonales

Définition 2.1.8 Soit Φ une forme bilinéaire symétrique sur unIK-espace vectoriel E de dimension finie égale à n. On dit qu’une base B = {e₁, . . . , e_n} de E est une base orthogonaledeE (relativement à Φ) si

∀i, j = 1, . . . , n aveci6=j on aΦ(ei, ej) = 0.

Remarque 2.1.6 Soit Φ une forme bilinéaire symétrique sur unEet soitB={e₁, . . . , e_n} base orthogonale deE relativement à Φ. Alors M atB(Φ) est une matrice diagonale. Si M atB(Φ) = (aij), alors pour tousx=

n

X

i=1

xiei ety=

n

X

i=1

yiei, on a Φ(x, y) =

n

X

i=1

aiixiyi. Théorème 2.1.5 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et Φ une forme bilinéaire symétrique sur E. Alors E possède au moins une base orthogonale relative à Φ.

Démonstration : Nous procédons par récurrence sur la dimension de E. Si n = 1, alors toute base est orthogonale.

(21)

2.2. FORMES QUADRATIQUES

Supposons quen≥2. Si Φ est identiquement nulle, alors toute base est orthogonale relativement à Φ. Supposons donc que Φ n’est pas identiquement nulle. Alors il existe un vecteure₁(non isotrope) vérifiant Φ(e₁, e₁)6= 0. SoitF le sous-espace vectoriel engendré par e₁, F = V ect(e₁). Alors F ∩F^⊥ = {0}. Donc d’après le théorème précédent, E = F ⊕F^⊥. L’hypothèse de récurrence montre qu’il existe une base {e₂, . . . , e_n} de F^⊥ orthogonale relativement à Φ|F^⊥. Comme Φ(e₁, e_j) = 0, ∀j, j = 2, . . . , n, alors la famille {e₁, . . . , e_n} est une base de E orthogonale pour Φ.

2.2 Formes quadratiques

2.2.1 D´ efinition et propri´ et´ es ´ el´ ementaires

Définition 2.2.1 Soit E unIK-espace vectoriel. on dit q’une application Q : E →IK est une forme quadratique sur E s’il existe une forme bilinéaire symétrique Φ sur E vérifiant

∀x∈E, Q(x) = Φ(x, x).

Exemple 2.2.1 Soient E unIK-espace vectoriel et Φ une forme bilinéaire symétrique surE. Alors l’application Q : E →IK définie par

Q(x) := Φ(x, x), ∀x∈E,

est une forme quadratique sur E, appelée forme quadratique associée à la forme bi- linéaire symétrique Φ.

Théorème 2.2.1 Soient E un espace vectoriel sur IK et Qune forme quadratique sur E. Alors il existe une unique forme bilinéaire symétrique à laquelle Q est associée.

Cette forme bilinéaire symétrique Φ est appelée forme polaire de la forme quadratique Φ. Elle est reliée à celle-ci par la formule de polarisation suivante :

∀x, y ∈E, Φ(x, y) = 1

2[Q(x+y)− Q(x)− Q(y)].

Démonstration : Si Qest associée à une forme bilinéaire symétrique Φ, alors on a

∀x, y ∈E, Q(x+y) = Φ(x+y, x+y) = Φ(x, x) + 2Φ(x, y) + Φ(y, y).

On obtient donc la formule de polarisation annonc´ee ci-haut.

(22)

Exemple 2.2.2 Soit Q : IR³ →IRd´efinie dans la base canonique par Q(x) = 3x²₁+ 2x²₂−x²₃+ 5x₁x₂−6x₁x₃+ 7x₂x₃. En polarisant on obtient

Φ(x, y) = 3x₁y₁+ 2x₂y₂−x₃y₃+5

2x₁y₂+5

2x₂y₁−3x₁y₃−3x₃y₁+ 7

2x₂y₃+7 2x₃y₂. Remarque 2.2.1 Pusiqu’une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 en les composantes dex, il est clair que l’on a

Q(λx) =λ²Q(x), ∀x∈E, ∀λ∈IK.

On dit que Q(x) est une application homog`ene de degr´e 2.

Cependant, une application homogène de degré 2 n’est pas nécessairement une forme quadratique. En effet, si Q, IR² →IRest l’application définie par

Q=







x⁴₁+x⁴₂

x²₁+x²₂ six= (x₁, x₂)6= (0,0) 0 six= (0,0)

alors Qest homogène de degré 2 mais elle n’est pas un polynôme en les x_i.

Définition 2.2.2 Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur IK. Soit Q une forme quadratique sur E et soit Φ sa forme polaire. La matrice associée à Φ dans une base B deE s’appelle aussi la matrice associée à Qdans B.

Remarque 2.2.2 Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur IK. Soit Q une forme quadratique sur E et soit Φ sa forme polaire. Comme Φ possède une base or- thogonaleB, alors cette base s’apelle aussi une base QetQs’écrit par rapport à cette base sous la forme réduite suivante :

∀x∈E, Q(x) =

n

X

i=1

a_iix²_i.

Définition 2.2.3 Le rang d’une forme quadratique est défini comme étant le rang de sa forme polaire associée.

(23)

Théorème 2.2.2 Soient E un IK-espace vectoriel de dimension finie égale à n et Q une forme quadratique sur E de rang r. Alors il existe des formes linéaires ϕ₁, . . . , ϕ_r linéairement indépendantes et il existe des scalaires λ₁, . . . , λ_r, non nuls, tels que

∀x∈E, Q(x) =

r

X

i=1

λ_iϕ_i(x)².

D´emonstration :Soit B={e₁, . . . , e_n}une base deE. Pour chaquex=

n

X

i=1

x_ie_i dans E, on a

Q(x) =

n

X

i=1

a_iix²_i + 2 X

1≤i<j≤n

a_ijx_ix_j.

Maintenant, soit B⁰ = {v₁, . . . , v_n} une base Q-orthogonale de E. Soit A = (a_ij) la matrice associée à Qdans cette base B⁰. Alors A est une matrice diagonale de rang r et le nombre des coefficients diagonaux non nuls est égal à r. Quitte à réordonner les vecteurs de la base B⁰, on peut supposer que pour tout i, i = 1, . . . , r, a_ii 6= 0. Donc pour chaque x=

n

X

i=1

x⁰_ivi dans E, on a

Q(x) =

n

X

i=1

a_iix⁰_i².

Soit P = (p_ij) la matrice de passage de la base B⁰ `a la base B. Alors on sait que

∀i, i= 1, . . . , n,x⁰_i =

n

X

j=1

p_ijx_i. SoitB^∗ ={e^∗₁, . . . , e^∗_n}la base duale de B. Donc

∀j, j = 1, . . . , n, xj =< x, e^∗_j > . Pour chaque i, i= 1, . . . , n, soit

ϕi =

n

X

j=1

pije^∗_j.

Alors{ϕ₁, . . . , ϕ_n} est une base de E^∗ puisque detB^∗{ϕ₁, . . . , ϕ_n} 6= 0. En particulier, {ϕ1, . . . , ϕr} est libre et on a

x⁰_i =ϕ_i(x), ∀i, i= 1, . . . , n.

(24)

2.2.2 R´ eduction d’une forme quadratique par la m´ ethode de Gauss

a) Cas de deux dimension :

Soient E un espace vectoriel sur IK, de dimension finie ´egale `a n = 2 et Q. Soit {e₁, e₂} une base de E et Q. Alors pour chaque x = x₁e₁ +x₂e₂ ∈ E, on a Q(x) = ax²₁+bx²₂+cx₁x₂.

Cas 1 : (a, b)6= (0,0). Supposons par exemple a6= 0. Alors Q(x) = a_x1²+bx²₂+ 2cx₁x₂

= a(x²₁+ ^2c_ax₁x₂) +bx²₂

= a(x²₁+ ^c_ax²₂) + (b− _a^c²2)x²₂

Si on prendλ₁ =a, λ₂ =b− _a^c²2, ϕ₁(x) = x²₁+_a^cx²₂ etϕ₂(x) = x₂, alors on aura Q(x) =λ₁ϕ₁(x)²+λ₂ϕ₂(x)².

Donc une base Q-orthogonaleB⁰ ={u1, u2} a pour matrice de passage de B `a la base B⁰, la matrice donn´ee par

P =



 1 ^c_a 0 1





−1

=





1 −^c_a

0 1



.

On en d´eduit que u₁ =e₁ et u₂ =−_a^ce₁+e₂.

Cas 1 2 (a, b) = (0,0). Si a= 0 et b = 0, alors Qs’´ecrit sous la forme Q(x) = 2cx₁x₂ = c

2(x₁+x₂)²− c

2(x₁−x₂)².

Si on prendλ₁ = ^c₂, λ₂ =−₂^c,ϕ₁(x) =x⁺₁x₂ etϕ₂(x) =x₁−x₂, alors on aura Q(x) =λ₁ϕ₁(x)²+λ₂ϕ₂(x)².

Donc

P =





1 1

1 −1





−1

= 1 2





1 1

1 −1



.

Par cons´equent,u₁ = ¹₂e₁+¹₂e₂ etu₂ = ¹₂e₁− ¹₂e₂.

(25)

a) Cas de la dimension trois :

SoientB={e₁, e₂, e₃}une base d’unIK-espace vectoriel E de dimension 3 etQ : E → IK une forme quadratique. Soit x=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃, alors on a

Q(x) =ax²₁+bx²₂+cx²₃+ 2dx₁x₂+ 2ex₁x₃ + 2f x₂x₃. 1er cas : (a, b, c)6= (0,0,0)

Supposons, par exemple, quea 6= 0. Donc

Q(x) = (ax1²+ 2dx1x2+ 2ex1x3) +bx²₂+cx²₃+ 2f x2x3

= a(x²₁ + 2(^d_ax₂+ ^e_ax₃)x₁) +bx²₂+cx²₃+ 2f x₂x₃

= a((x₁+ ^d_ax₂+ ^e_ax₃)²−(^d_ax₂+ ^e_ax₃)²) +bx²₂+cx²₃ + 2f x₂x₃

= a(x1 +^d_ax2 +^e_ax3)² +Q0(x2, x3).

où Q₀ est une forme quadratique en (x₂, x₃). Pour terminer la décomposition de Q, il reste à décomposer Q₀ en tant que forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension 2.

2`eme cas :(a, b, c) = (0,0,0) Alors

Q(x) = αx₁x₂+βx₁x₃+γx₂x₃ avec (α, β, γ)6= (0,0,0).

Supposons par exemple que α6= 0, alors

Q(x) = α(x₁x₂+ ^β_αx₁x₃+_α^γx₂x₃)

= α((x₁ +^γ_αx₃)(x₂+^β_αx₃)− ^βγ_α2x²₃)

= α(¹₄((x₁+_α^γx₃) + (x₂+ ^β_αx₃))²−¹₄((x₁+ ^γ_αx₃)−(x₂+ ^β_αx₃))²−^βγ_α2x²₃)

= ^α₄(x₁+x₂+^β+γ_α x₃)²− ^α₄(x₁−x₂+^γ−β_α x₃)²−^βγ_αx²₃

= aX₁²+bX₂²+cX₃²

Soit

P =







1 1 ^β+γ_α 1 −1 ^γ−β_α

0 0 1





 .

Une base Q-orthogonale {v₁, v₂, v₃} est d´efinie par sa matrice de passage P⁻¹ de la base {e₁, e₂, e₃} `a la base {v₁, v₂, v₃}.

(26)

2.3. SIGNATURE D’UNE FORME BILIN´EAIRE SYM´ETRIQUE

Exemple 2.2.3 Soit Q : IR³ → IR la forme quadratique d´efinie dans la base canonique B={e₁, e₂, e₃} par

Q(x) =x²₁+ 3x²₂ + 7x²₃+ 2x₁x₂ + 8x₂x₃. La r´eduction de Gauss donne

Q(x) = (x1+x2)²+ 2(x2+ 2x3)²−x²₃ =ϕ1(x)²+ 2ϕ2(x)²−ϕ3(x)². Posons











X₁ =x₁ +x₂ X₂ =x₂ + 2x₃ X₃ =x₃

X₁, X₂, X₃sont les composantes du vecteursXdans une base orthogonaleB⁰ ={v₁, v₂, v₃}.

SoitP la matrice de passage de la base canonique à la baseB⁰. Alors^t(x₁, x₂, x₃) =P X. D’après le système précédent on a











x₁ =X₁−X₂+ 2X₃ x2 =X2−2X3

x₃ =X₃ Il vient que

P =







1 −1 2

0 1 −2

0 0 1





 .

On en d´eduit que v1 = {1,0,0}, v2 = {−1,1,0} et v3 = {2,−2,1} qui forment une base Q-orthogonale.

2.3 Signature d’une forme bilin´ eaire sym´ etrique

2.3.1 base orthogonale

Définition 2.3.1 SoientEunIK-espace vectoriel de dimension finie égale ànet Φ une forme bilinéaire symétrique surE. Une base {e₁, e₂, . . . , e_n}est une base orthonormale deE, relativement à Φ, si

Φ(e_i, e_j) =δ_ij, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}.