Proposition 1.5.1 Soient E un espace vectoriel sur IK de dimension finie ´egale `a n.
Alors pour toute base {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn} de E∗, il existe une base {u1, u2, . . . , un} de E, dite base pr´eduale de {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn} v´erifiant u∗i =ϕi pour tout i= 1, . . . , n.
D´emonstration : Soit {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn}de E∗. Soit{ϕ∗1, ϕ∗2, . . . , ϕ∗n}sa base duale dans E∗∗. Etant donn´e queE est un espace vectoriel de dimension finie, alors d’apr`es la remarque pr´ec´edente l’application
Ψ : E −→ E∗∗
x 7−→ x,˜
est bijective. Pour chaquei, i= 1, . . . , n, posons ui = Ψ−1(ϕ∗i). Alors {u1, u2, . . . , un} est une base deE v´erifiant ˜ui =ϕ∗i, ∀i= 1, . . . , n. Donc pour tous i etj = 1, . . . , non a
< ui, ϕj >=< ϕj,u˜i >=< ϕj, ϕ∗i >=δij. on en d´eduit que u∗i =ϕi pour touti= 1, . . . , n.
1.6 Transpos´ ee d’une application lin´ eaire
D´efinition 1.6.1 Soient E et F des IK-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une ap-plication lin´eaire. La transpos´ee de ϕ, qu’on note tϕ, est l’application de F∗ dans E∗ d´efinie par
tϕ(Φ) = Φ◦ϕ, ∀Φ∈F∗.
Autrement dit
∀Φ∈F∗, ∀x∈E, < x,tϕ(Φ)>=< ϕ(x),Φ> . (1.1) Proposition 1.6.1 L’application transpos´ee tϕest lin´eaire.
D´emonstration : Exercice.
Proposition 1.6.2 Soient E et F des IK-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application lin´eaire. Si ψ : F∗ →E∗ est une application lin´eaire v´erifiant
∀Φ∈F∗, ∀x∈E, < x, ψ(Φ)>=< ϕ(x),Φ>, alors ψ =tϕ.
K. Lamrini Uahabi -11- SMA S4 Alg`ebre 5
1.6. TRANSPOS´EE D’UNE APPLICATION LIN´EAIRE
Proposition 1.6.3 Soient E, F et G des IK-espaces vectoriels et soit λ ∈IK. Soient ϕ, ψ∈ L(E, F) et Φ∈ L(F, G). Alors
t(ϕ+ψ) =tϕ+tψ, t(λϕ) = λtϕ et t(Φ◦ϕ) = tϕ◦tΦ.
D´emonstration : Exercice.
Th´eor`eme 1.6.1 Soient E et F des IK-espaces vectoriels et ϕ∈ L(E, F). Alors i)kertϕ= (Imϕ)⊥.
ii) Imtϕ= kerϕ⊥.
D´emonstration : Exercice.
Th´eor`eme 1.6.2 Soient E un IK-espace vectoriel de dimension finie et ϕ un endo-morphisme deE. Soient B une base deE etB∗ sa base duale. SiA=M at(ϕ,B), alors M at(tϕ,B∗) =tA.
D´emonstration:SoientB ={e1, . . . , en}etB∗ ={e∗1, . . . , e∗n}. SoitA=M at(ϕ,B) = (aij)1≤i,j≤n. Donc pour tousi et j, on a
aji=< ϕ(ei), e∗j > .
Soit B = (bij)1≤i,j≤n la matrice associ´ee `a tϕ dans B∗. Pour tout j = 1, . . . , n, on a
tϕ(e∗j) =
n
X
k=1
bkje∗k. Par cons´equent, pour tout i= 1, . . . , n,
aji=< ei,tϕ(e∗j)>=< ei,
n
X
k=1
bkje∗k>=bij.
Chapitre 2
Formes bilin´ eaires et formes quadratiques
2.1 Formes bilin´ eaires sym´ etriques
2.1.1 D´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires
D´efinition 2.1.1 Soit E un IK-espace vectoriel. Une application Φ : E×E →IK est dite forme bilin´eaire surE si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :
i) pour touty ∈E fix´e, l’application Φy : E →IK,x7→Φ(x, y) est une forme lin´eaire surE;
ii) pour toutx∈E fix´e, l’application Φx : E →IK,y7→Φ(x, y) est une forme lin´eaire surE.
la forme bilin´eaire Φ sur E est dite sym´etrique si ∀x, y ∈E, Φ(x, y) = Φ(y, x). Elle est diteantisym´etrique si ∀x, y ∈E, Φ(x, y) = −Φ(y, x).
Exemple 2.1.1 Soit E = C([0,1]) l’espace des fonctions r´eelles continues sur [0,1].
Alors l’application Φ d´efinie sur E×E par Φ(f, g) =
Z 1 0
f(t)g(t)dt
est une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.
Exemple 2.1.2 Soit E =IKn, alors l’application ϕd´efinie par ϕ(x, y) =
n
X
i=1
xiyi
13
2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
est une forme bilin´eaire sym´etrique sur IKn.
Exemple 2.1.3 L’application Φ(x, y) =x1y1+x2y2+x3y3−x4y4est une forme bilinaire surIR4.
Exemple 2.1.4 Soient Φ1et Φ2des formes lin´eaires surE. Alors l’application Φ(x, y) = Φ1(x)Φ2(y) est une forme bilin´eaire sur E.
En particulier, Φ(x, y) =xy est forme bilin´eaire sym´etrique surIR.
Exemple 2.1.5 L’application
E∗×E → IR
(x∗, x) 7→ < x, x∗ >
est une forme bilin´eaire dite canonique.
Exemple 2.1.6 L’application IR2 ×IR2 → IR, (x, y) 7→ det(x, y) est une forme bi-lin´eaire antisym´etrique.
Exemple 2.1.7 Soit M ∈ Mn(IR). Alors l’application ΨM : IRn×IRn → IR
(X, Y) 7→ tXM Y est une forme bilin´eaire sur IRn.
Remarque 2.1.1 i) si Φ est une forme bilin´eaire sym´etrique, alorsΦ(x+y, x+y) = Φ(x, x) + 2Φ(x, y) + Φ(y, y), ∀x, y ∈E.
ii) si Φ est antisym´etrique, alors Φ(x, x) = 0, ∀x∈E.
Proposition 2.1.1 Soitφ une forme bilin´eaire surE. Alors φ est identiquement nulle si, et seulement si, ∀x∈E, φ(x, x) = 0.
D´emonstration : Si φ(x, x) = 0 pour tout x ∈ E, alors d’apres i) de la remarque pr´ec´edente, 0 = φ(x+y, x+y) = 2φ(x, y). Ce qui implique que φ est identiquement nulle. L’autre sens est trivial.
2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
2.1.2 Matrice associ´ ee ` a une forme bilin´ eaire
Proposition 2.1.2 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie et de base B = {e1, e2, . . . , en}. Alors toute forme bilin´eaire Φ sur E est caract´eris´ee par l’ensemble
Exemple 2.1.8 On consid`ere la forme bilin´eaire Φ d´efinie sur IR2[X] par Φ(P, Q) = P(0)Q(0) +P(1)Q(1) + 2P(2)Q(2). une forme bilin´eaire sur E. Alors
Φ(x, y) = (x1· · ·xn)Mt(y1· · ·yn) o`u x=x1e1+· · ·+xnen, y=y1en+· · ·+ynen et M =M atB(Φ).
K. Lamrini Uahabi -15- SMA S4 Alg`ebre 5
2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
En particulier, toute forme bilin´eaire sur IRn est de la forme
< , >M: IRn×IRn → IR (X, Y) 7→ tXM Y o`u M ∈ Mn(IR).
Corollaire 2.1.1 Une forme bilin´eaire est sym´etrique si, et seulement si, sa matrice dans une base quelconque est sym´etrique.
Th´eor`eme 2.1.2 Soit Φ une forme bilin´eaire sur IR-espace vectoriel E. Soient B = {e1, . . . , en}et B0 ={f1, . . . , fn} deux bases deE. Soit P la matrice de passage de base
On remarque que le coefficient de la i-`eme ligne et de la j-`eme colonne est
n
Exemple 2.1.9 Reprenons l’exemple pr´ec´edent
Φ(P, Q) = P(0)Q(0) +P(1)Q(1) + 2P(2)Q(2).
2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
Alors d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent,
M atB0(Φ) =t
2.1.3 Rang d’une forme bilin´ eaire
On rappelle que deux matrices carr´ees A et B de mˆeme ordre sont ´equivalentes s’il existe deux matrices inversibles P et Q telles que B = QAP. Dans ce cas, les deux matrices ont le mˆeme rang.
D´efinition 2.1.3 Soient A et B ∈ Mn(IK). On dit que A et B sont congruentes s’il existe une matrice inversibleP telle queB =tP AP.
Remarque 2.1.2 Deux matrices qui repr´esentent la mˆeme forme bilin´eaire par rap-port `a deux bases de E sont congruentes et donc ont le mˆeme rang.
D´efinition 2.1.4 Soit Φ une forme bilin´eaire surE. SoitB une base de E. On d´efinit le rang de Φ, not´e rg(Φ), par rg(Φ) =rg(M atB(Φ)).
Exemple 2.1.10 Le rang de la forme bilin´eaire Φ(P, Q) = P(0)Q(0) +P(1)Q(1) + 2P(2)Q(2) est ´egale `a 3.
2.1.4 Formes bilin´ eaires sym´ etriques non d´ eg´ en´ er´ ees
D´efinition 2.1.5 Une forme bilin´eaire Φ surIK-espace vectoriel E de dimension finie est dite d´eg´en´er´ee si rg(Φ) <dimE. Dans le cas contraire (si rg(Φ) = dimE), Φ est dite non-d´eg´en´er´ee.
Exemple 2.1.11 La forme bilin´eaire dans l’exemple pr´ec´edent est non-d´eg´en´er´ee.
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2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
Th´eor`eme 2.1.3 soit Φune forme bilin´eaire sym´etrique sur E un espace vectoriel de dimension finie. Alors Φest non-d´eg´en´er´ee si, et seulement si, l’application
Ψ : E −→ E∗
y 7−→ Φy, o`u Φy(x) = Φ(x, y), ∀x∈E est injective.
D´emonstration : Soient B={e1, . . . , en} une base deE et B0 ={e∗1, . . . , e∗n} sa base duale. Soit M = M at(Ψ,B,B0) = (mij)1≤i,j≤n. Alors on a Ψ(ej) =
n
X
k=1
mkje∗k. Donc pour chaqueiet j, on a Φ(ej, ej) = Ψ(ej)(ei) =
n
X
k=1
mkje∗k(ei) = mij. On en d´eduit que M =M atB(Φ).
Ainsi, on aura,
Φ est non-d´eg´en´er´ee ⇐⇒ det(M)6= 0
⇐⇒ det(M at(Ψ,B,B0)6= 0
⇐⇒ Ψ est bijective
⇐⇒ Ψ est injective.
2.1.5 Orthogonalit´ e et vecteurs isotropes
D´efinition 2.1.6 Soit Φ une forme bilin´eaire surE. SoitA une partie non vide deE.
L’orthogonale deA par rapport `a la forme bilin´eaire Φ, qu’on note A⊥, est d´efini par A⊥ ={y∈E /Φ(x, y) = 0, ∀x∈A}.
Remarque 2.1.3 Soient A et B des parties non vides de E telles que A ⊂B. Alors B⊥⊂A⊥.
Proposition 2.1.3 Soient Φ une forme bilin´eaire sur E et A une partie non vide de E. Alors
i)A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
ii) A⊥ =V ect(A)⊥.
D´emonstration : Exercice. (A⊥=∩x∈Aker Φx)
2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
Remarque 2.1.4 Par convention,
∅⊥ =V ect(∅)⊥ ={0}⊥ =E.
Proposition 2.1.4 SoientE un IK-espace vectoriel de dimension finie et Φune forme bilin´eaire sym´etrique sur E. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors
i)dimF + dimF⊥ ≤dimE.
ii) Si de plus Φ est non-d´eg´en´er´ee, on aura dimF + dimF⊥ = dimE.
D´emonstration : On consid`ere l’application Ψ : E →F∗ d´efinie par Ψ(y)(x) = Φ(x, y), ∀y∈E, ∀x∈F.
Il est clair que Ψ est lin´eaire et ker Ψ =F⊥. i) Il d´ecoule du th´eor`eme du rang.
ii) On suppose que Φ est non-d´eg´en´er´ee et montrons que ImΦ = F∗. Soit ϕ ∈ F∗. D’apr`es le th´eor`eme de prolongement des formes lin´eaires, il existe ψ ∈ E∗ telle que ψ|F = ϕ. Etant donn´ee que Φ est non-d´eg´en´er´ee et E de dimension finie, alors l’application
ξ : E −→ E∗
y 7−→ ξ(y), o`u ξ(y)(x) = Φ(x, y),∀x∈E est bijective. Il existe donc uny∈E tel que ξ(y) =ψ. Par cons´equent,
∀x∈F, Ψ(y)(x) = Φ(x, y) = ξ(y)(x) =ψ(x) = ϕ(x).
Ainsi, Ψ(y) =ϕ. Ce qui implique que Ψ est surjective. On en d´eduit queImΨ =F∗. Maintenant, le th´eor`eme du rang affirme
dimF + dimF⊥ = dimE.
D´efinition 2.1.7 Soit Φ une forme bilin´eaire sym´etrique sur unIK-espace vectorielE.
i) Deux vecteurs xet y∈E sont orthogonauxsi Φ(x, y) = 0.
ii) Un vecteurx∈E estisotrope si Φ(x, x) = 0.
iii) Un sous-espace vectoriel F de E estisotrope si F ∩F⊥ 6={0}.
iv) Un sous-espace vectorielF deE est totalement isotrope si F ⊂F⊥.
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2.1. FORMES BILIN´EAIRES SYM´ETRIQUES
Exemple 2.1.12 Soit Φ la forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie sur IR2 par Φ(x, y) = x1y1 −x2y2. Les vecteurs (1,0) et (0,1) sont orthogonaux tandis que le vecteur (1,1) est isotrope.
Remarques 2.1.5 1) L’ensemble des vecteurs isotropes deE n’est pas n´ecessairement un sous-espace vectoriel deE.
2) Le noyau de Φ n’est pas en g´en´eral l’ensemble des vecteurs isotropes.
Th´eor`eme 2.1.4 Soit Φ une forme bilin´eaire sym´etrique sur un IK-espace vectoriel E. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors
E =F ⊕F⊥⇐⇒F est non isotrope.
D´emonstration :=⇒: Supposons E =F ⊕F⊥. AlorsF ∩F⊥ ={0} et doncF n’est pas isotrope.
⇐= : Si F est non isotrope, alors F ∩F⊥ = {0}. Il suffit donc de montrer que E = F +F⊥.
2.1.6 Bases orthogonales
D´efinition 2.1.8 Soit Φ une forme bilin´eaire sym´etrique sur unIK-espace vectoriel E de dimension finie ´egale `a n. On dit qu’une base B = {e1, . . . , en} de E est une base orthogonaledeE (relativement `a Φ) si
∀i, j = 1, . . . , n aveci6=j on aΦ(ei, ej) = 0.
Remarque 2.1.6 Soit Φ une forme bilin´eaire sym´etrique sur unEet soitB={e1, . . . , en} base orthogonale deE relativement `a Φ. Alors M atB(Φ) est une matrice diagonale. Si M atB(Φ) = (aij), alors pour tousx=
n
X
i=1
xiei ety=
n
X
i=1
yiei, on a Φ(x, y) =
n
X
i=1
aiixiyi. Th´eor`eme 2.1.5 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et Φ une forme bilin´eaire sym´etrique sur E. Alors E poss`ede au moins une base orthogonale relative `a Φ.
D´emonstration : Nous proc´edons par r´ecurrence sur la dimension de E. Si n = 1, alors toute base est orthogonale.