CI-2 : Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

(1)

CI-2 :

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2-0 : Machines à Courant Continu

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2012 - 2013

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-2-0 : Machines à courant continu Année 2012 - 2013 1 / 38

(2)

(3)

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

(4)

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

(5)

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

(6)

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Les grandes métropoles répondent au problème du déplacement des populations par le développement des transports en commun. Dans ce contexte, il est possible d’augmenter le débit des passagers en augmentant la vitesse de déplacement et en diminuant les temps d’arrêt aux gares. Ce dernier point implique que les dispositifs d’accès des passagers aux voitures soient optimisés.

Le support de ce Cours-Td est le système d’ouverture et de fermeture

des portes de voitures développé par la société FAIVELEY qui équipe

des tramways, des métropolitains ou des trains express régionaux.

(7)

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

(8)

Moteur à courant continu

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu Valeurs numériques Principe de fonctionnement

Technologie du moteur à courant continu Equations du modèle

Schéma bloc

3 Réponses indicielle et fréquentielle

(9)

Moteur à courant continu

Un moteur électrique est utilisé pour convertir l’énergie électrique du réseau en énergie mécanique. On considérera pour l’étude, que l’inertie sur l’axe moteur vaut 0, 01 Kg.m ² .

On considère alors les valeurs numériques suivantes pour le moteur : R=20 Ω

L=0,1 H K _e =1,2 V.(rad.s ⁻¹ ) ⁻¹

K c =1,2 Nm.A ⁻¹ J=0,01 Kg.m ²

(10)

Moteur à courant continu Principe de fonctionnement

Principe de fonctionnement

Moteur à courant continu

(11)

Technologie du moteur à courant continu

(12)

Moteur à courant continu Technologie du moteur à courant continu

1

Stator

2

Inducteur

3

Bobines de l’inducteur

4

Rotor

5

Arbre

6

Champ magnétique

7

Bobinage Induit

8

Conducteur de l’induit

9

Collecteur

10

Porte balai

Technologie du moteur à courant contin

(13)

Equations du modèle

Ecrivons les modèles de connaissances pour déterminer les relations entre la tension d’alimentation u(t), l’intensité i (t), la vitesse de rotation ω(t) et les couples moteur C m (t) et résistant C r (t).

(14)

Moteur à courant continu Equations du modèle

Equation électrique

Pour alimenter le moteur on applique à ses bornes une tension u(t).

Le moteur peut être modélisé par une résistance R en série avec une inductance L et une force électromotrice induite e(t).

u(t) M

i(t) >

⇒

R e(t)

L u(t)

i(t) >

On obtient alors l’équation électrique

u(t) = R.i(t) + L. di

dt + e(t )

(15)

Equation mécanique

L’application du moment dynamique sur l’axe moteur soumis aux actions mécaniques du couple moteur C _m et du couple résistant C _r conduit à

J . dω

dt = C _m (t) − C _r (t)

(16)

Couple moteur

(17)

Couplage électromoteur

L’action mécanique de la force de Laplace ( # »

dF = i(t). #»

dl ∧ #»

B et d φ = B.dS) sur le rotor donne la relation entre le couple moteur et l’intensité C _m (t) = K _c .i(t)

(18)

Couple moteur

(19)

Force électromagnétique induite

La loi de Lenz conduit à la relation entre la vitesse de rotation et le force électromagnétique induite e(t) = K e .ω(t)

(20)

Flux magnétique à travers une spire

(21)

Force électromotrice induite

(22)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Schéma bloc

Afin de trouver les lois d’entrées-sorties, passons les équations

temporelle dans le domaine symbolique de Laplace

(23)

Construction des blocs

Le modèle de connaissance permet d’obtenir 4 équations pour le moteur à courant continu :

u (t) = R.i(t) + L. di

dt + e(t) ⇒ U(p) = R.I(p) + L.p.I(p) + E(p) J. dω

dt = C

m

(t) − C

r

(t) ⇒ J.p.Ω(p) = C

m

(p) − C

r

(p)

C

m

(t) = K

c

.i(t) ⇒ C

m

(p) = K

c

.I(p)

e(t) = K

e

.ω(t) ⇒ E(p) = K

e

.Ω(p)

(24)

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc :

(25)

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc : K c

I(p) C _m (p)

(26)

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc : K c

I(p) C _m (p)

K e

Ω(p) E(p)

(27)

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc : K c

I(p) C _m (p)

K e

Ω(p) E(p)

+ −

U(p) 1

R + L.p

I(p)

E (p)

(28)

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc : K c

I(p) C _m (p)

K e

Ω(p) E(p)

+ −

U(p) 1

R + L.p

I(p)

E (p)

+ − C _m (p)

C r (p)

1 J .p

Ω(p)

(29)

Schéma bloc du moteur à courant continu

L’assemblage des modèles de connaissances et de comportements (ici uniquement de connaissances) permet de construire le schéma bloc complet :

+ −

U(p) 1

R + L.p I(p) K _c − C _m (p) +

C r (p)

1 J.p

Ω(p)

K _e

(30)

Fonction de transfert

Il est possible de déterminer la fonction de transfert à partir des

équations mais on peut également déplacer les blocs pour se ramener à un schéma bloc élémentaire :

1 K e

U(p)

+ − K _e .K _c R + L.p

+ − C m (p)

C _r (p)

1 J.p

Ω(p)

(31)

1 K e

U (p)

+ − K _e .K _c J .p.(R + L.p)

+ − Ω(p) 1

J.p C _r (p)

Ω(p) = K e .K c

J .p.(R + L.p)

"

1 K _e .U(p) − Ω(p)

#

− 1

J .p .C r (p)

=

K _c J.p.(R + L.p) 1 + K _e .K _c

J .p.(R + L.p)

.U(p) −

1 J.p 1 + K _e .K _c

J .p(R + L.p) .C r (p)

(32)

Après simplifications :

Ω(p) = K _c

J .p.(R + L.p) + K e .K c

.U(p) − R + L.p J .p(R + L.p) + K e .K c

.C _r (p)

ou bien :

Ω(p) =

1 K _e 1 + J .R

K _e .K _c .p + J .L K _e .K _c p ²

.U(p) −

R

K _e .K _c + L K _e .K _c .p 1 + J.R

K _e .K _c .p + J.L K _e .K _c .p ²

.C _r (p)

(33)

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Pulsation propre et coefficient d’amortissement Réponse temporelle à un échelon

Réponse fréquentielle

(34)

Réponses indicielle et fréquentielle Pulsation propre et coefficient d’amortissement

Pulsation propre et coefficient d’amortissement

D’après l’équation du moteur à courant continue établie

précédemment, le système est du second ordre. Déterminons alors par identification les paramètres caractéristiques ξ et ω ₀ :

1 + J .R

K _e .K _c .p + J .L

K _e .K _c .p ² = 1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

⇒ ω ₀ =

r K e .K c

J.L et ξ = R 2

s J L.K _e .K _c

A PPLICATION N UMÉRIQUE : ω ₀ = 38 rad.s ⁻¹ ξ = 2.65

(35)

Réponse temporelle à un échelon

On impose un échelon de tension u(t) = U ₀ avec U ₀ = 100 V. Par transformée de Laplace, U (p) = U 0

p

Ω(p) =

1 K

e

1 + J.R

K

_e

.K

_c

.p + J.L K

_e

.K

_c

.p

²

U

0

p = K.U

0

p.



 

 1 + 2.ξ ω

0

.p + p

²

ω

²₀



 



ω(t) = K .U

0

1 + 1 τ

2

− τ

1

τ

1

.e

^−t/τ¹

− τ

2

.e

^−t^/τ²

!

avec τ

1

= 1

ω

1

= − 1

p

1

= 1

ω

0

.(ξ − q

ξ

²

− 1)

et τ

2

= 1 ω

2

= 1

p

2

= 1

ω

0

.(ξ + q

ξ

²

− 1) A

PPLICATION

N

UMÉRIQUE

: ω

1

= 7.47 rad.s

⁻¹

, ω

2

= 193 rad.s

⁻¹

, τ

1

= 0.13 s et τ

2

= 5.2 ms

(36)

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse temporelle à un échelon

Réponse temporelle sans perturbation

(37)

0 1 2 3 4

| t

0.0 | 0.0025

| 0.005

| 0.0075

| 0.01 ω(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

| 0.0

| 0.25

| 0.5

| 0.75

| 1.0

t ω(t)

(38)

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

Réponse fréquentielle

Soit la fonction de transfert H(p) définie par:

H(p) = Ω(p) U(p) =

1 K _e 1 + J.R

K _e .K _c .p + J.L K _e .K _c .p ²

= K

(1 + τ ₁ .p)(1 + τ ₂ .p)

(39)

Par définition du gain, G _B (jω) vaut:

G _B (H(jω)) = 20. log H(j.ω)

= 20. log(K ) − 20. log(|1 + j.τ ₁ .ω|) − 20 log(|1 + j.τ ₂ .ω|)

= 20. log(K ) − 20. log(

q

1 + (τ 1 .ω) ² ) − 20 log(

q

1 + (τ 2

(40)

En ce qui concerne la phase:

φ _ω (H(jω)) = arctan Im(H(j.ω)) Re(H(jω))

!

= − arctan (τ 1 .ω) − arctan (τ 2 .ω)

G _B (H(j.ω)) = 20. log(K ) − 20. log(

q

1 + (τ 1 .ω) ² ) − 20. log(

q

1 + (τ 2 .ω

φ _ω (H(j.ω)) = − arctan (τ ₁ .ω) − arctan (τ ₂ .ω)

(41)

Trois cas se présentent suivant les valeurs de ω

• ω≪ω₁≪ω₂

G_B(H(j.ω)) ≃ 20.log(K) φω(H(j.ω)) = 0

• ω1≪ω≪ω2

G_B(H(j.ω)) ≃ 20.log τK₁

−20.log(ω) φω(H(j.ω)) = −π 2

• ω₂≪ω

G_B(H(j.ω)) ≃ 20.log τ₁K.τ₂

−40.log(ω) φω(H(j.ω)) = −π

(42)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

-90 φ(ω) 0

ω

(43)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω ω ₁

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

φ(ω)

ω

ω ₁

(44)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₂

-90 φ(ω) 0

ω

ω ₁ ω ₂

(45)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

(46)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-90 φ(ω) 0

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

(47)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

(48)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-90 φ(ω) 0

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

(49)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

(50)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-90 φ(ω) 0

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

(51)

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

G _dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

²

2 3 4 5 6 7 89 10

³

CI-2 : Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2 :

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2-0 : Machines à Courant Continu

L

C

(D

), 2012 - 2013

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Le support de ce Cours-Td est le système d’ouverture et de fermeture

des portes de voitures développé par la société FAIVELEY qui équipe

des tramways, des métropolitains ou des trains express régionaux.

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu Valeurs numériques Principe de fonctionnement

Technologie du moteur à courant continu Equations du modèle

Schéma bloc

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Moteur à courant continu

Un moteur électrique est utilisé pour convertir l’énergie électrique du réseau en énergie mécanique. On considérera pour l’étude, que l’inertie sur l’axe moteur vaut 0, 01 Kg.m 2 .

On considère alors les valeurs numériques suivantes pour le moteur : R=20 Ω

L=0,1 H K e =1,2 V.(rad.s −1 ) −1

K c =1,2 Nm.A −1 J=0,01 Kg.m 2

Principe de fonctionnement

Moteur à courant continu

Technologie du moteur à courant continu

Stator

Inducteur

Bobines de l’inducteur

Rotor

Arbre

Champ magnétique

Bobinage Induit

Conducteur de l’induit

Collecteur

Porte balai

Technologie du moteur à courant contin

Equations du modèle

Ecrivons les modèles de connaissances pour déterminer les relations entre la tension d’alimentation u(t), l’intensité i (t), la vitesse de rotation ω(t) et les couples moteur C m (t) et résistant C r (t).

Equation électrique

Pour alimenter le moteur on applique à ses bornes une tension u(t).

Le moteur peut être modélisé par une résistance R en série avec une inductance L et une force électromotrice induite e(t).

u(t) M

i(t) >

⇒

R e(t)

L u(t)

i(t) >

On obtient alors l’équation électrique

u(t) = R.i(t) + L. di

dt + e(t )

Equation mécanique

L’application du moment dynamique sur l’axe moteur soumis aux actions mécaniques du couple moteur C m et du couple résistant C r conduit à

J . dω

dt = C m (t) − C r (t)

Couple moteur

Couplage électromoteur

L’action mécanique de la force de Laplace ( # »

dF = i(t). #»

dl ∧ #»

B et d φ = B.dS) sur le rotor donne la relation entre le couple moteur et l’intensité C m (t) = K c .i(t)

Couple moteur

Force électromagnétique induite

La loi de Lenz conduit à la relation entre la vitesse de rotation et le force électromagnétique induite e(t) = K e .ω(t)

Flux magnétique à travers une spire

Force électromotrice induite

Schéma bloc

Afin de trouver les lois d’entrées-sorties, passons les équations

temporelle dans le domaine symbolique de Laplace

Construction des blocs

Un moteur électrique est utilisé pour convertir l’énergie électrique du réseau en énergie mécanique. On considérera pour l’étude, que l’inertie sur l’axe moteur vaut 0, 01 Kg.m ² .

L=0,1 H K _e =1,2 V.(rad.s ⁻¹ ) ⁻¹

K c =1,2 Nm.A ⁻¹ J=0,01 Kg.m ²

L’application du moment dynamique sur l’axe moteur soumis aux actions mécaniques du couple moteur C _m et du couple résistant C _r conduit à

dt = C _m (t) − C _r (t)

B et d φ = B.dS) sur le rotor donne la relation entre le couple moteur et l’intensité C _m (t) = K _c .i(t)

I(p) C _m (p)

I(p) C _m (p)

I(p) C _m (p)

I(p) C _m (p)

+ − C _m (p)

R + L.p I(p) K _c − C _m (p) +

K _e

+ − K _e .K _c R + L.p

C _r (p)

+ − K _e .K _c J .p.(R + L.p)

J.p C _r (p)