CI-2 : Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

(1)

CI-2 :

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2-3 Prévoir les réponses temporelles et fréquentielles d’un système du premier ou second ordre

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2020 - 2021

Germain Gondor

(2)

Sommaire

1 Étude temporelle

2 Étude fréquentielle

(3)

(4)

Étude temporelle

Sommaire

1 Étude temporelle

Système du premier ordre Système du deuxième ordre

Réponse des systèmes à d’autres signaux tests

2 Étude fréquentielle

(5)

Étude temporelle Système du premier ordre

Système du premier ordre

D ÉFINITION : Système du premier ordre

On appelle système du premier ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

τ. ds

dt + s(t ) = K .e(t)

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

1 + τ.p avec K le gain statique et τ la constante

de temps.

(6)

Système du premier ordre

D ÉFINITION : Système du premier ordre

On appelle système du premier ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

τ. ds

dt + s(t ) = K .e(t)

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

1 + τ.p avec K le gain statique et τ la constante

de temps.

(7)

Système du premier ordre

D ÉFINITION : Système du premier ordre

On appelle système du premier ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

τ. ds

dt + s(t ) = K .e(t)

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

1 + τ.p avec K le gain statique et τ la constante

de temps.

(8)

Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle d’un système est par définition, la réponse à un Dirac:

e(t) = δ(t) ⇔ E (p) = 1 S(p) = H(p).E (p)



 



 



⇒ S(p) = H(p)

= K

1 + τ.p

⇒ s(t) = K

τ .e ^−t/τ

(9)

Réponse indicielle

e(t) = E 0 .u(t) ⇔ E (p) = E ₀ p

S(p) = H(p).E (p) = E 0

p . K

(1 + τp) = K .E 0 . 1

p − τ 1 + τ.p

!

⇔ s(t) = K .E ₀ .

1 − e ^−t/τ

⇒ s ⁰ (t) = K .E 0

τ .e ^−t ^/τ

(10)

Propriétés remarquables

• La valeur à convergence vaut : lim

t7→+∞ s(t ) = K .E ₀ ou

p7→0 lim

⁺

p.S(p) = K .E ₀

• Le temps de réponse à 5% est obtenu pour un temps t = 3.τ:

s(3.τ) ' 0, 95.K .E ₀

• Pour le temps t = τ, on obtient : s(t) = 0, 63.K .E ₀

• La pente à l’origine vaut K .E ₀

τ

(11)

Réponse indicielle

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

τ 0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀

3τ

(12)

Réponse indicielle

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

τ 0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀

3τ

(13)

Réponse indicielle

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

τ 0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀

3τ

(14)

Réponse indicielle

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

τ

0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀

3τ

(15)

Réponse indicielle

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

τ 0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀

3τ

(16)

Réponse indicielle

s(t)

E ₀ K .E ₀

K .E ₀ /τ 0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀

(17)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t

τ = 5 τ = 10 τ = 15 τ = 20 s(t)

t

τ %

(18)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t

τ = 5 τ = 10 τ = 15 τ = 20 s(t)

t

τ %

(19)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t

τ = 5 τ = 10 τ = 15 τ = 20 s(t)

t

τ %

(20)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t

τ = 5 τ = 10 τ = 15 τ = 20 s(t)

t

τ %

(21)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t τ = 5

τ = 10 τ = 15 τ = 20 s(t)

t

τ %

(22)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t τ = 5 τ = 10

τ = 15 τ = 20 s(t)

t

τ %

(23)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

t τ = 5 τ = 10 τ = 15

τ = 20 s(t)

t

τ %

(24)

Influence de la constante de temps τ sur la réponse indicielle

s(t)

τ = 5 τ = 10 τ = 15 τ = 20 s(t)

τ %

(25)

Influence du gain K sur la réponse indicielle.

s(t)

t s(t)

t K = 0.4

K = 0.6

K = 0.8

K = 1.0

K = 1.1

(26)

Influence du gain K sur la réponse indicielle.

s(t)

t s(t)

t K = 0.4 K = 0.6

K = 0.8

K = 1.0

K = 1.1

(27)

Influence du gain K sur la réponse indicielle.

s(t)

t s(t)

t K = 0.4 K = 0.6 K = 0.8

K = 1.0

K = 1.1

(28)

Influence du gain K sur la réponse indicielle.

s(t)

t s(t)

t K = 0.4 K = 0.6 K = 0.8 K = 1.0

K = 1.1

(29)

Influence du gain K sur la réponse indicielle.

s(t)

t s(t)

t

K = 0.4

K = 0.6

K = 0.8

K = 1.0

K = 1.1

(30)

Étude temporelle Système du deuxième ordre

D ^ÉFINITION : Système du second ordre

On appelle système du second ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

a

2

. d

²

s

dt

²

+ a

1

. ds

dt + a

0

.s(t) = b

0

.e(t )

Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:

Le gain statique : K

K = b ₀ a ₀

La pulsation propre du système non amorti : ω ₀

ω ₀ = r a ₀

a 2

Le facteur d’amortissement : ξ

ξ = a 1

2. √ a ₀ .a 2

Dans les systèmes réels à dissipation d’énergie ξ ≥ 0

(31)

D ^ÉFINITION : Système du second ordre

On appelle système du second ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

a

2

. d

²

s

dt

²

+ a

1

. ds

dt + a

0

.s(t) = b

0

.e(t )

Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:

Le gain statique : K

K = b ₀ a ₀

La pulsation propre du système non amorti : ω ₀

ω ₀ = r a ₀

a 2

Le facteur d’amortissement : ξ

ξ = a 1

2. √ a ₀ .a 2

Dans les systèmes réels à dissipation d’énergie ξ ≥ 0

(32)

D ^ÉFINITION : Système du second ordre

On appelle système du second ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

a

2

. d

²

s

dt

²

+ a

1

. ds

dt + a

0

.s(t) = b

0

.e(t )

Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:

Le gain statique : K

K = b 0

La pulsation propre du système non amorti : ω ₀

ω ₀ = r a ₀

a 2

Le facteur d’amortissement : ξ

ξ = a 1

2. √ a ₀ .a 2

Dans les systèmes réels à dissipation d’énergie ξ ≥ 0

(33)

D ^ÉFINITION : Système du second ordre

On appelle système du second ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

a

2

. d

²

s

dt

²

+ a

1

. ds

dt + a

0

.s(t) = b

0

.e(t )

Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:

Le gain statique : K

K = b 0

a ₀

La pulsation propre du système non amorti : ω ₀

ω ₀ = r a ₀

a 2

Le facteur d’amortissement : ξ

ξ = a 1

2. √ a ₀ .a 2

Dans les systèmes réels à dissipation d’énergie ξ ≥ 0

(34)

D ^ÉFINITION : Système du second ordre

On appelle système du second ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

a

2

. d

²

s

dt

²

+ a

1

. ds

dt + a

0

.s(t) = b

0

.e(t )

Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:

Le gain statique : K

K = b 0

La pulsation propre du système non amorti : ω ₀

ω

r a ₀

Le facteur d’amortissement : ξ

ξ = a 1

√

Dans les systèmes réels à dissipation d’énergie ξ ≥ 0

(35)

D ^ÉFINITION : Système du second ordre

On appelle système du second ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

a

2

. d

²

s

dt

²

+ a

1

. ds

dt + a

0

.s(t) = b

0

.e(t )

Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:

Le gain statique : K

K = b 0

a ₀

La pulsation propre du système non amorti : ω ₀

ω ₀ = r a ₀

a 2

Le facteur d’amortissement : ξ

ξ = a 1

2. √

a ₀ .a 2

(36)

Fonction de transfert d’un système du second ordre

La fonction de transfert H(p) = S(p)/E (p) devient avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0):

1 ω ² ₀ . d ² s

dt ² + 2.ξ ω ₀ . ds

dt + s(t) = K .e(t)

H(p) = K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ²

ω ² ₀

(37)

Réponse indicielle

Régime permanent

e(t) = E 0 .u(t) ⇒ S(p) = E 0

p . K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

Étude de régime établi. En appliquant le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale, il vient:

s(0 ⁺ ) = lim

p7→+∞ p.S(p) = 0 ds

dt ₍₀

+

)

= lim

p7→+∞ p.(p.S(p) − s(0 ⁺ )) = 0 s(+∞) = lim

p7→0 p.S(p) = K .E 0

(38)

Réponse indicielle

Régime permanent

e(t) = E 0 .u(t) ⇒ S(p) = E 0

p . K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

Étude de régime établi. En appliquant le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale, il vient:

s(0 ⁺ ) = lim

p7→+∞ p.S(p) = 0 ds

dt ₍₀

+

)

= lim

p7→+∞ p.(p.S(p) − s(0 ⁺ )) = 0 s(+∞) = lim

p7→0 p.S(p) = K .E 0

(39)

Réponse indicielle

Régime permanent

e(t) = E 0 .u(t) ⇒ S(p) = E 0

p . K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

Étude de régime établi. En appliquant le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale, il vient:

s(0 ⁺ ) = lim

p7→+∞ p.S(p) = 0

ds dt ₍₀

+

)

= lim

p7→+∞ p.(p.S(p) − s(0 ⁺ )) = 0 s(+∞) = lim

p7→0 p.S(p) = K .E 0

(40)

Réponse indicielle

Régime permanent

e(t) = E 0 .u(t) ⇒ S(p) = E 0

p . K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

Étude de régime établi. En appliquant le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale, il vient:

s(0 ⁺ ) = lim

p7→+∞ p.S(p) = 0 ds

= lim p.(p.S(p) − s(0 ⁺ )) = 0

s(+∞) = lim

p7→0 p.S(p) = K .E 0

(41)

Réponse indicielle

Régime permanent

e(t) = E 0 .u(t) ⇒ S(p) = E 0

p . K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

Étude de régime établi. En appliquant le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale, il vient:

s(0 ⁺ ) = lim

p7→+∞ p.S(p) = 0 ds

dt ₍₀

+

)

= lim

p7→+∞ p.(p.S(p) − s(0 ⁺ )) = 0

(42)

Régime permanent

• Le régime établi ne dépend que de K .E ₀ , le gain statique. En revanche, ξ et ω ₀ n’influence pas le régime définitif.

• La tangente à l’origine est de pente nulle

(43)

Réponse indicielle

Régime transitoire

Le calcul du régime transitoire impose de décomposer S(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:

p

²

+ 2.ξ.ω

₀

.p + ω

²₀

= 0 ⇒ ∆ = (2.ξ.ω

₀

)

²

− 4.ω

²₀

= 4.ω

²₀

. ξ

²

− 1

En fonction des valeurs du coefficient d’amortissement ξ (ξ ≥ 0), on distingue 3 cas :

? Régime pseudo périodique ξ < 1

? Régime apériodique critique ξ = 1

? Régime apériodique ξ > 1

(44)

Réponse indicielle

Régime transitoire

Le calcul du régime transitoire impose de décomposer S(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:

p

²

+ 2.ξ.ω

₀

.p + ω

²₀

= 0 ⇒ ∆ = (2.ξ.ω

₀

)

²

− 4.ω

²₀

= 4.ω

²₀

. ξ

²

− 1

En fonction des valeurs du coefficient d’amortissement ξ (ξ ≥ 0), on distingue 3 cas :

? Régime pseudo périodique ξ < 1

? Régime apériodique critique ξ = 1

? Régime apériodique ξ > 1

(45)

Réponse indicielle

Régime transitoire

Le calcul du régime transitoire impose de décomposer S(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:

p

²

+ 2.ξ.ω

₀

.p + ω

²₀

= 0 ⇒ ∆ = (2.ξ.ω

₀

)

²

− 4.ω

²₀

= 4.ω

²₀

. ξ

²

− 1

En fonction des valeurs du coefficient d’amortissement ξ (ξ ≥ 0), on distingue 3 cas :

? Régime pseudo périodique ξ < 1

? Régime apériodique critique ξ = 1

? Régime apériodique ξ > 1

(46)

Réponse indicielle

Régime transitoire

Le calcul du régime transitoire impose de décomposer S(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:

p

²

+ 2.ξ.ω

₀

.p + ω

²₀

= 0 ⇒ ∆ = (2.ξ.ω

₀

)

²

− 4.ω

²₀

= 4.ω

²₀

. ξ

²

− 1

En fonction des valeurs du coefficient d’amortissement ξ (ξ ≥ 0), on distingue 3 cas :

? Régime pseudo périodique ξ < 1

? Régime apériodique critique ξ = 1

? Régime apériodique ξ > 1

(47)

Réponse indicielle

Régime transitoire

Le calcul du régime transitoire impose de décomposer S(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:

p

²

+ 2.ξ.ω

₀

.p + ω

²₀

= 0 ⇒ ∆ = (2.ξ.ω

₀

)

²

− 4.ω

²₀

= 4.ω

²₀

. ξ

²

− 1

En fonction des valeurs du coefficient d’amortissement ξ (ξ ≥ 0), on distingue 3 cas :

? Régime pseudo périodique ξ < 1

? Régime apériodique critique ξ = 1

? Régime apériodique ξ > 1

(48)

Réponse indicielle

Régime transitoire

Le calcul du régime transitoire impose de décomposer S(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:

p

²

+ 2.ξ.ω

₀

.p + ω

²₀

= 0 ⇒ ∆ = (2.ξ.ω

₀

)

²

− 4.ω

²₀

= 4.ω

²₀

. ξ

²

− 1

En fonction des valeurs du coefficient d’amortissement ξ (ξ ≥ 0), on distingue 3 cas :

? Régime pseudo périodique ξ < 1

? Régime apériodique critique ξ 1

(49)

Régime apériodique ξ > 1

L’équation caractéristique présente deux racines réelles p ₁ et p ₂ :

p ₁ = −ξ.ω ₀ − ω ₀ . q

ξ ² − 1 et p ₂ = −ξ.ω ₀ + ω ₀ . q

ξ ² − 1

On introduit alors les valeurs τ ₁ et τ ₂ telles que τ ₁ = −p ₁ ⁻¹ et τ ₂ = −p ⁻¹ ₂

qui conduisent alors à l’expression de S(p)

(50)

S(p) = E ₀

p . K .ω ² ₀

(p − p ₁ ).(p − p ₂ ) = E ₀

p . K ω ² ₀

p ₁ .p ₂ .(−pτ ₁ − 1).(−pτ ₂ − 1)

= E ₀

p . K ω ² ₀

ω ² ₀

ξ ² − (ξ ² − 1) ²

.(1 + τ ₁ .p).(1 + τ ₂ .p)

= E ₀

p . K

(1 + τ ₁ .p)(1 + τ ₂ .p)

= K .E ₀



 

  1

p + τ ₁

τ ₂ − τ ₁ . 1 p + 1

τ ₁

− τ ₂

τ ₂ − τ ₁ . 1 p + 1

τ ₂



 

 

!

(51)

Régime apériodique critique ξ = 1

L’équation caractéristique présente une racine double p ₀ = −ω ₀ . Posons τ = ω ⁻¹ ₀

S(p) = 1

p . K .E 0

(1 + τ.p) ² ⇒ s(t) = K .E 0 .

"

1 − 1 + t τ

! e ^−t/τ

#

(52)

Régime pseudopériodique ξ < 1

L’équation caractéristique présente deux racines complexes conjuguées z et ¯ z:

z = −ξ.ω ₀ ± j. ω ₀ . q 1 − ξ ²

!

| {z } ω _p

Pour éviter toutes confusions avec l’intensité, j est la variable complexe i = e ⁱ

^π²

et non la racine troisième de l’unité e ⁱ

^2π³

. On note ω _p = ω ₀ . p

1 − ξ ² la pseudo pulsation du système.

(53)

S(p) = E

0

p . K.ω

²₀

(p − z) (p − ¯ z)

= E

0

p

K.ω

²₀

"

(p + ξ.ω

0

) + j ω

0

. q 1 − ξ

²

!# "

(p + ξ.ω

0

) − j ω

0

. q 1 − ξ

²

!#

= E

0

p

K.ω

²₀

(p + ξ.ω

0

)

²

+ ω

²_p

= K . E

₀

p − K .E

0

q 1 − ξ

²



 

 q

1 − ξ

²

(p + ξ.ω

0

)

(p + ξ.ω

0

)

²

+ ω

²_p

+ ξ ω

p

(p + ξ.ω

0

)

²

+ ω

²_p



 



(54)

s(t) = K .E ₀ .



 



1 − e ^−ξ.ω

⁰

^.t q

1 − ξ ² q

1 − ξ ² . cos(ω _p .t) + ξ. sin(ω _p .t)

!



 



= K .E ₀



 



1 − e ^−ξ.ω

⁰

^.t q

1 − ξ ² sin



 



ω p .t + arctan



 

 q

1 − ξ ² ξ



 





 





 



s(t) = K .E 0 .



 



1 − e ^−ξ.ω

⁰

^.t q

1 − ξ ² sin



 

 ω 0 . q

1 − ξ ² .t + arctan



 

 q

1 − ξ ² ξ



 





 





 



(55)

Réponse indicielle en fonction de ξ

Régime pseudopériodique

Régime apériodique critique

(56)

Caractéristique du régime pseudo périodique

Dépassements

Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissement ξ

• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être comparable à celle de l’échelon lui-même.

• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ:

◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ = 0.1 par exemple), les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand.

◦ ξ = 0, 7: le système présente un dépassement faible, inférieur à 5%, avec le temps de réponse le plus faible.

◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps de réponse mais il s’agit cependant du système sans dépassement le plus rapide.

◦ ξ 1: il n’y a pas de dépassement, mais le système est lent, donc

le temps de réponse est grand

(57)

Caractéristique du régime pseudo périodique

Dépassements

Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissement ξ

• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être comparable à celle de l’échelon lui-même.

• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ:

◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ = 0.1 par exemple), les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand.

◦ ξ = 0, 7: le système présente un dépassement faible, inférieur à 5%, avec le temps de réponse le plus faible.

◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps de réponse mais il s’agit cependant du système sans dépassement le plus rapide.

◦ ξ 1: il n’y a pas de dépassement, mais le système est lent, donc

le temps de réponse est grand

(58)

Caractéristique du régime pseudo périodique

Dépassements

Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissement ξ

• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être comparable à celle de l’échelon lui-même.

• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ:

◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ = 0.1 par exemple), les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand.

◦ ξ = 0, 7: le système présente un dépassement faible, inférieur à 5%, avec le temps de réponse le plus faible.

◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps de réponse mais il s’agit cependant du système sans dépassement le plus rapide.

◦ ξ 1: il n’y a pas de dépassement, mais le système est lent, donc

le temps de réponse est grand

(59)

Caractéristique du régime pseudo périodique

Dépassements

Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissement ξ

• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être comparable à celle de l’échelon lui-même.

• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ:

◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ = 0.1 par exemple), les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand.

◦ ξ = 0, 7: le système présente un dépassement faible, inférieur à 5%, avec le temps de réponse le plus faible.

◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps de réponse mais il s’agit cependant du système sans dépassement le plus rapide.

◦ ξ 1: il n’y a pas de dépassement, mais le système est lent, donc

le temps de réponse est grand

(60)

Caractéristique du régime pseudo périodique

Dépassements

Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissement ξ

• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être comparable à celle de l’échelon lui-même.

• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ:

◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ = 0.1 par exemple), les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand.

◦ ξ = 0, 7: le système présente un dépassement faible, inférieur à 5%, avec le temps de réponse le plus faible.

◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps

◦ ξ 1: il n’y a pas de dépassement, mais le système est lent, donc

le temps de réponse est grand

(61)

Caractéristique du régime pseudo périodique

Dépassements

Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissement ξ

• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être comparable à celle de l’échelon lui-même.

• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ:

◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ = 0.1 par exemple), les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand.

◦ ξ = 0, 7: le système présente un dépassement faible, inférieur à 5%, avec le temps de réponse le plus faible.

◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens

mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps

de réponse mais il s’agit cependant du système sans dépassement

(62)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t

E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

₃

t

4

t

5

t

₆

t

7

t

₈

t

₉

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(63)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

₃

t

4

t

5

t

₆

t

7

t

₈

t

₉

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(64)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

₃

t

4

t

5

t

₆

t

7

t

₈

t

₉

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(65)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

₃

t

4

t

5

t

₆

t

7

t

₈

t

₉

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(66)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

₃

t

4

t

5

t

₆

t

7

t

₈

t

₉

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(67)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(68)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(69)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(70)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(71)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(72)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(73)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(74)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(75)

Dépassement

Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dé- passement que pour ξ < 1. La relation entre les dates t i , les amplitudes D _i des dépassements et le coefficient d’amortissement ξ

1 2 3 4 5 6

t E

0

K .E

₀

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

t

8

t

9

s(t)

D

1

D

2

D

3

D

4

T = 2.π ω

0

. q

1 − ξ

²

t

k

= k.π ω

0

. q

1 − ξ

²

D

_i

= K .E

₀

.e

^{−(2.i−1).}

√

ξ.π 1−ξ²

(76)

Recherche des t _i :

Pour chercher les t _i , on cherche quand la dérivée de s(t) s’annule:

L [s ⁰ (t)] = p.S(p) − s(0) = K .E ₀ .ω ² ₀ p ² + 2.ξ.ω ₀ .p + ω ² ₀ s ⁰ (t) = L ⁻¹



 

 

K .E ₀ .ω ² ₀ p ² + 2.ξ.ω ₀ .p + ω ² ₀



 

 

= K .E 0 . ω ₀ q

1 − ξ ²

e ^−ξ.ω

⁰

^t ^. . sin(ω 0 . q

1 − ξ ² .t)

(77)

s ⁰ (t) = K .E ₀ . ω 0

q 1 − ξ ²

e ^−ξ.ω

⁰

^.t . sin(ω ₀ . q

1 − ξ ² .t)

Cette dérivée s’annule pour:

• t 7→ ∞, ce qui correspond au régime établi

• t = 0, tangente horizontale en 0

• ω ₀ . p

1 − ξ ² .t = k .π. Ainsi:

◦ Le nième maximum D n est atteint en

t _n = (2.n − 1).π ω ₀ . q

1 − ξ ² t _m = 2.m.π

q

(78)

Recherche des D _i :

Le dépassement est donnée par D

i

= s(t

2i−1

) − lim

t7→∞

s(t ):

D

i

= K .E

0



 



1 − e

^−ξ.ω⁰^.t²ⁱ⁻¹

q

1 − ξ

²

. sin



 

 ω

0

. q

1 − ξ

²

.t

2.i−1

+ arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 





 



− K .E

0

= −K .E

₀



 



e

^−ξ.ω⁰^.t²ⁱ⁻¹

q

1 − ξ

²

. sin



 

 ω

₀

. q

1 − ξ

²

. (2i − 1)π ω

0

. q

1 − ξ

²

+ arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 





 



= −K .E

0



 



e

^−ξ.ω⁰^.t²ⁱ⁻¹

q

1 − ξ

²

. sin



 



(2i − 1).π + arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 





 



= K .E

0



 

e

^−ξ.ω⁰^.t²ⁱ⁻¹

. sin



 

  arctan



 

  q

1 − ξ

²

ξ



 



 



 

(79)

or

tan

²

φ

1 + tan

²

φ = sin

²

φ

cos

²

φ + sin

²

φ = sin

²

φ

⇒ sin

²



 

 arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 



=



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 



2

1 +



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 



2

= 1 − ξ

²

et comme p

1 − ξ

²

≥ 0 et ξ ≥ 0, arctan



 

  q

1 − ξ

²

ξ



 

 

∈ h 0,

^π₂

i

ce qui implique:

sin



 

 arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 



= q

1 − ξ

²

(80)

or

tan

²

φ

1 + tan

²

φ = sin

²

φ

cos

²

φ + sin

²

φ = sin

²

φ

⇒ sin

²



 

 arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 



=



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 



2

1 +



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 



2

= 1 − ξ

²

et comme p

1 − ξ

²

≥ 0 et ξ ≥ 0, arctan



 

  q

1 − ξ

²

ξ



 

 

∈ h 0,

^π₂

i

ce qui implique:

sin



 

 arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 



= q

1 − ξ

²

(81)

or

tan

²

φ

1 + tan

²

φ = sin

²

φ

cos

²

φ + sin

²

φ = sin

²

φ

⇒ sin

²



 

 arctan



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 





 



=



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 



2

1 +



 

 q

1 − ξ

²

ξ



 



2

= 1 − ξ

²

et comme p

1 − ξ

²

≥ 0 et ξ ≥ 0, arctan



 

  q

1 − ξ

²

ξ



 

 

∈ h 0,

^π₂

i

ce qui implique:







 q

1 − ξ

²









(82)

Il vient alors pour D _i :

D _i = K .E ₀ .e ^−ξ.ω

⁰

^.t

^2.i−1

= K .E ₀ .e ^−(2.i−1)

√ ξ.π 1−ξ

²

R EMARQUE : La pulsation ω ₀ ne modifie pas l’amplitude des dépassements

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t ω 0 = 1 rad/s ω 0 = 0.5 rad/s ω 0 = 2 rad/s

K = 1

ξ = 0.3

E ₀ = 1

(83)

Il vient alors pour D _i :

D _i = K .E ₀ .e ^−ξ.ω

⁰

^.t

^2.i−1

= K .E ₀ .e ^−(2.i−1)

√ ξ.π 1−ξ

²

R EMARQUE : La pulsation ω ₀ ne modifie pas l’amplitude des dépassements

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

t ω 0 = 1 rad/s ω 0 = 0.5 rad/s ω 0 = 2 rad/s

K = 1

ξ = 0.3

E ₀ = 1

CI-2 : Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2 :

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2-3 Prévoir les réponses temporelles et fréquentielles d’un système du premier ou second ordre

L

C

(D

), 2020 - 2021

Germain Gondor

Sommaire

1 Étude temporelle

2 Étude fréquentielle

Sommaire

1 Étude temporelle

Système du premier ordre Système du deuxième ordre

Réponse des systèmes à d’autres signaux tests

2 Étude fréquentielle

Système du premier ordre

D ÉFINITION : Système du premier ordre

On appelle système du premier ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

τ. ds

dt + s(t ) = K .e(t)

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 − ) = e(0 − ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

1 + τ.p avec K le gain statique et τ la constante

de temps.

Système du premier ordre

D ÉFINITION : Système du premier ordre

On appelle système du premier ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

τ. ds

dt + s(t ) = K .e(t)

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 − ) = e(0 − ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

1 + τ.p avec K le gain statique et τ la constante

de temps.

Système du premier ordre

D ÉFINITION : Système du premier ordre

On appelle système du premier ordre d’entrée e(t ) et de sor- tie s(t ) un système régi par une équation différentielle de type:

τ. ds

dt + s(t ) = K .e(t)

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 − ) = e(0 − ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

1 + τ.p avec K le gain statique et τ la constante

de temps.

Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle d’un système est par définition, la réponse à un Dirac:

e(t) = δ(t) ⇔ E (p) = 1 S(p) = H(p).E (p)



 



 



⇒ S(p) = H(p)

= K

1 + τ.p

⇒ s(t) = K

τ .e −t/τ

Réponse indicielle

e(t) = E 0 .u(t) ⇔ E (p) = E 0 p

S(p) = H(p).E (p) = E 0

p . K

(1 + τp) = K .E 0 . 1

p − τ 1 + τ.p

!

⇔ s(t) = K .E 0 .

1 − e −t/τ

⇒ s 0 (t) = K .E 0

τ .e −t /τ

Propriétés remarquables

• La valeur à convergence vaut : lim

t7→+∞ s(t ) = K .E 0 ou

p7→0 lim

p.S(p) = K .E 0

• Le temps de réponse à 5% est obtenu pour un temps t = 3.τ:

s(3.τ) ' 0, 95.K .E 0

• Pour le temps t = τ, on obtient : s(t) = 0, 63.K .E 0

• La pente à l’origine vaut K .E 0

τ

Réponse indicielle

s(t)

t E 0

K .E 0

K .E 0 /τ

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

Avec les conditions d’Heaviside (s(0 ⁻ ) = e(0 ⁻ ) = 0), la fonction de transfert est H(p) = K

τ .e ^−t/τ

e(t) = E 0 .u(t) ⇔ E (p) = E ₀ p

⇔ s(t) = K .E ₀ .

1 − e ^−t/τ

⇒ s ⁰ (t) = K .E 0

τ .e ^−t ^/τ

t7→+∞ s(t ) = K .E ₀ ou

p.S(p) = K .E ₀

s(3.τ) ' 0, 95.K .E ₀

• Pour le temps t = τ, on obtient : s(t) = 0, 63.K .E ₀

• La pente à l’origine vaut K .E ₀

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

0, 95.K .E ₀

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

0, 95.K .E ₀

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

0, 95.K .E ₀

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

0, 95.K .E ₀

t E ₀

K .E ₀

K .E ₀ /τ

0, 95.K .E ₀

E ₀ K .E ₀

K .E ₀ /τ 0, 63.K .E 0

0, 95.K .E ₀