2 Systèmes linéaires continus et invariants

(1)

1/33

2SLCI.docx

2 Systèmes linéaires continus et invariants

Sommaire

A. INTRODUCTION - ASPECTS GENERAUX : ... 3

1) Définition : ... 3

2) Buts et motivations : ... 3

3) Bref historique : ... 3

4) Exemples d’automatismes : ... 4

5) Structure d’un système asservi : ... 5

5.1) Constituants : ... 6

6) Régulation et poursuite: ... 6

6.1) Régulation : ... 6

6.2) Poursuite : ... 6

7) Définition des performances : ... 6

7.1) Précision statique : ... 6

7.2) Précision dynamique : ... 7

7.3) Stabilité :... 7

7.4) Rapidité : ... 7

B. Représentation des systèmes linéaires continus et invariants : ... 8

1) Notions de systèmes dynamiques:... 8

1.1) Impulsion de DIRAC : ... 8

1.2) Echelon : ... 9

1.3) Rampe : ... 10

1.4) Sinusoïde : ... 10

2) Systèmes linéaires continus et invariants : ... 11

2.1) Définitions : ... 11

2.2) Modélisation par une équation différentielle : ... 12

2.3) Calcul symbolique : méthode de résolution par la transformée de LAPLACE : ... 12

2.3.1) Définition de la transformée de Laplace : ... 13

2.3.2) Propriétés de la transformée de Laplace : ... 13

2.3.3) Représentation de quelques fonctions: ... 14

2.4) Représentation par une fonction de transfert H(p) : ... 14

(2)

2/33

2SLCI.docx

2.5) Analyse temporelle expérimentale : ... 15

2.5.1) Système du premier ordre : ... 15

2.5.2) Système du second ordre : ... 18

2.5.3) Système intégrateur : ... 24

2.5.4) Système dérivateur : ... 25

3) REPRESENTATION PAR SCHEMAS-BLOCS : ... 26

3.1) Schémas fonctionnels :... 26

3.1.1) Formalisme : ... 26

3.1.2) Règles sur les schémas blocs : ... 26

3.2) Cas des systèmes bouclés : ... 27

4) Réponse fréquentielle, diagrammes de Bode : ... 28

4.1) Cas d’un système du premier ordre. ... 28

4.1.1) Diagramme de Gain : ... 29

4.1.2) Diagramme de phase : ... 30

4.2) Cas d’un système du deuxième ordre : ... 31

4.2.1)Diagramme de gain : ... 31

4.2.2) Diagramme de phase : ... 33

(3)

3/33

2SLCI.docx

A. INTRODUCTION - ASPECTS GENERAUX :

1) Définition :

L’automatique est un ensemble de théories mathématiques et une technique de raisonnement qui concerne la prise de décision et la commande des systèmes¹.

2) Buts et motivations :

Les systèmes automatiques permettent avant tout de réaliser des opérations qui ne peuvent pas être confiées à l’homme, pour différentes raisons. Parmi celles-ci :

 la précision (nécessairement limitée dans le cas de l’intervention humaine)

 le caractère pénible, voire impossible, de tâches à effectuer dans certains environnements.

 la complexité : à partir d’une certaine échelle (grand nombre de paramètres) la commande manuelle n’est plus envisageable.

 la répétitivité de tâches dénuées d’intérêt.

 la recherche d’une diminution des coûts par l’augmentation des rendements : en particulier la robotisation permet de diminuer notablement la part relative de la main d’œuvre dans le prix de revient.

 la recherche de performances élevées...

3) Bref historique :

L’histoire des systèmes automatiques peut se diviser en trois époques :

 la première époque : elle s’étend de l’antiquité au milieu du 19ème siècle.

Dès 250 Avant J.C. nous avons des exemples de régulation de niveau par exemple, l’horloge automatique à eau de KTESYBIOS la Clepsydre.

La hauteur h est maintenue égale à la hauteur de consigne (qui correspond à la position du flotteur bouchant la canalisation C); En conséquence, le débit d, et donc la vitesse v sont constants au cours du temps : h' donne une image du temps.

1 Définition du mot système : « une combinaison de parties qui se coordonnent pour concourir à un résultat ».

(4)

4/33

2SLCI.docx Un autre exemple de régulateur très connu est le régulateur à boules de WATT (1788) qui permet de maintenir constante la vitesse de la turbine.

 la seconde époque est caractérisée par la théorie du bouclage (fin du 19ème) et les applications de l’algèbre de BOOLE. Puis l’approche fréquentielle de NYQUIST, BODE, BLACK... vers 1945.

 la troisième époque (depuis 1950) est caractérisée par :

o L’introduction de la représentation d’état, particulièrement bien adaptée à l’utilisation des calculateurs numériques pour l’étude et la commande des systèmes complexes et multi variables,

o Le développement des méthodes d’étude des systèmes non linéaires et des systèmes échantillonaires.

4) Exemples d’automatismes :

Nous sommes entourés d’un grand nombre de systèmes automatiques dans notre vie quotidienne, du simple programmateur d’une machine à laver (automatisme séquentiel) au robot de soudure ou de peinture.

Il existe deux grandes familles de systèmes automatiques.

 Les systèmes logiques : (combinatoires et/ou séquentiels).

Les systèmes logiques sont des systèmes qui ne traitent que des données logiques (0/1, vrai/faux, marche/arrêt...)

 Les systèmes asservis :

Un système asservi est un système qui prend en compte durant son fonctionnement l’état de ses sorties pour le modifier.

Par exemple : régulation de température d’une pièce, régulation de la vitesse d’un moteur, suivi de trajectoire d’une fusée.

(5)

5/33

2SLCI.docx

5) Structure d’un système asservi :

L’objectif d’un système automatisé étant de remplacer l’homme dans une tâche, pour établir la structure d’un système automatisé, commençons par étudier le « fonctionnement » d’un système dans lequel l’homme est la partie commande.

Par exemple :

Un conducteur au volant d’un véhicule.

Le conducteur doit suivre la route, pour cela :

 il observe la route et son environnement et mesure la distance qui sépare son véhicule du bord de la route ;

 il détermine en fonction du contexte l’angle qu’il doit donner au volant pour suivre la route ;

 il agit sur le volant (donc sur le système)

puis de nouveau il recommence son observation tout le temps que le véhicule roule.

Si un coup de vent dévie le véhicule, après avoir observé et mesuré l’écart il agit pour s’aligner de nouveau avec sa trajectoire initiale.

On peut donc définir la structure du fonctionnement par le schéma suivant :

Un tel système nous montre la structure des systèmes asservis qui possède deux chaînes :

 une chaîne directe, ou chaîne d’action, qui met en jeu une puissance importante

 une chaîne de retour, ou chaîne d’information.

On appelle ce type de schéma, un schéma bloc du système automatique.

REFLEXION Comparaison/calcul

ACTION SYSTEME

OBSERVATION mesure Valeur

souhaitée

Effet de l’action Perturbations

(6)

6/33

2SLCI.docx

5.1) Constituants :

 Partie commande ou régulateur :

Le régulateur se compose d’un comparateur qui détermine l’écart entre la consigne et la mesure et d’un correcteur qui élabore, à partir du signal d’erreur

,

l’ordre de commande.

 Actionneur :

C’est l’organe qui apporte l’énergie au système pour produire l’essai souhaité.

Il est en général associé à un pré-actionneur qui permet d’adapter l’ordre (basse puissance) et l’énergie.

 Capteur :

Le capteur prélève sur le système la grandeur réglée (information physique) et la transforme en un signal compréhensible par le régulateur. La précision et la rapidité sont deux caractéristiques importantes du capteur.

6) Régulation et poursuite:

6.1) Régulation :

La régulation a une entrée de référence (appelée aussi consigne), généralement constante ou variant par paliers, déterminée par un opérateur ou par exemple, un programme d’automate.

6.2) Poursuite :

La poursuite a une entrée de référence qui suit une grandeur physique, elle est donc variable et indépendante directement des consignes de l’opérateur. Exemple : suivi de trajectoire.

7) Définition des performances : 7.1) Précision statique :

Dans le cas où la consigne est constante on définira la précision statique comme la différence entre la sortie demandé et la sortie obtenue.

(7)

7/33

2SLCI.docx

7.2) Précision dynamique :

La précision dynamique caractérise l’erreur avec laquelle la sortie suit la consigne d’entrée imposée au système. L’erreur peut-être constante, nulle ou tendre vers l’infini.

7.3) Stabilité :

On dit qu’un système est stable si pour une entrée constante, la sortie reste constante quelles que soient les perturbations.

7.4) Rapidité :

La rapidité caractérise le temps mis par le système pour que la sorite atteigne sa nouvelle valeur.

On définit, pour caractériser la rapidité, le temps de réponse à 5% (t5%), c’est le temps mis par le système pour atteindre sa valeur finale à  5%.

(8)

8/33

2SLCI.docx

B. Représentation des systèmes linéaires continus et invariants :

1) Notions de systèmes dynamiques:

On appelle système dynamique, un système dont l’étude prend en compte les phénomènes d’inertie (inertie mécanique, thermique...). Les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrées.

Les signaux d’entrée e(t) sont des fonctions du temps. Nous faisons l’hypothèse qu’ils ne sont pas aléatoires ; on connaît leurs causes. C’est-à-dire e(t < 0) = 0.

Généralement on forme les grandeurs d’entrées ainsi : e(t) = f(t).u(t)

u(t) est appelée fonction existence, elle est telle que :

 u(t) =1 pour t  0

 u(t) = 0 pour t < 0

Cette combinaison (f(t).u(t)) permet d’annuler e(t) pour les temps négatifs.

On distingue quatre entrées types qui permettent de définir tour à tour les principaux critères de performance d’un système :

1.1) Impulsion de DIRAC :

Ce signal noté (t) est une impulsion brève qui vaut 0 en tout point sauf au voisinage de t = 0 s. L’impulsion de DIRAC est alors définie par :













 0

0 ) ( 1

) (

lim

^*

t

t t

t 



Donc e(t) = (t)

SYSTEME

DYNAMIQUE

e(t) s(t)

Perturbations

Grandeurs d’entrée ou commande (consigne)

Grandeurs de sortie ou observations (réponse)

(9)

9/33

2SLCI.docx Réponse à une entrée impulsionnelle :

Cet essai permet de tester les performances du système face à des perturbations brèves et d’observer sa stabilité, c’est-à-dire de voir si la réponse du système ne s’écarte pas définitivement de sa position.

1.2) Echelon :

Cette fonction est définie de la manière suivante :

e(t) = A.u(t)

A étant une constante positive.

Encore connu sous le nom de fonction d’Heaviside l’échelon peut être unitaire dans ce cas il se note :

e(t) = 1.u(t)

Réponse à l’entrée échelon : Dans le cas d’une entrée en échelon l’erreur permanente

)

s

(t



s’appelle écart statique ou précision : c’est l’écart entre la valeur du signal d’entrée et la réponse S(t) en régime définitif

)

( t  

plus cet écart sera faible, plus le système sera précis.

On peut également juger de la rapidité du système en mesurant le temps (t5%) au bout duquel la réponse ne s’écarte plus que de ±5% de la valeur finale s() valeur asymptotique.

t e(t)

s(t)

Précision

(10)

10/33

2SLCI.docx

1.3) Rampe :

L’évolution d’un signal e(t) en rampe est donné ci-contre. Ce signal évolue linéairement avec le temps pour t>0.

A.t.u(t) t

e ( ) 

Réponse à une entrée rampe

Cet essai permet d’évaluer les capacités du système à suivre une consigne variable. L’erreur permanente mesurée s’appelle erreur de suivi ou erreur de traînage. Elle est notée :



_t

(t )

.

1.4) Sinusoïde :

Les entrées sinusoïdales sont très utilisées pour étudier le comportement dynamique des systèmes. La sortie est appelée : REPONSE HARMONIQUE.

Un signal sinusoïdal

e ( t )  e

₀

sin  t

est caractérisé par son amplitude e0 et par sa pulsation .

Sa fréquence f est telle que : =2..f Sa période T vaut : T=2./

Réponse à une entrée sinusoïdale :

La réponse est sinusoïdale, de même période avec une amplitude s0 et un déphasage  (correspondant à une erreur de suivi).

Cet essai permet en particulier d’étudier la stabilité d’un système.

e(t) s(t)

t

déphasage



(11)

11/33

2SLCI.docx

2) Systèmes linéaires continus et invariants : 2.1) Définitions :

Système linéaire :

Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’un ensemble d’équations différentielles à coefficients constants.

Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par 2 propriétés : la proportionnalité et l’additivité.

 proportionnalité :

Si y(t) est la réponse à l’entrée x(t) alors A.y(t) est la réponse à A.x(t).

(Ceci est vrai que lorsque le système a atteint sa position d’équilibre ou que le régime permanent s’est établi).

La caractéristique d’un système linéaire est une droite : Le rapport K

t x

t

y 

) (

)

( est appelé GAIN du système

La réponse, en régime définitif, d’un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée :

o si Kat b

t y t t

a t

x  

 

 . lim ( ) . )

(

o si ( ) ₀sin(



) lim ( ) . ₀sin(







)



 

 K x t

t y t t

x t x

 additivité (superposition):

Si y1 est la réponse à x1(t), si y2(t) est la réponse à x2(t), alors la réponse à x1(t)+x2(t) est y1(t)+y2(t)

Système continu :

Un système est continu, si, à toutes les entrées x(t) quel que soit t il délivre la sortie y(t).

Système invariant :

Un système est invariant, s’il garde le même comportement au cours du temps (pas de détérioration de ses caractéristiques par exemple).

x1(t)+ x2(t) y (t)= y1(t)+y2(t)

Système linéaire

(12)

12/33

2SLCI.docx

2.2) Modélisation par une équation différentielle :

Pour étudier ou concevoir la commande d’un système automatique, il est nécessaire de commencer par le modéliser d’un point de vue mathématique; c’est à dire qu’il faut déterminer la relation qui existe entre la variable de commande x(t) et la grandeur souhaitée en sortie y(t) (on se limite ici aux systèmes monovariables; une seule entrée, une seule sortie).

Le modèle mathématique d’un système linéaire, continu et invariant s’écrit sous la forme d’une équation différentielle à coefficients constants avec second membre du type :

) ( )

( )

( ...

)

(

₁ ₀ ₁

x t a

₀

x t

dt a d t

dt x a d t y b t dt y b d t

dt y

b d

_m

m n m

n

              

En général m<n et n est appelé : ordre du système

Il existe une méthode qui permet de résoudre simplement de telles équations différentielles en les transformant en simples équations algébriques, cette méthode s’appelle TRANSFORMEE DE LAPLACE.

2.3) Calcul symbolique : méthode de résolution par la transformée de LAPLACE :

La méthode classique de résolution d’équations différentielles avec second membre se décompose en deux temps :

 Il faut d’abord considérer l’équation sans second membre et la résoudre,

 ensuite, il faut trouver une solution particulière pour trouver la solution finale.

Voici maintenant les étapes d’une résolution par la transformée de LAPLACE.

Equation différentielle avec second membre

(paramètre t)

TRANSFORMEE DE LAPLACE (paramètre p)

Fraction polynomiale

en p

Fraction décomposée en éléments simples

en p TRANSFORMEE INVERSE DE

LAPLACE (paramètre t) Solution finale

(paramètre t)

(13)

13/33

2SLCI.docx 2.3.1) Définition de la transformée de Laplace :

On appelle transformée de Laplace de la fonction f(t), supposée nulle pour t<0 la fonction F(p) définie par :









0

) ( )

( ))

(

( f t e f t dt F p

L

^pt

L(f(t)) se lit « Laplacien de la fonction f(t) ».

2.3.2) Propriétés de la transformée de Laplace :

 Unicité : La transformée F(p) de la fonction f(t) est unique et réciproquement.

 Linéarité :

g(t)) L + f(t)) L

= g(t)) +

f(t) L(

et      (  (

      

 Transformée d’une dérivée :

o Dérivée première : ( )  ( ) (0_)



 



 p F p f

dt t L df o Dérivée seconde :

dt f df

p p F dt p

t f

L d ( 0 )

) 0 ( )

) (

(

₂

2

2 











 



 





 Transformée d’une intégrale :

p g p

p p F

G

g p G dt p

dg(t) L dt , dg(t)

= f(t) si t f L p F

) 0 ( ) ) (

(

) 0 ( ) ( ))

( ( ) (













 



 

 Théorème du retard :

^L  ^f ⁽ ^t ^ ^ ⁾  ^ ^e

^^^p

^ ^F ⁽ ^p ⁾

 Théorèmes aux limites :

- Théorème de la valeur initiale :









+ p t

p F p t

f 0

) ( lim ) ( lim

- Théorème de la valeur finale :

0 ) ( lim ) ( lim









 p + t

p F p t

f

(14)

14/33

2SLCI.docx Nota :

Le théorème de la valeur initiale ne s’applique que si le degré du numérateur de p.F(p) est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Le théorème de la valeur finale peut s’appliquer si les pôles de p.F(p) sont à partie réelle strictement négative.

On appelle pôles d’une fonction

) (

) ) (

( D p

p p N

H  les racines de l’équation D(p)=0. Autrement dit : les pôles sont les valeurs qui annulent le dénominateur de H(p).

- Remarques :

 Si les conditions initiales sont nulles (conditions dites de Heaviside) :

 Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de Laplace.

 Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace.

 Le domaine de Laplace est aussi appelé domaine symbolique.

 Quand F(p) est la transformée de Laplace de f(t), que l’on note : F(p)= L(f(t)), On appelle transformée de Laplace inverse ou original de F(p) la fonction f(t)=L^-1(F(p)).

 Si f(t) est définie par une équation différentielle d’ordre n , F(p) est définie par un polynôme de degré n.

2.3.3) Représentation de quelques fonctions:

Voir annexe 1.

2.4) Représentation par une fonction de transfert H(p) :

Nous avons vu précédemment que la relation entre l’entrée x(t) et la sortie y(t) d’un système linéaire est donnée par une équation différentielle du type :

) ( )

( )

( ...

)

( ₁ ₀ ₁ x t a₀ x t

dt a d t

dt x a d t y b t dt y b d t

dt y

b d _m

m n m

n

n            

Recherchons la transformée de Laplace de cette équation en appliquant l’opérateur L à chacun des deux membres. Nous noterons respectivement X (p) et Y (p) les

transformées des fonctions x(t) et y(t) :

X (p)= L (x (t)) et Y (p) = L (y (t))

Après transformation, on obtient, si les conditions initiales sont nulles :

) ( . ) ( . . ...

) ( . . ) ( . ) ( . . ...

) ( .

. p Y p b

1

p Y p b

0

Y p a p X p a

1

p X p a

0

X p

b

n m ^m

n

      

La transformée de la sortie s’exprime alors sous la forme : ) ( . .

...

.

. ...

) . (

0 1

0

1 X p

b p b p

b

a p a p

p a

Y _n

n m m



 

Nous pouvons alors former le rapport de la "sortie" Y (p) sur "l’entrée" X (p), ce rapport correspond à la fonction transfert du système appelée H (p).

(15)

15/33

2SLCI.docx )

( ) ( .

...

.

. ...

. ) (

) ) (

(

0 1

p D

p N b p b p

b

a p a p

a p X

p p Y

H _n

n m m

 



 



Sous cette forme c’est une fonction rationnelle en p. Si on explicite les racines (complexes) des polynômes du numérateur N (p) et du dénominateur D (p), la fonction de transfert s’écrit :

) )...(

( ) (

) )....(

( ) ( )

( ) ) (

(

2 1

n m

p p p p p p

z p z p z K p

p X

p p Y

H    





 



o Les zi sont les zéros de la fonction transfert, les pi sont les pôles de la fonction transfert.

o Le degré n du dénominateur D (p) est appelé ordre de la fonction transfert H (p).

o K est appelé le gain statique.

Si _

p p K H( )

lim lorsque

p  0

, le nombre  0 est appelé classe de la fonction transfert.

2.5) Analyse temporelle expérimentale :

2.5.1) Système du premier ordre :

Un système du premier ordre est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :

) ) (

) (

( K e t

dt t t ds

s     

d’où après transformation de Laplace si les conditions initiales sont nulles : )

1 ( )

( E p

p p K

S  



d’où :

p K p

E p p S

H    

 1 ) (

) ) (

( (forme canonique)

où :

 K est appelé le gain statique du système,

  est appelée constante de temps du système, K et  sont appelés les paramètres caractéristiques de H(p).

(16)

16/33

2SLCI.docx Réponse à un échelon :

p K p

= A S(p) où

d p p A E t u A t

e( ) ( ) ( ) ' 1 .



 









Après décomposition en éléments simples:

 

 





 



 A K p p

p

S 1 .

) 1

( 



On obtient donc après transformation de Laplace inverse :

) 1 ( )

( ^

t

e K A t

s    ^

 Analyse temporelle :

- Recherche du temps de réponse à 5% : s(t5%) = 0.95.A.K

e 1 K A K A 95 0

t5

) (

.

%

 







 donc t_5%3.



- Recherche de la précision statique s(t) :

La précision statique est définie par





  t

t s t t e

s

)) ( ) ( ( ) lim



(

Pour calculer cette limite on peut passer dans le domaine symbolique de Laplace et utiliser le théorème de la valeur finale :

0 ) ( lim ) ( lim









 p + t

p F p t

f donc

0 )) ( ) ( .(

lim (

lim











p +

t

p S p E p s(t)) - e(t)

Pour un système du premier ordre : )

) ( ) (

( K e t

dt t s t d

s 



   soit dans le domaine symbolique :

)

( . ) ( . . )

( p p S p K E p

S   

(rappel C.I. nulles)

e(t)= A.u(t) A.K

0.95.A.K 0.63.A.K

(17)

17/33

2SLCI.docx Pour une entrée échelon (e(t)=A.u(t)) on rappelle que

p p A E( )

donc :

0 . ) ( 1

lim 0

)) ( ) ( ( lim ) (



 







 





p

p A p K p p A p

p S p E p

s t





donc

0 . ) 1 1

( lim ) (

 





p

p A K

s t





Finalement :



_s(t)A



1K



Nota : cette erreur est finie et elle s’annule pour K=1.

Réponse à une rampe :

p K p

= A S(p) où d

p

= A E(p) t

u t A t e

2

. ' 1

) ( )

(



 







Après décomposition en éléments simples :

 

 





 





 A K p p p

p

S 1 .

) 1 (

2



On obtient donc après

transformation de Laplace inverse :

) . (

)

( t A K t   e

^^t

s    

^

 Analyse temporelle :

- Recherche de l’erreur de traînage (ou de suivi)



_t

(t )

.





  t

t s t t e

t

)) ( ) ( ) lim(



(

On utilise la même démarche que celle employée pour la détermination de



_s

(t )

.

 

 





 



 p

E(p). K p

S p

E ( ) ( ) 1 1 .



A.

A.K

(18)

18/33

2SLCI.docx ici ( ) ₂

p p A

E 

donc :



 





 





 



 





 

 p

K p

S(p)) A - E(p) p.

p K p

= A S(p) -

E(p) ₂

. 1 1 . (

1 1



0 . 1 1

) lim (



 

 





 



^

p

p K p

A

t

t 



 si K = 1

lim 

_t

( t )  A  

 si K<1

lim 

_t

( t )  

 si K>1

lim 

_t

( t )  

2.5.2) Système du second ordre :

Un système du second ordre est régi par une équation différentielle du second ordre du type :

) ( ) .

( 1 ) ( ) 2

(

₂

2

K e t

dt t s d dt

t ds t a

s

n n









  

Les paramètres caractéristiques sont alors :

 K : le gain statique

 a : le coefficient d’amortissement du système (noté aussi , z ou m)

 n : la pulsation propre du système non amorti (rad/s)

Cette équation différentielle a pour image dans le domaine symbolique (pour les conditions de Heaviside C.I. = 0)

) ( 2 1

² p²

= K S(p)

: aussi

)

² ( 2

² ) ² (

) (

² .

² 2

) ² (

) ( .

² ² 1 1 2

) (

) ( . ) (

² ² ) 1 2 (

) (

n

p E a p

ou

p p E

a p p K S

p E p K

p a S

p E K p a p

p S

p E K p S p p

S a p p

S

n

n n

 







 

 



 



    

 



 



     









 





(19)

19/33

2SLCI.docx Donc la forme canonique de la fonction transfert d’un système du second ordre s’écrit :

. 1 2 ) 1

(

2

2   



a p p p K

H

n



Réponse à un échelon :

²) 2

² (

² .

2 1

² )

( )

(

n n

n

n n

p a p p

K

= A ou S(p)

p a p

p²

A

= K où S(p) p d'

= A E(p)

t u A t

e

 









 



  

 





Avant de trouver une décomposition, recherchons les racines de l’équation :

0 ² 2

²   a 

_n

 p 

_n



p  

) 1

² (

²

4   



 

_n

a

Trois cas sont à distinguer :

 a>1 >0 2 racines réelles :

) 1

² (

p ) 1

²

(

₂

1

   a  a     a  a 

p 

_n



_n

 a=1 =0 une racine double :

p   

n

 a<1 <0 2 racines complexes conjuguées :

)

² 1 (

p )

² 1

( ₂ ₁

1 a j a p a j a

p 



_n      



_n   

Etudions la réponse du système pour les trois cas :

 Cas où a>1 : régime apériodique : La réponse est de la forme :

) 2

) (

(

₂ ₂

2

p p a p

K p A

S

n n

n





 



) (

) ) (

(

2 1

2

p p p p p

K p A

S

ⁿ









  

avec :

) 1 (

2 2

2 1

















a a p

n n



On pose

1 1

1

 p



 et

2 2

1

 p



 Alors S (p) s’écrit :

) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

) 1 (

) (

2 1

2

2 1

2

p p

p

p p

K A p

S p

p p

K A p

S

n n































(20)

20/33

2SLCI.docx Or

p

₁

 p

₂

 

_n² donc S(p) prend la forme :

) 1 ( ) 1 ) ( (

2

1p p

p

K p A

S





 



 

Après transformation inverse il vient :

 





 





 





 



 

 







2 1

2 1 1 2

)

( 

^



^



t t

e K e

K A t s

1 et 2 sont les constantes de temps du système.

 Cas où a = 1 : régime apériodique critique : La réponse est de la forme :

)² . 1 ) (

( p p

K p A

S 



 

Après transformation inverse, il vient :



 



  



 ^^ ^^



t t

t e e K A t

s( ) 1

Avec

n p 1 1 







Représentation graphique pour a>1 et K<1

e(t)= A.u(t) A.K

Représentation graphique pour a=1 et K>1

e(t)= A.u(t) A.K

(21)

21/33

2SLCI.docx

 Cas où a<1 : régime oscillatoire La réponse est de la forme :

²) 2

² ( ) ²

( p a p p

K p A

S

n n

n









 



Après transformation inverse, il vient :



 



     

 



 ^ ^ ^ sin( ² )

) ²

( ^  1 a t 

a 1 1 e K A t

s _n

t a _n

avec cos = a et

sin   1  a ²

Le comportement d’un tel système est oscillant et amorti. Voici l’allure de la réponse de ce système à un échelon.

 Analyse temporelle : - erreur statique :



K



p A

S(p)) - (E(p) p t

t s t e t

s   



 





  1

0 lim

)) ( ) ( ( ) lim



(

On a



_s

( t )  0

si et seulement si K=1

De la même manière qu’un système du premier ordre, un second ordre ne possède pas d’erreur de position si son gain statique est égal à 1.

A.K e(t)= A.u(t)

Représentation graphique pour a<1 et K=1

(22)

22/33

2SLCI.docx - temps de réponse à 5% :

Contrairement aux systèmes du premier ordre, on ne sait pas exprimer d’une manière générale la valeur du temps de réponse par une expression analytique.

Généralement on procède à la recherche du temps réponse à l’aide de l’abaque ci-dessous :

Nota : la meilleure performance est obtenue pour une valeur de a environ égale à 0.7.

- Dépassements en régime transitoire :

Si la réponse à un échelon est telle que temporairement, elle dépasse sa valeur finale, on introduit les valeurs suivantes pour qualifier le régime transitoire.

Le dépassement est égal au rapport D/K, on l’exprime en % de K. Pour la figure ci-dessus K=1;

a=0.2 et n = 10 rad/s, on trouve D1= 50% ; D2 = 30% etc...

a

(23)

23/33

2SLCI.docx De façon générale

 





 



   





^ ¹^ ²

. .

) 1

(

^a

k a k

k

K e

D



pour un échelon unitaire.

Pour D1 on pose k=1, pour D2 k=2 etc.…

Nota : On remarque un fait important pour a = 0,7, il n’y a qu’un seul dépassement et il est faible (<5%)

Réponse à une rampe :

²) 2

²

²(

) ² (

) ( )

(

n n

n

p a p p

K p A

S

p²

= A E(p)

t u t A t e











 







- erreur de traînage :

0 lim

)) ( ) ( ( ) lim

( 

 





 

p

S(p)) - (E(p) p t

t s t e t



t

Or





 













 



 ²( ² 2 ²)

² )) ²

( ) ( .(

n n

n

p a p p

K A p

p A p S p E

p  



 

 

















 

 ² 2 ²

) 1

²(

2 )) ²

( ) ( (

n n

p a p

K p

a p p p A S p E

p  



Donc

 

 

















 



² 2 ²

) 1

²(

2 lim ²

) (

0 n n

n n

p

t

p a p

K p

a p p A

t  



 

Il faut considérer trois cas : si K > 1

 

_t

(t )  

si K = 1

n t

a t A



 ^



^

 2

) (

si K < 1

 

_t

(t )  

(24)

24/33

2SLCI.docx 2.5.3) Système intégrateur :

Un système intégrateur est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :

) ( ) .

( k e t

dt t ds

 v ou

s t k e t dt

t

v



 

0

) ( . )

(

ou

s t e t dt

t

i



 

0

) ( 1 . )

( 

kv étant ici une constante réelle de dimension s^-1et est appelée constante de vitesse.

v

i k

 1



est nommée constante de temps d’intégration.

Pour les conditions initiales nulles, la forme canonique de la fonction transfert s’écrit :

p.S(p)=kv. E(p) donc : p k p E

p p S

H   ^v

) (

) ) (

(

Réponse à un Dirac :

e(t) =  (t) et L( (t) )= E(p) =1 donc :

) (t dt k

s(t) d

v





et dans le domaine symbolique cette équation s’écrit :

k

v

p S

p . ( ) 

donc

p p k

S( ) ^v d’où après transformation inverse il vient :

s(t) = kv

e(t) = A.u(t) et L(A.u(t)) =E(p) = p

A donc :

) (t u A dt k

s(t) d

v 

 et dans le domaine symbolique cette équation s’écrit :

p A p k

S

p ( ) ^v donc :

) 2

( )

( p

k A p S p A p p k

S  ^v    _v d’où après

transformation inverse il vient : s(t) =kv. A .t

A.kv

kv

s(t)

(25)

25/33

2SLCI.docx 2.5.4) Système dérivateur :

Un système dérivateur est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :

dt t e t d

s _d ( )

. ) ( 



La constante d, ayant la dimension [s], est nommée la constante de temps de dérivation.

Pour les conditions initiales nulles la forme canonique de la fonction transfert s’écrit :

) ( )

( p p E p

S  

_d

 

donc : p

p E

p p S

H  



_d

) (

) ) (

(

e (t) = A.u(t) et L(A.u(t)) =E(p) = p

A donc :

dt t u A t d

s _d ( ( ))

)

( 



  et dans le domaine symbolique cette équation s’écrit :

p p A p

S ou p E p p

S( )



_d  ( ) ( )



_d   donc :

A

d

p

S ( )   

d’où après transformation inverse il vient :

) ( )

( t A t

s   

_d

 

t A.d

(26)

26/33

2SLCI.docx

3) REPRESENTATION PAR SCHEMAS-BLOCS : 3.1) Schémas fonctionnels :

Les systèmes linéaires continus sont souvent représentés par des schémas fonctionnels (schémas blocs).

Le système d’équations est remplacé par un ensemble de blocs représentant les fonctions du système.

3.1.1) Formalisme : - le bloc :

Il possède une entrée et une sortie. Il est à noter que les flèches sont toujours orientées de l’entrée vers la sortie.

S (p) = H (p) .E (p) - les sommateurs :

Ils sont multi entrées mais ne possèdent qu’une sortie.

Les entrées sont affectés du signe plus pour une entrée positive et du signe moins pour une entrée négative.

ici :

S (p) = E1 (p) + E3 (p) - E2 (p)

- Cas du comparateur :

C’est un sommateur qui permet de faire la différence de deux entrées (de comparer) .Ici :

S (p) = E1 (p) - E2 (p) - La jonction :

La branche de prélèvement (2) a le même signal que la branche principale (1) et n’affecte pas celui-ci.

3.1.2) Règles sur les schémas blocs : En série :

En parallèle :

E(p)

H

S(p)

+ - +

E1 (p) E2 (p)

E3 (p)

S (p)

+ -

E1 (p)

E2 (p) S (p)

X (p) X (p)

X (p) (1)

(2) Point de prélèvement

(27)

27/33

2SLCI.docx Déplacement du point de prélèvement

Déplacement du sommateur :

3.2) Cas des systèmes bouclés :

Les schémas blocs des systèmes asservis possèdent une structure en boucle fermée comme représentée ci-dessous :

Cette structure fait apparaître quatre éléments essentiels :

Un comparateur, une chaîne directe, une jonction et une chaîne de retour.

H(p) est la fonction transfert de la chaîne directe et G(p) est la fonction transfert de la chaîne de retour.

On en déduit la Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) F(p) : S (p) = H (p). [E (p) - G (p). S (p)]

S (p). [1 +H (p).G (p)] =H (p).E (p)

Soit ( )

) ( ) ( 1

) ) (

( FTBF p

p G p H

p p H

F 



 

Chaîne de retour Jonction Comparateur

Chaîne directe

(28)

28/33

2SLCI.docx On utilisera également la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO), c'est la fonction de transfert du système avec ouverture de la boucle de retour au niveau du comparateur, les deux sous-systèmes sont alors en cascade:

FTBO(p) = H(p).G(p)

Le comportement d'un système en boucle fermée se déduira du comportement en boucle ouverte.

Cas du retour unitaire : G (p)= 1

) ( 1

) ) (

( H p

p p H

F  

Un système asservi se ramène facilement à un système à retour unitaire :

4) Réponse fréquentielle, diagrammes de Bode : 4.1) Cas d’un système du premier ordre.

Remplaçons la variable de Laplace p par le nombre complexe j dans l’expression de la fonction transfert. Pour un système du premier ordre de fonction transfert H(p), on obtient la fonction complexe :

 

j H K

j

H   

) 1 (



(29)

29/33

2SLCI.docx Dans le cas des diagrammes de Bode, deux tracés (fonction de

log

₁₀

(  )

) sont à

considérer.

 diagramme de gain : tracé à partir de :

G ( dB )  20 log

₁₀

H

(exprimé en Décibel (dB))

 diagramme de phase : tracé à partir de l’argument de

H

4.1.1) Diagramme de Gain :

 ^K ^j 

j dB K

G   

  20 log 20 log 1

log 1 20 )

(

₁₀ ₁₀ ₁₀

² 1 log 20 log

20 )

(dB  ₁₀K ₁₀ 



²



G

à partir de cette égalité deux cas sont à considérer :

 lorsque



²

 

²

 1

cas de pulsations faibles : G (dB) tend vers une constante :

G(dB) 20.log K = C^te,

Donc G (dB) tend vers une droite horizontale d’ordonnée 20 log K.

 lorsque



²

 

²

 1

cas de pulsations fortes : G (dB) 20 log K - 20 log 

G (dB) 









 droite

C K

te



²⁰^log



log

20 

G(dB) tend asymptotiquement vers une droite de pente négative: -20 dB/décade.

(La pente est exprimée par décade, une unité de l’axe des pulsations correspondant à une puissance de 10 de ces mêmes pulsations).

L’intersection des deux droites s’effectue en un point de pulsation C tel que :

K

c

K 20 log 20 log  20 log  log

20   

 





20log ¹

log

20  _C _C 

Cette pulsation est appelée pulsation de cassure ou de coupure.

(30)

30/33

2SLCI.docx Diagramme asymptotique de gain :

Ce diagramme donne une bonne idée de la courbe de réponse en pulsation.

 pour les pulsations faibles : droite 20 log K

 pour les pulsations élevées : droite de pente - 20 dB/décade.

4.1.2) Diagramme de phase :

La phase est donnée par l’argument de

H

:

) arctan(

0 ) 1 ( arg ) arg(

) (

arg 1 ) ( arg ) (







 



















 





 



j K

j H K

Deux cas sont à distinguer :

 lorsque







¹ cas de pulsations faibles : Cela revient à calculer

lim  (  )

lorsque



0

 

arctan(0) 0 0

lim  









() = arctan(0) = 0

 lorsque







¹ cas de pulsations fortes : Cela revient à calculer

lim  (  )

lorsque

  

 

) 2 arctan(

lim







  



 (ou -90°)

 Cas de la pulsation de coupure  = c =1/ :

 

) 4 1

arctan(







_c   ( ou -45°)

_c ¹ G(dB)

log

 -20 dB/décade 20 log K

0