Td 3 - CI-2-2: Modiﬁer les performances des systèmes linéaires continus invariants.

(1)

Td 3 - CI-2-2:

Modifier les performances des systèmes linéaires continus invariants.

CI-2

Prévoir, modifier et vérifier les performances des systèmes linéaires continus invariants.

LYCÉECARNOT(DIJON), 2020 - 2021

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MP) Td 3 - CI-2-2 Année 2020 - 2021 1 / 53

(2)

Sommaire

1 Fusée Ariane

2 Correction PID d’un système instable

3 Précision & stabilité

(3)

Fusée Ariane

Sommaire

1 Fusée Ariane Présentation

Etude de l’asservissement Annexe 1

Absence de correcteur Filtre réjecteur

Annexe 2

2 Correction PID d’un système instable

(4)

Fusée Ariane Présentation

Fusée Ariane

(5)

Fusée Ariane Présentation

Fusée Ariane

(6)

Fusée Ariane Etude de l’asservissement

Fusée Ariane

Une étude fréquentielle, non demandée dans ce sujet, montre que les fréquences de la loi de pilotage de la fusée doivent être faibles. L’ob- jectif de cette partie est de mettre en évidence le risque de résonance à basse fréquence du système d’orientation d’une tuyère, réalisé avec deux servo-vérins hydrauliques, et d’analyser la solution retenue pour limiter l’amplitude de la résonance.

Pour cette étude le modèle simplifié de comportement utilisé pour un servo-vérin déplaçant une charge de masse M est représenté sur la figure ci-dessous :

(7)

Les caractéristiques du servo-vérin et du fluide utilisé sont :Sla surface utile du vérin etBle module de compressibilité du fluide.

Soit y(t)la variation de déplacement de la charge par rapport à la position d’équilibre obtenue en l’absence de pression. La variation y(t) étant petite, on peut faire les hypothèses suivantes :

• les volumes des deux chambres du vérin sont identiques et égaux àV,

• les débits entrant et sortant sont identiques et égaux àQ.

(8)

(9)

(10)

La charge de masse M est liée au bâti par un ressort de raideur K et un amortisseur de coefficientλ.

L’étude hydraulique du servo-vérin et notamment l’étude des dé- bits de compressibilités et de déformations nous permet d’écrire : Q=S.dy

dt + V 2.B.dP

dt avecP=Pa−P_b.

L’étude mécanique de la charge nous permet d’écrire : M.d²y

dt² =P.S−K.y−λ.dy

dt (1)

.

(11)

dt + V 2.B.dP

dt avecP=Pa−P_b.

dt (1)

.

(12)

dt + V 2.B.dP

dt avecP=Pa−P_b.

dt (1)

.

(13)

Le débitQ est commandé par un servo-distributeur (association d’une servo-valve et d’un distributeur), non représenté ici et de fonction de transfert : K_S. La représentation sous forme de schéma-bloc du servo-vérin asservi en position est donnée ci-dessous avecK_p=1 :

+− Yc(p)

C(p) K_S Q(p) A(p) −

+ K_h P(p) F(p) Y(p)

Kp

Dans ce schéma bloc, Y_c(t) est la transformée de Laplace de la consigne de positionyc(t)du servo-verin.

Q - 1 :Soit C(p) = 1. Déterminer les fonctions de transfert A(p), F(p)et le gain K_h.

(14)

+− Yc(p)

Kp

(15)

+− Yc(p)

Kp

(16)

Sur l’annexe 1 sont tracés différents diagrammes du servo-vérin asservi en position :

• Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée.

• Diagramme de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte, tracé sur l’abaque de Black-Nichols avec un zoom autour du point (0 dB, -180^◦).

• Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée.

Q - 2 :À partir de ces diagrammes et sachant que le numérateur de la fonction de transfert en boucle fermée est un gain pur, identifier l’ordre du système en boucle fermée, son gain sta- tique et déterminer sa fréquence de résonance. Justifier vos réponses.

(17)

Fusée Ariane Annexe 1

Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée si C(p) = 1

1 10 10² 10³

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 G_dB(ω)20

ω

(18)

Diagramme de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte si C(p) = 1

(19)

Zoom autour du point (0 dB, -180

^◦

) du diagramme de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte si C(p) = 1

(20)

Diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte si C(p) = 1

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 G_dB(ω)20

ω

10 10² 10³

-270 -225 -180 -135 -90 -45 φ(ω)0

ω

(21)

Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée si C(p) = 1

(22)

Fusée Ariane Absence de correcteur

Le cahier des charges du servo-vérin définit certains critères :

• Écart nul en régime permanent en réponse à un échelon de position.

• Temps de réponse à 5% = 0,15 s.

• Marge de gain≥6 dB, marge de phase≥45^◦.

Q - 3 :Vérifier si tous les critères ci-dessus sont respectés si C(p) =1. Justifier vos réponses.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Fusée Ariane Filtre réjecteur

Le système est corrigé par un dispositif appelé filtre réjecteur. La pulsation propre du filtre réjecteur a été calée sur la pulsation de résonance ω_R du système non corrigé. La fonction de transfert du correcteur est C(p) = p²+2.ξ₁.ω_R.p+ω²_R

p²+2.ξ₂.ω_R.p+ω²_R.ξ₁etξ₂sont des coefficients d’amortissement positifs et inférieurs à

√ 2

2 etξ₁< ξ₂.

Q - 4 :Donner l’allure du diagramme de Bode réel, en gain, du correcteur.

(28)

Le système est corrigé par un dispositif appelé filtre réjecteur. La pulsation propre du filtre réjecteur a été calée sur la pulsation de résonance ω_R du système non corrigé. La fonction de transfert du correcteur est C(p) = p²+2.ξ₁.ω_R.p+ω²_R

p²+2.ξ₂.ω_R.p+ω²_R.ξ₁etξ₂sont des coefficients d’amortissement positifs et inférieurs à

√ 2

2 etξ₁< ξ₂.

Q - 4 :Donner l’allure du diagramme de Bode réel, en gain, du correcteur.

(29)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60

G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(30)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60

G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(31)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60

G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(32)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60

G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(33)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60

G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(34)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(35)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(36)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(37)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(38)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(39)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(40)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

φ(ω)

ω

(41)

ξ₁=0.0001 etξ₂=0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(42)

ξ

₁

= 0.1 et ξ

₂

= 0.5

10 10² 10³

-60 -40 -20 0 20 40 60 G_dB(ω)

ω

10 10² 10³

-225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)180

ω

(43)

Sur l’annexe 2 sont tracés différents diagrammes du système corrigé :

• Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé.

• Diagramme de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte du système corrigé, tracé sur l’abaque de Black-Nichols.

• Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé.

Q - 5 :Conclure quant au respect des critères du cahier des charges définis précédemment. En fonction des diagrammes de Bode fournis, préciser l’apport de ce correcteur.

(44)

Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé

(45)

Diagramme de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte du système corrigé

(46)

Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé

(47)

Correction PID d’un système instable

Sommaire

1 Fusée Ariane

2 Correction PID d’un système instable Etude préliminaire

Régulation proportionnelle Régulation PD

Correction PID

(48)

Correction PID d’un système instable

La mise en équation du système à étudier a permis de déterminer sa fonction de transfert :

G(p) = 5

p²+9.p−10

+− Xc(p)

C(p) G(p) X(p)

(49)

Correction PID d’un système instable Etude préliminaire

Q - 1:Justifier que ce système est instable (C(p) =1)

La fonction de transfert en boucle ouverteBO(p) n’est pas stable car elle possède un pôle à partie réelle positive : 1 est une racine évidente du dénominateur.

En boucle ferméeBF(p), nous avons :

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p) =

5 p²+9.p−10

1+ 5

p²+9.p−10

= 5

5+p²+9.p−10 = 5 p²+9.p−5

Tous les coefficients du dénonateur ne sont pas de même signe. Le critère de Routh permet de dire que le système contient des racines à partie réelle positive ce qui rend le système instable.

(50)

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p) =

5 p²+9.p−10

1+ 5

p²+9.p−10

= 5

5+p²+9.p−10 = 5 p²+9.p−5

(51)

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p)

=

5 p²+9.p−10

1+ 5

p²+9.p−10

= 5

5+p²+9.p−10 = 5 p²+9.p−5

(52)

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p) =

5 p²+9.p−10

1+ 5

p²+9.p−10

= 5

5+p²+9.p−10 = 5 p²+9.p−5

(53)

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p) =

5 p²+9.p−10

1+ 5

p²+9.p−10

= 5

5+p²+9.p−10 = 5 p²+9.p−5

(54)

Si on ne dégaine pas le critère de Routh, on peut chercher les racines du dénominateur et nous avons alors :

∆ = q

9²−4×1×(−5) = √

101 ⇒ p±= −9±

√ 101 2 La racinep₊est positive. Le système est donc instable.

Q - 2:Mettre G(p)sous la forme d’un produit de fonctions.

G(p) = 5

p²+9.p−10 = 5

(p−1).(p+10)

(55)

Si on ne dégaine pas le critère de Routh, on peut chercher les racines du dénominateur et nous avons alors :

∆ = q

9²−4×1×(−5) = √

101 ⇒ p±= −9±

√ 101 2 La racinep₊est positive. Le système est donc instable.

Q - 2:Mettre G(p)sous la forme d’un produit de fonctions.

G(p) = 5

p²+9.p−10 = 5

(p−1).(p+10)

(56)

Correction PID d’un système instable Régulation proportionnelle

On choisit dans un premier tempsC(p) =K.

Q - 3:Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée.

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p)=

K. 5

p²+9.p−10 1+K. 5

p²+9.p−10

= 5.K

5.K+p²+9.p−10

(57)

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p)

=

K. 5

p²+9.p−10 1+K. 5

p²+9.p−10

= 5.K

5.K+p²+9.p−10

(58)

BF(p) = C(p).G(p) 1+C(p).G(p)=

K. 5

p²+9.p−10 1+K. 5

p²+9.p−10

= 5.K

5.K+p²+9.p−10

(59)

10⁻¹ 1 10 10²

-60 -40 -20 0 20 40 60 GdB(ω)

ω

10⁻¹ 1 10 10²

-180 -135 -90 -45 0 φ(ω)

ω

(60)

Q - 4 :Déterminer pour quelles valeurs de K , le système peut être rendu stable.

Sans le critère de Routh, on peut chercher pour quelles valeurs de K la marge de gain est positive. Or :

−π = ϕ(ω₁₈₀) = arg (BO(j.ω₁₈₀))

= arg K. 5

(j.ω₁₈₀−1).(j.ω₁₈₀+10)

!

= arg (5.K)−arg (j.ω₁₈₀−1)−arg (j.ω₁₈₀+10) π = −arctan (ω₁₈₀) + arctan

ω₁₈₀ 10

Utilisons la formuletan(a+b) = tan(a) + tan(b) 1−tan(a).tan(b).

(61)

−π = ϕ(ω₁₈₀) = arg (BO(j.ω₁₈₀))

= arg K. 5

(j.ω₁₈₀−1).(j.ω₁₈₀+10)

!

ω₁₈₀ 10

(62)

−π = ϕ(ω₁₈₀) = arg (BO(j.ω₁₈₀))

= arg K. 5

(j.ω₁₈₀−1).(j.ω₁₈₀+10)

!

ω₁₈₀ 10

(63)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

ce qui impose ω₁₈₀=0 rad/s ou ω₁₈₀=∞

Or pourω→ ∞le gain tend vers−∞donnant une marge de gain infinie. Il faut donc chercher les valeurs de K qui donnent un gain négatif à la pulsationω₁₈₀=0 rad/s :

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1⇒K <2

(64)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

Or pourω→ ∞le gain tend vers−∞donnant une marge de gain infinie. Il faut donc chercher les valeurs de K qui donnent un gain négatif à la pulsationω₁₈₀=0 rad/s :

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1⇒K <2

(65)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

Or pourω→ ∞le gain tend vers−∞donnant une marge de gain infinie.

Il faut donc chercher les valeurs de K qui donnent un gain négatif à la pulsationω₁₈₀=0 rad/s :

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1⇒K <2

(66)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1⇒K <2

(67)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1⇒K <2

(68)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1

⇒K <2

(69)

0 = −ω180+0,1.ω180

1+0,1.ω²₁₈₀ =− 9.ω180

10+ω²₁₈₀

0>G_dB(0) =20.log

5.K (0−1).(0+10)

!

⇒

5K

−10

<1⇒K <2

(70)

Avec le premier critère de Routh, il faut que tous les coefficients du dénominateur soient de même signe et qu’il y ait au plus un seul pôle nul. Ainsi, le premier critère impose 5.K−10>0, soitK >2.

Le second critère correspond au signe des coefficients du tableau sui- vant :

1 5.K−10 0

9 0 0

X 0 0

avec X=−1 9.

1 5.K−10

9 0

=−0−9.(5.K−10)

9 ⇒ K >2

(71)

Avec le premier critère de Routh, il faut que tous les coefficients du dénominateur soient de même signe et qu’il y ait au plus un seul pôle nul. Ainsi, le premier critère impose 5.K−10>0, soitK >2.

Le second critère correspond au signe des coefficients du tableau sui- vant :

1 5.K−10 0

9 0 0

X 0 0

avec X=−1 9.

1 5.K−10

9 0

=−0−9.(5.K−10)

9 ⇒ K >2

(72)

Q - 5 : Déterminer K pour que la réponse à un échelon de la fonction de transfert en boucle fermée soit apériodique.

Pour que la réponse de la fonction de transfert en boucle fermée soit apériodique, il faut que son coefficient d’amortissement soit supérieur ou égal à 1.

BF(p) = 5.K

5.K+p²+9.p−10=

5.K 5.K−10 1+ 9

5.K−10.p+ p² 5.K−10

⇒ ω0=

√5.K−10

⇒ 2.ξ ω0

= 9

5.K−10 ⇒ ξ=ω0

2. 9

5.K−10= 9 2.√

5.K−10

ξ≥1 ⇒ 81

4.(5.K−10)≥1 ⇒ 81

20≥K−2 ⇒ K≤121 20 =6,05

(73)

BF(p) = 5.K

5.K+p²+9.p−10=

5.K 5.K−10 1+ 9

5.K−10.p+ p² 5.K−10

⇒ ω0=

√5.K−10

⇒ 2.ξ ω0

= 9

5.K−10 ⇒ ξ=ω0

2. 9

5.K−10= 9 2.√

5.K−10

ξ≥1 ⇒ 81

4.(5.K−10)≥1 ⇒ 81

20≥K−2 ⇒ K≤121 20 =6,05

(74)

BF(p) = 5.K

5.K+p²+9.p−10=

5.K 5.K−10 1+ 9

5.K−10.p+ p² 5.K−10

⇒ ω0=

√5.K−10

⇒ 2.ξ ω0

= 9

5.K−10 ⇒ ξ=ω0

2. 9

5.K−10= 9 2.√

5.K−10

ξ≥1 ⇒ 81

4.(5.K−10)≥1 ⇒ 81

20≥K−2 ⇒ K≤121 20 =6,05

(75)

BF(p) = 5.K

5.K+p²+9.p−10=

5.K 5.K−10 1+ 9

5.K−10.p+ p² 5.K−10

⇒ ω0=

√5.K−10

⇒ 2.ξ ω0

= 9

5.K−10 ⇒ ξ=ω0

2. 9

5.K−10= 9 2.√

5.K−10

ξ≥1 ⇒ 81

4.(5.K−10)≥1 ⇒ 81

20≥K−2 ⇒ K≤121 20 =6,05

(76)

BF(p) = 5.K

5.K+p²+9.p−10=

5.K 5.K−10 1+ 9

5.K−10.p+ p² 5.K−10

⇒ ω0=

√5.K−10

⇒ 2.ξ ω0

= 9

5.K−10 ⇒ ξ=ω0

2. 9

5.K−10= 9 2.√

5.K−10

ξ≥1 ⇒ 81

4.(5.K−10)≥1 ⇒ 81

20≥K−2 ⇒ K≤121 20 =6,05