Systèmes linéaires continus et invariants

(1)

Systèmes linéaires continus et invariants

1) INTRODUCTION : LES TROIS TYPES DE SYSTÈMES AUTOMATISÉS ... 5

11) L

ES SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES

... 5

12) L

ES SYSTÈMES LOGIQUES SÉQUENTIELS

... 5

13) L

ES SYSTÈMES CONTINUS

... 5

2) PERFORMANCES DES SYSTÈMES CONTINUS ... 6

21) L

A PRÉCISION

,

CARACTÉRISÉE PAR L

’

ERREUR STATIQUE OU L

’

ERREUR DE POURSUITE

... 6

22) L

A RAPIDITÉ

,

CARACTÉRISÉE PAR LE TEMPS DE RÉPONSE

... 6

23) L

A STABILITÉ

,

CARACTÉRISÉE PAR LE NOMBRE DE DÉPASSEMENTS ET

/

OU LA VALEUR DU PREMIER DÉPASSEMENT

... 7

24) A

NALYSE D

'

UN SYSTÈME CONTINU

... 7

1^ère phase : observation des critères tels qu’erreur, temps de réponse, dépassements… 7 2^ème phase : conclusion sur les performances telles que précision, rapidité et stabilité. ... 7

3) MODÉLISATION DES SLCI ... 8

31) C

ONSIGNE

,

RÉPONSE ET MODÈLE

... 8

32) L

IMITES D

’

ÉTUDE

: S

YSTÈMES

L

INÉAIRES

, C

ONTINUS ET

I

NVARIANTS

... 9

33) R

ÉSOLUTION DE L

’

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

:

LA TRANSFORMÉE DE

L

APLACE

... 10

331) Techniques de résolution de l’équation différentielle ... 10

332) Définition mathématique de la transformée de Laplace ... 10

333) Fonctions causales ... 10

334) Propriétés de la transformée de Laplace ... 10

Linéarité ... 10

Dérivation 1^ère ... 10

Dérivation 2^nd ... 10

Intégration ... 10

Multiplication d’une fonction par une fonction ... 10

Théorème de la valeur initiale ... 10

Théorème de la valeur finale ... 10

335) Transformées usuelles de fonctions causales ... 10

336) Détermination de la Transformée de Laplace inverse ... 11

1) Mettre l’ordre du polynôme du numérateur inférieur à celui du dénominateur ... 11

2) Rechercher les racines du dénominateur ... 11

3) Factoriser le dénominateur ... 11

4) Décomposer S(p) en éléments simples ... 11

5) Identifier des transformées usuelles ... 11

34) R

EPRÉSENTATION DES

SLCI

PAR FONCTION DE TRANSFERT

... 12

341) Existence de la fonction de transfert si les conditions initiales sont nulles ... 12

342) Forme canonique : gain statique, ordre et classe, pôles et zéros ... 12

35) R

EPRÉSENTATION DES

SLCI

PAR SCHÉMA

-

BLOC

... 13

(2)

4) SLCI ASSERVIS ... 13

41) I

NSUFFISANCE DES SYSTÈMES EN BOUCLE OUVERTE

(BO) ... 13

42) L

ES

SLCI

ASSERVIS OU EN BOUCLE FERMÉE

(BF) ... 14

421) Systèmes asservis régulateurs et systèmes asservis suiveurs ... 14

422) Différentes fonctions réalisées par un système asservi ... 14

Traduire la consigne en un signal utilisable par la commande  Utilisation d’interfaces H/M... 14

Produire une image de la sortie  Utilisation de capteurs ... 14

Comparer l'image de la consigne à l'image de la sortie  Utilisation de comparateurs . 14 Corriger et amplifier le signal de commande pour améliorer les performances (précision- rapidité-stabilité)  Utilisation de correcteurs + amplificateurs ... 14

423) Représentation par schéma-bloc d’un système asservi élémentaire ... 14

Notions de chaîne directe, chaîne de retour, comparateur, erreur et image de l’erreur .. 14

43) S

IMPLIFICATIONS DE SCHÉMAS

-

BLOCS ÉLÉMENTAIRES

... 15

431) Fonction de Transfert de blocs en série ... 15

432) Fonction de Transfert de blocs en parallèle ... 15

433) Fonction de Transfert de blocs en Boucle Fermée : FTBF ... 15

434) Fonctions de Transfert de systèmes à n entrées, principe de superposition ... 16

44) S

IMPLIFICATIONS DE SCHÉMAS

-

BLOCS AVEC BOUCLES IMBRIQUÉES

... 17

45) D

ÉTERMINATION DE L

’

ERREUR STATIQUE OU DE L

’

ERREUR DE POURSUITE

... 18

451) Fonction de Transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBO ... 18

452) Détermination de l'erreur statique ou de l’erreur de pousuite à partir de la fonction de transfert du système

( ) ( ) ( ) H p S p  E p

(lorsque celle-ci est déjà connue) ... 18

453) Détermination de l'erreur statique ou de l’erreur de pousuite à partir de la fonction de transfert en Boucle Ouverte (lorsque

( )

( ) ( )

H p S p



E p n’est pas connue) ... 18

(3)

5) COMPORTEMENT TEMPOREL DE SLCI PARTICULIERS (ÉTUDE DU RÉGIME

TRANSITOIRE). ... 19

51) S

OLLICITATIONS TEST PERMETTANT D

’

ÉVALUER LES PERFORMANCES

... 19

Impulsion de Dirac (t) ... 19

Échelon a.u(t) ... 19

Rampe a.t.u(t) ... 19

Remarque : "réponse indicielle = réponse à un échelon lorsque l'amplitude a vaut 1". ... 19

52) C

OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES PROPORTIONNELS

(

OU DE GAIN PUR

) : K. ... 20

521) Définition. ... 20

K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ... 20

522) Réponse à un échelon Ec.u(t). ... 20

53) C

OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DÉRIVATEURS

: K.

P

. ... 20

K : gain statique du système (en s^¹ si e(t) et s(t) de même nature) ... 20

532) Réponse à une rampe a.t.u(t). ... 20

54) C

OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES INTÉGRATEURS

: K/

P

. ... 20

K : gain statique du système (en s si e(t) et s(t) de même nature) ... 20

55) C

OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DU

1

^ER ORDRE

:

1 . K  p

... 21

 : constante de temps (en s) ... 21

552) Réponse à une impulsion a.(t). ... 21

Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ... 21

Temps de réponse à 5% (défini toujours pour une entrée en échelon) ... 22

Bilan. ... 22

Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, asymptote en +). ... 23

(4)

56) C

OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DU

2

^ÈME ORDRE

:

2

0 02

2 1

1 . .

K

z p p

 

 

... 24

0 (notée parfois _n) : pulsation propre non amortie >0 pulsation du système s’il n’était pas amortie (en rad/s) ... 24

z (noté parfois m ou ) : facteur d’amortissement >0 (sans unité) ... 24

562) Réponse à une impulsion (t). ... 24

Détermination de l’allure de la réponse. ... 24

Détermination de l’allure de la réponse. ... 25

Temps de réponse. ... 26

Temps de réponse réduit tr5%.0. ... 26

Dépassement absolu Dk et dépassement relatif Dk% (cas z<1). ... 26

Notions de pulsation amortie _a et de pseudo-période Ta (cas z<1). ... 28

Temps tk lorsque les dépassements s’effectuent : s'(tk)=0 (cas z<1). ... 28

Temps tj lorsque s(tj)=K.Ec (cas z<1). ... 28

Expression des dépassements relatifs Dk% si l’abaque n’est pas donné (cas z<1). ... 28

565) Autre forme de la fonction de transfert d’un 2^ème ordre apériodique :

) p . 1 )( p . 1 ( K

2 1

   

... 29

Réponse à un échelon dans le cas général. ... 29

Réponse à un échelon dans le cas où une constante de temps est négligeable devant l’autre (c'est-à-dire qu’une racine est négligeable devant l’autre). ... 29

57) I

DENTIFICATION À UN MODÈLE

(

À L

’

AIDE D

’

UN GRAPHIQUE TEMPOREL

). ... 30

571) Modéliser pour prévoir le comportement. ... 30

572) Expérimenter pour pouvoir identifier. ... 30

573) Choix du modèle : 1^er ou 2^ème ordre ? ... 30

574) Identification à un modèle du 1^er ordre :

    1 . p K p E p S   

... 30

Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale ... 30

La constante de temps



est obtenue à partir du relevé du temps mis pour atteindre 0,63.K.Ec (t=



) ... 30

575) Identification à un modèle du 2^ème ordre apériodique (z>1) :

   

(1 1. )(1 2. ) S p K p p E p      ^{... 31}

Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale ... 31

Les 2 constantes de temps sont obtenues en utilisant une méthode approchée à partir du tracé de la tangente au point d’inflexion. ... 31

576) Identification à un modèle du 2ème ordre oscillant (0<z<1) :

   

2 0 02 2 1 1 S p K E p z p p      .... 31

Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale. ... 31

Le facteur d’amortissement est obtenu à partir du relevé du 1^er dépassement. ... 31

La pulsation propre est obtenue à partir du relevé de la pseudo-période ou du temps de réponse. ... 31

577) Identification à une somme de fonctions de transfert connues. ... 32

(5)

1) Introduction : les trois types de systèmes automatisés

Un système automatisé est un système qui réalise, de manière autonome, des opérations du processus de transformation de la matière d’œuvre. L’intervention de l’homme est alors limitée à la programmation, la mise en marche et les réglages de certains paramètres.

Un système automatisé est utilisé pour réaliser des tâches :

 trop complexes ou dangereuses pour l'homme ;

 répétitives et pénibles.

Parmi les systèmes automatisés, on distingue :

11) Les systèmes logiques combinatoires

La grandeur de sortiedu système est élaborée à partir d’une combinaison des grandeurs d’entrées.

12) Les systèmes logiques séquentiels

La grandeur de sortie du système est élaborée à partir d’une combinaison des grandeurs d’entrée, mais prend également en compte la chronologie des événements et l’état précédent du système.

13) Les systèmes continus

Les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent de manière continue en fonction du temps.

Centre d‘usinage de précision

Robot d’inspection du cœur d’une centrale nucléaire

Robot soudeur

« Robots guides » du complexe financier Santander de Madrid

Digicode

Feu tricolore

Four

(6)

2) Performances des systèmes continus

Afin de répondre aux mieux aux besoins de l’utilisateur, un système continu doit présenter des performances (précision, rapidité, stabilité) les plus proches possibles de celles définies dans le cahier des charges.

Pour vérifier ces performances et déterminer les réglages permettant de les optimiser, on utilise différents critères (erreur, temps de réponse, dépassement).

21) La précision, caractérisée par l’erreur statique ou l’erreur de poursuite

On définit l’erreur ou écart à l’instant t notée er(t) par:

( ): ( ):

( ) ( ) ( )

r

e t entrée et s t sortie

e t



e t



s t

La précision est alors caractérisée en régime permanent par :

( ) ( ) ( )

er

    

e s

On parlera d’erreur statique (ou erreur de position), l’erreur en régime permanent pour une entrée en échelon.

On parlera d’erreur de poursuite (ou erreur de suivi), l’erreur en régime permanent pour une entrée en rampe.

erreur de position :

erreur de poursuite :

22) La rapidité, caractérisée par le temps de réponse

La rapidité est caractérisée généralement par le temps de réponse à 5% noté tr5%.

Le temps de réponse à 5% est le temps mis par la sortie pour atteindre la valeur finale à ± 5%.

 Attention ! Ce n’est pas le temps mis pour atteindre la valeur souhaitée (consigne) à ± 5%, mais bien la valeur finale.

Ainsi, lors d’une étude de rapidité, il faut faire abstraction de l’entrée !

 Le temps de réponse à 5% est atteint lorsque la sortie rentre dans le « tube des 5% » et n’en sort plus !

 Le temps de réponse à 5% peut être déterminé uniquement pour une entrée en échelon.

Système sans dépassement :

Système avec dépassement :

(7)

23) La stabilité, caractérisée par le nombre de dépassements et/ou la valeur du premier dépassement

La stabilité est caractérisée généralement par le nombre de dépassements et/ou la valeur du premier dépassement(le plus critique), noté D1

par rapport à la valeur finale.

On définit le dépassement absolu d’ordre k par :

( ) ( )

k k

D



s t

 

s On définit le dépassement relatif par :

%

( )

k k

D D



s



^.

 Attention ! Ce ne sont pas les dépassements par rapport à la valeur souhaitée (consigne), mais bien par rapport à la valeur finale.

Ainsi, lors d’une étude de stabilité, il faut faire abstraction de l’entrée !

Pour certains systèmes, il est impératif qu’il n’y ait aucun dépassement. Exemple : le robot trieur de saucisse.

Système avec dépassement :

24) Analyse d'un système continu

Une analyse comportera 2 étapes :

1

^ère

phase : observation des critères tels qu’erreur, temps de réponse, dépassements…

2

^ème

phase : conclusion sur les performances telles que précision, rapidité et stabilité.

NB : On ne dira jamais que le temps de réponse est rapide, ou que l’erreur est précise… Les critères s’évaluent par des chiffres qui peuvent être plus faibles ou plus grands que d’autres…

Étudier les systèmes continus, c’est essayer d’améliorer ces différentes

caractéristiques.

(8)

3) Modélisation des SLCI

31) Consigne, réponse et modèle

Pour répondre correctement au besoin pour lequel il à été conçu, un système doit « produire » une réponse (sortie) qui respecte au mieux la consigne (entrée).

Exemple : Étuve thermique

Ces deux grandeurs sont liées entre elles par une loi physique, traduite par une équation mathématique plus ou moins complexe, qui est le modèle du système :

On parlera de modèle de connaissance lorsque le modèle est théorique et de modèle de comportement lorsque ce dernier est déterminé expérimentalement.

Étant donné que le modèle traduit la relation entre l’entrée et la sortie, la connaissance de deux d’entre eux doit permettre la détermination du troisième.

L’étude des systèmes continus peut donc conduire à rencontrer 3 types de problèmes :

 Bien qu’ils soient peu traités en CPGE, les problèmes de commande sont les plus proches de la réalité industrielle :

« comment commander le système pour qu’il se comporte comme prévu ? »

Dans les problèmes de prédiction, on cherchera à mettre en évidence les performances des systèmes : précision, rapidité, stabilité…

 Les modèles théoriques de connaissance, issus des lois de la physique, ne sont jamais parfaits. En effet, pour les élaborer, on est souvent amené à faire des approximations ou à négliger certains phénomènes.

(9)

32) Limites d’étude : Systèmes Linéaires, Continus et Invariants

Nous nous limiterons à l’étude des systèmes pour lesquels les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent de manière continue dans le temps.

Nous ferons l’hypothèse que le modèle, qui traduit la manière dont se comporte le système, est invariant, c'est-à-dire qu’il reste identique et valable à chaque instant.

Enfin, nous restreindrons nos études aux cas des systèmes linéaires⁽¹⁾, c'est-à-dire aux systèmes qui conservent à leur sortie toute combinaison linéaire des signaux d’entrée.

Si à une entrée e₁(t) correspond une sortie s₁(t) et si à une entrée e₂(t) correspond une sortie s₂(t), alors à une entrée k1.e1(t) + k2.e2(t) correspond une sortie k1.s1(t) + k2.s2(t), avec k1 et k2 constantes.

Dans la réalité les phénomènes sont linéaires dans un certain domaine de variation. A l’extérieur de ce domaine, des phénomènes non linéaires, comme des saturations apparaissent.

Dans la grande majorité des cas, le modèle de connaissance du système est alors une équation différentielle à coefficients constants de la forme.

-1 -1

-1 -1 1 0 -1 -1 1 0

( ): ( ):

... ( ) ... ( )

n n m m

n n n n m m m m

e t entrée et s t sortie

d s d s ds d e d e de

a a a a s t b b b b e t

dt  dt   dt   dt  dt   dt 

Les systèmes réels étudiés impliquent

m n 

;

n

est appelé ordre du système Exemples de systèmes électriques.

Résistance Bobine Condensateur

( ) . ( )

u t R i t ( )

( ) .di t u t L

 dt 1

( ) . ( ).

u t i t dt

C



u(t) : tension i(t) : intensité R : résistance L : inductance C : capacité

Il faut noter que ces relations simplifiées ne reflètent le comportement qu’en première approximation.

Exemples de systèmes proportionnels :

Dans certains cas, en général des constituants des systèmes, il existe simplement une relation de proportionnalité entre la sortie et l’entrée.

Ce coefficient de proportionnalité sera appelé « gain » du constituant.

Lors de l’étude des Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI), en particulier pour les problèmes de prédiction, on sera amené à manipuler et résoudre ces équations.

Même si les équations différentielles à coefficients constants (d’ordre 1 ou 2) figurent parmi les plus simples à appréhender, il est intéressant de disposer d’outils adaptés permettant d’effectuer rapidement et efficacement les études systématiques auxquelles nous allons être confrontés : le plus efficace dans les cas que nous étudierons est la transformation de Laplace.

(10)

33) Résolution de l’équation différentielle : la transformée de Laplace

331) Techniques de résolution de l’équation différentielle

Technique de résolution classique. Technique utilisée par les automaticiens : elle repose sur les transformées de Laplace.

L’objectif est de résoudre un polynôme plutôt qu’une équa.dif.

332) Définition mathématique de la transformée de Laplace

La transformée de Laplace F p( ) de la fonction f t( ), est : ^{f t}^{( )}

L L  

^{f t}^{( )} ^{F p}^{( )} ^^{f t e}^{( ).} ^^{p t}^. ^.^dt



  



333) Fonctions causales

La cause précède l’effet. L’ingénieur a pour pratique d’étudier l’effet d’une cause qu’il situe à la date t=0.

En automatique, on utilisera donc la transformée de Laplace restreinte ^.

0

( ) ( ). ^{p t}.

F p f t e dt

 







^{qui ne}

s’applique qu’aux fonctions causales (c'est-à-dire aux fonctions f(t) telles que f(t) = 0 pour t<0).

Pour rendre une fonction mathématique f(t) (qui n’est pas nulle quand t<0) causale, on la multiplie par la fonction d’Heaviside u(t) : u(t) = 0 si t < 0

u(t) = 1 si t ≥ 0

334) Propriétés de la transformée de Laplace

Linéarité Dérivation 1

^ère

Dérivation 2

^nd

Intégration

Multiplication d’une fonction par une fonction

f(t)  f t( )  g t( ) f t( ) f t( )

0^tf x dx( ).



^{f t g t}^{( ). ( )}

F(p)

^{ }^{F p}^{( )}^{  }^{G p}^{( )} p F p. ( )f(0 )^ p F p². ( )p f. (0 )^ f(0 )^ F p( )

p F p G p( ). ( ) Exemple :

2

2 2

( ) ( )

5 d t 3 d t 2 ( ) ( ) ^L 5 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )

t v t p p p p p V p

dt dt

 ^   ^               

Théorème de la valeur initiale  

0

(0 ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( )

t p p

f f t p f t p F p

   

   

Théorème de la valeur finale  

0 0

( ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( )

t p p

f f t p f t p F p

    

   

335) Transformées usuelles de fonctions causales

Nous ne chercherons pas à déterminer F(p) par la définition (car résoudre l’intégrale est aussi difficile que de résoudre l’équation différentielle du départ). Nous nous servirons de tableaux qu’il faudra connaître :

f(t) Impulsion de

Dirac ( )t ¹ ^t ^e^^{a t}^. ^{t e}^. ^^{a t}^. e^^{a t}^. .cos(t) e^^{a t}^. .sin(t)

F(p)

¹ ¹

p ²

1 p

1

pa ²

1

(pa) ( )² ²

p a p a



   (p a)² ²



  

Equation différentielle avec second membre

s2(t) : réponse forcée caractérisation du régime permanent Equation

particulière

s1(t) : réponse libre caractérisation du régime transitoire Equation

différentielle sans second membre

s(t)=s1(t)+s2(t)

Transformée de Laplace Équation différentielle

avec second membre avec s(t) et e(t)

Équation polynomiale en p avec S(p) et E(p)

Solution S(p) Solution s(t)

Domaine temporel en t Domaine de Laplace en p

Transformée Inverse

où p est une variable complexe Cette transformation permet de passer du domaine temporel en t au domaine de Laplace en p.

(11)

336) Détermination de la Transformée de Laplace inverse

Pour déterminer la transformée de Laplace inverse de S p( ), donc ^{s t}^{( )}

L

^¹



^{S p}^{( )}



, il faut :

1) Mettre l’ordre du polynôme du numérateur inférieur à celui du dénominateur

' ' 1

' 1 '

PolynômeA d ordre n PolynômeC d ordre n PolynômeB d ordre n PolynômeB d ordre n

   ex :

2 2

2 2 2

1 3 2 3 2 1 3 1

1

3 2 3 2 3 2

p p p p p

p p p p p p

       

  

     

2) Rechercher les racines du dénominateur

Ex : soit

2 3 4

0 1 2 3 4

2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

. . . .

S(p)

. . . . .p

p p p p

        

           

3) Factoriser le dénominateur

Donc

 

2 3 4

0 1 2 3 4

2 2 2

5

. . . .

S(p)

.(p-a ).(p-b) . (p-c) d

p p p p

        

  

4) Décomposer S(p) en éléments simples

2 3 4

0 1 2 3 4

2 2 2 2 2 2

5

. . . . .

S(p)

.(p-a ).(p-b) .((p-c) d ) ( ) ( )

p p p p A B C D p E

p a p b p b p c d

         

    

 

    

Les constantes sont déterminées telles que :

A : multiplier S(p) par (p-a) et faire tendre p vers a

2 3 4

0 1 2 3 4

2 2 2

5

. . . .

lim ( ). ( )

.( ) .(( ) )

p a

a a a a

p a S p A

a b a c d



        

  

   

C : multiplier S(p) par (p-b)² et faire tendre p vers b

2 3 4

2 0 1 2 3 4

2 2

5

. . . .

lim ( ) . ( )

.( ).(( ) )

p b

b b b b

p b S p C

b a b c d



        

  

   

B : multiplier S(p) par (p-b) et faire tendre p vers +

4 5

lim ( ). ( ) 0

p p b S p A B D



     



D et E : multiplier par (p-c)²+d² et faire tendre p vers c+j.d, puis identifier partie réelle et imaginaire

2 3 4

2 2 0 1 2 3 4

. 2

5

.( . ) .( . ) .( . ) .( . )

lim ( ) . ( ) .( . )

.(( . ) ).(( . ) )

p c j d

c j d c j d c j d c j d

p c d S p D c j d E

c j d a c j d b

 

            

       

      

5) Identifier des transformées usuelles

A

pa^, B

pb^et( )² C

pb sont identifiables immédiatement mais

2 2

.

( )

D p E

p c d



  doit être mis sous la forme

de 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

. .( ) . ( ) .

. .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D p E D p c D c E p c D c E d

D d

p c d p c d p c d p c d p c d

        

         

On trouve en identifiant avec les transformées usuelles, la transformée inverse :

. . . . . .

( ) . ^{a t} . ^{b t} . . ^{b t} . ^{c t}.cos( . ) D c E. ^{c t}.sin( . ) . ( )

s t A e B e C t e D e d t e d t u t

d

  

     

On notera que quand t   cette fonction converge si et seulement si a, b et c sont négatifs.

s(t) est donc stable si et seulement si les parties réelles des racines du dénominateur sont négatives.

Supposons que le dénominateur ait : - 1 racine réelle simple p = a - 1 racine réelle double p = b

- 2 racines complexes conjuguées simples p = c  j .d

(12)

34) Représentation des SLCI par fonction de transfert

341) Existence de la fonction de transfert si les conditions initiales sont nulles

On a vu précédemment que le modèle traduisant la relation entre l’entrée

e t ( )

et la sortie

s t ( )

d’un SLCI était, dans la grande majorité des cas, une équation différentielle :

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de cette équation et en considérant les conditions initiales nulles, on a :

1 0 1 0

( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

n m

a



p



S p

   

a p S p



a



S p



b



p



E p

   

b p E p



b



E p Soit :

  a

_n

 p

ⁿ

    ... a p

₁

a S p

₀

  ( )    b

_m

 p

^m

    ... b p

₁

b E p

₀

  ( )

d’où : ¹ ⁰ ⁰

1 0

0

( ) ...

m

m i i

m n n n i

i

b p b p b b p S p

E p a p a p a a p

       

 

 

      

  



Cette fraction rationnelle de deux polynômes de variable p est appelée fonction de transfert du système.

Elle est notée :

( ) ( )

( )

H p S p



E p

Remarque : La fonction de transfert existe seulement si les conditions initiales sont nulles.

Dans le cas contraire S p( )H p E p( ). ( )H p₀( ) où H p₀( ) est une fraction dépendante des conditions initiales.

342) Forme canonique : gain statique, ordre et classe, pôles et zéros

Si

H ( p )

est une fonction de transfert alors :

- H(p) caractérise le système indépendamment de l’entrée appliquée, - les valeurs de p qui annulent le numérateur sont appelées zéros du système, - les valeurs de p qui annulent le dénominateur sont appelées pôles du système, - le degré n du polynôme du dénominateur est appelé ordre du système.

- K est appelé le gain statique (il caractérise le régime permanent),



  

 

  

1 0

:" "

( )( ) ( )

( ) ( ) :

( ) ( )( ) ( )

i

m m

n n

z zéros de la fonction de transfert

p pôles de la fonction de transfert

p z p z p z

H p S p K K gain statique

E p p p p p p p

En mettant H p( ) sous forme canonique :

2 2

( ) 1 :

( ) ( ) 1 :

m n

classe du système

S p K p p p

H p E p p p p p ^ n ordre du système

   

 

   

 



-  représente la classe du système (nombre d’intégrations 1

p présentes dans le système).

Exemple :

2 2

2 3 5 2

3

3 5

1 . .

2 3. 5. 2 2 2

( ) ( ) .

4 7

3. 4. 7. 3. 1 . .

3 3

forme canonique

p p

H p H p

p p p p p p

 

 

   



: 5 : 2

:2 3 ordre

classe gain statique



 





(13)

35) Représentation des SLCI par schéma-bloc

La représentation externe d'un composant de la chaîne fonctionnelle du système peut être faite par un bloc représentant sa fonction de transfert :

4) SLCI asservis

41) Insuffisance des systèmes en boucle ouverte (BO)

Un système continu peut, dans une première approche, être représenté de la façon suivante :

Un système non bouclé (ou en boucle ouverte) est un système qui ne contrôle pas la manière dont la consigne imposée en entrée a été respectée. Il ne prend pas en compte la réaction du système à une éventuelle cause externe qui pourrait modifier la relation entrée → sortie.

Un événement extérieur (perturbation) peut alors modifier la sortie attendue du système.

Exemples :

Pour qu’un système réponde correctement aux besoins de l’utilisateur, il est important que la sortie ne varie pas quels que soient les phénomènes extérieurs qui pourraient la perturber.

SYSTEME

Perturbation

Entrée Sortie

Température du logement Consigne de

température

Chauffage d’immeuble

Fenêtre ouverte

Cap suivi Consigne de

cap

Pilote de

bateau

Vague, courant

avec S(p) = H(p).E(p)

(14)

42) Les SLCI asservis ou en boucle fermée (BF)

421) Systèmes asservis régulateurs et systèmes asservis suiveurs

On parle d’un système régulateur lorsque l’on désire que la sortie prenne une valeur précise et égale à une consigne d’entrée fixe.

Exemples de systèmes régulateurs :

On parle d’un système suiveur lorsque l’on désire que la sortie suive une consigne d’entrée qui varie au cours du temps et dont l’évolution n’est pas toujours connue à l’avance.

Exemples de systèmes suiveurs :

422) Différentes fonctions réalisées par un système asservi

Traduire la consigne en un signal utilisable par la commande  Utilisation d’interfaces H/M Produire une image de la sortie  Utilisation de capteurs

Comparer l'image de la consigne à l'image de la sortie  Utilisation de comparateurs Corriger et amplifier le signal de commande pour améliorer les performances (précision- rapidité-stabilité)  Utilisation de correcteurs + amplificateurs

423) Représentation par schéma-bloc d’un système asservi élémentaire

Notions de chaîne directe, chaîne de retour, comparateur, erreur et image de l’erreur

La structure complète d’un système asservi peut se représenter par le schéma-bloc fonctionnel suivant.

( )t e t'( ) s t'( )

   est l’image de l’erreur e t_r( )e t( )s t( )

Ainsi, un système asservi tient compte de l’effet de sa commande (si la consigne a été respectée ou non).

 Pour pouvoir être comparé, les signaux qui arrivent au comparateur doivent être de même nature ! Étuve thermique Régulateur de niveau d’eau

Missile à tête chercheuse Segway

Le capteur mesure en permanence la grandeur de sortie du système (vitesse, position, température…).

Cette image de la sortie est ensuite comparée à l’image de la consigne d’entrée issue de l’interface H/M, afin de permettre à la partie commande d’apporter les corrections nécessaires.

(15)

43) Simplifications de schémas-blocs élémentaires

Les schémas-blocs ne sont pas toujours de structure simple. Des manipulations permettent de réduire leur complexité et ainsi de déterminer la fonction de transfert globale.

En revanche leur simplification éloigne le modèle, de la réalité physique du système…

431) Fonction de Transfert de blocs en série

432) Fonction de Transfert de blocs en parallèle

433) Fonction de Transfert de blocs en Boucle Fermée : FTBF

Avec D(p) la fonction de transfert de la chaîne directe, R(p) la fonction de transfert de la chaîne de retour.

 

( ) ( ). ( )

( ) ( ). '( ) '( ) ( ) ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( ). ( ) ( ). '( )

S p D p p

S p D p E p S p

S p D p E p R p S p

S p R p D p D p E p

 

 

 

On obtient : ( ) ( )

( ) '( ) 1 ( ). ( )

S p D p

FTBF p

E p R p D p

 



Attention au signe dans le comparateur. Si :

NB : Ne pas confondre avec la simplification de blocs en

parallèle ci-dessus

(16)

Exemple de simplification de blocs en série, en parallèle et en boucle fermée :

On cherche à déterminer la fonction de transfert du système représenté par le schéma-bloc ci-dessous :

• Boucle fermée :

1( ) 1

1 4

1 1 4

H p

p p p





 



• Blocs en série :

2

1 2

( ) 4 2

2

( 4)( 2)

H p p p

p p

 

 

  

• Blocs en parallèle :

3

2

2 1

( ) ( 4)( 2)

8 8

( 4)( 2)

H p p p p

p p

p p p

 

 

  

  

• Blocs en série :

2 2

2

8 8 2 2( 8 8)

( ) ( 4)( 2) ( 2) ( 4)( 2)

p p p p

H p p p p p p p p

     

  

    

 Idéalement, il faudrait ensuite écrire cette fonction de transfert sous sa forme canonique !

434) Fonctions de Transfert de systèmes à n entrées, principe de superposition

On suppose que toutes les entrées sont nulles sauf une. On calcule alors la sortie en fonction de cette 1^ère entrée.

On fait la même chose pour toutes les autres entrées.

Puis, on détermine la sortie lorsque toutes les entrées sont présentes par le principe de superposition en additionnant toutes les réponses précédentes… (voir TD 04)

Exemple pour un système à 2 entrées : E1(p)

S(p)

?

E₂(p)



²

1

1 ( ) 0

( ) ( )

( )_E _p H p S p

E p _



1

2

2 ( ) 0

( ) ( )

( )_{E p} H p S p

E p _





1 1

( ) ( ). ( ) S p H p E p

quand E p₂( )0

2 2

( ) ( ). ( )

S p H p E p quand E p₁( )0



Avec les 2 entrées simultanément

(17)

44) Simplifications de schémas-blocs avec boucles imbriquées

L'objectif est d'isoler les boucles en déplaçant des blocs, et en faisant en sorte que 2 comparateurs soient côte à côte pour les permuter.

Ces manipulations ne sont à effectuer seulement si vous êtes en présence de boucles imbriquées.

Déplacement d’un bloc après un point de prélèvement

Déplacement d’un bloc avant un point de prélèvement

Déplacement d’un bloc avant un comparateur

Déplacement d’un bloc après un comparateur

Permutation de 2 sommateurs (lors du chevauchement de 2 boucles)

(18)

45) Détermination de l’erreur statique ou de l’erreur de poursuite

451) Fonction de Transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBO

On appelle par abus de langage la fonction de transfert ci- dessous, fonction de transfert en boucle ouverte:

( ) '( ) ( ). ( ) ( )

FTBO p S p R p D p

 p 



NB : En SPÉ, l’étude de la FTBO nous renseignera sur la stabilité du système.

Attention, la FTBO n’est pas la fonction de transfert du système s’il était en boucle ouverte, c’est-à-dire s’il n’y avait pas de chaine de retour avec un capteur !

452) Détermination de l'erreur statique ou de l’erreur de pousuite à partir de la fonction de transfert du système ^{( )} ^{( )}

( ) H p S p

 E p (lorsque celle-ci est déjà connue)

Pour cela on procède de la façon suivante :

 Calculer E p_r( ), l’erreur dans le domaine de Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ))

E pr E p S p E p E p H p E p  H p

 Calculer E p( ), la transformée de Laplace de l’entrée du système ( ) E0

E p  p si e t( )E₀(échelon) ou

( ) a2

E p p

 si e t( ) a t (rampe)

 Calculer e_r(), l’erreur en régime permanent dans le domaine temporel En utilisant le théorème de la valeur finale :

   

0 0

( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) (1 ( ))

r r r

t p p

e e t p E p p E p H p

  

       

Il ne faut pas hésiter à mettre (1H p( ))au même dénominateur lors du calcul de la limite.

453) Détermination de l'erreur statique ou de l’erreur de pousuite à partir de la fonction de transfert en Boucle Ouverte (lorsque ^{( )} ^{( )}

( )

H p S p



E p

n’est pas connue)

Pour cela on procède de la façon suivante :

 Calculer ( )p , l’image de l’erreur dans le domaine de Laplace

 

( ) '( ) '( )

( ) '( ) ( ). ( ). ( ) ( ). 1 ( ). ( ) '( )

p E p S p

p E p D p R p p

p D p R p E p

  

   

  

donc ( ) '( )

1 ( ). ( ) ( ) '( )

1 ( )

p E p

D p R p ou

p E p

FTBO p

 



 



Avec FTBO p( )D p R p( ) ( ) Fonction de Transfert en Boucle Ouverte.

 Calculer E p'( ), la transformée de Laplace de l’image de l’entrée du système '( ) E0

E p  p si e t'( )E₀(échelon) ou

'( ) a2

E p p

 si e t'( ) a t (rampe).

 Calculer  ( ), l’image de l’erreur en régime permanent dans le domaine temporel

En utilisant le théorème de la valeur finale :

 

0

( ) lim ( ) lim ( )

t t p p p

 

      

 En déduire e_r(), l’erreur dans le domaine temporel

En utilisant la relation de proportionnalité entre l’entrée, la sortie et leurs images en entrée du comparateur.

Attention : il y a souvent une confusion entre l’erreur e t_r( ) et son image en sortie du comparateur ( )t . De même l’image de l’entrée est souvent appelée « entrée ».

Pour les signes, utiliser la même logique que pour les signes de la FTBF

(19)

5) Comportement temporel de SLCI particuliers (étude du régime transitoire) .

51) Sollicitations test permettant d’évaluer les performances

Dans le cas général, les sollicitations d’entrée ont une forme quelconque et inconnue, mais afin d’étudier les performances des systèmes (précision, rapidité, stabilité), on étudie leur réponse à des sollicitations (ou entrées) types. Ces entrées seront causales, c’est à dire nulles pour t < 0.

Impulsion de Dirac (t) Échelon a.u(t) Rampe a.t.u(t)

( ) ( ) e t  t

t T0

0

1 T

il s’agit d’une impulsion d’amplitude 1T₀ , pendant une durée très brève T₀

( ) . ( ) e t a u t

t a

( ) . . ( ) e t a t u t

t

pour t < 0 : e t( )0 pour 0  t  T0 : e t( )1T₀

pour t > T0 : e t( )0

pour t < 0 : e t( )0 pour t  0 : e t( )a

où a constante

pour t < 0 : e t( )0 pour t  0 : e t( )a t. où a constante on note e t( ) ( )t on note e t( )a u t. ( ) on note e t( )a t u t. . ( )

 

^{( )} ¹

L

^t 

L 

^{a u t}^{. ( )}



^a

 p

L 

^{a t u t}^{. . ( )}



^a₂

p



Remarque : "réponse indicielle = réponse à un échelon lorsque l'amplitude a vaut 1".

(20)

52) Comportement temporel des systèmes proportionnels (ou de gain pur) : K.

521) Définition.

Un système est dit à action proportionnelle ou de gain pur si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : ( ) ( )

( )

H p S p K

E p  ^où

K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature)

522) Réponse à un échelon Ec.u(t).

( ) _c. ( )

e t E u t ^L ( ) E^c E p  p Ainsi ( ) ( ). ( ) .E^c

S p H p E p K

  p

La réponse temporelle a donc pour expression : s t( )K E u t. _c. ( )

53) Comportement temporel des systèmes dérivateurs : K.p.

531) Définition.

Un système est dit dérivateur si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

( ) ( ) .

( ) H p S p K p

 E p  ^où

K : gain statique du système (en

s^¹

si e(t) et s(t) de même nature)

532) Réponse à une rampe a.t.u(t).

e(t)a.t.u(t) ^L

2

E(p) a p



Ainsi

2

( ) ( ). ( ) . . a a K. S p H p E p K p

p p

  

La réponse temporelle a donc pour expression : s t( )a K u t. . ( )

54) Comportement temporel des systèmes intégrateurs : K/p.

541) Définition.

Un système est dit intégrateur si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : ( )

( ) ( )

S p K

H p  E p  p ^où

K : gain statique du système (en s si e(t) et s(t) de même nature)

542) Réponse à un échelon Ec.u(t).

( ) _c. ( )

e t E u t ^L ( ) E^c E p  p Ainsi

2

( ) ( ). ( ) K.E^c K E. ^c S p H p E p

p p p

  

La réponse temporelle a donc pour expression : s t( )K E t u t. _c. . ( )

e(t)=Ec.u(t)

t Sortie ou réponse s(t)

0

K.Ec

Représentation pour K < 1 :

e(t)=a.t.u(t)

0

a.K

e(t)=Ec.u(t)

de pente K.Ec

0

(21)

55) Comportement temporel des systèmes du 1

^er

ordre :

1 .

K

 p

551) Définition.

Un système est dit du 1^er ordre si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : ( )

( ) ( ) 1 .

S p K

H p E p  p

 

où

K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature)

 : constante de temps (en s)

552) Réponse à une impulsion a.(t).

( ) . ( )

e t  a t ^L E p( )a.1 et donc ( ) ( ). ( ) .

1 .

S p H p E p K a

  p

 

Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +).

Ordonnée en  :

 

0 0

( ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( ) 0

t p p

s s t p s t p S p

    

     d’où s(  ) 0

e(t)= a.  (t)

t Sortie ou

réponse s(t)

 .

a K



Tangente à l’origine

0

NB : Calcul à titre indicatif de la réponse temporelle.

( ) . .

1 . 1

.

K a K

S p a

p p

 

   

 La réponse temporelle a donc pour expression : .

( ) . ( )

a K t

s t e^^ u t

 

 

  

 

La tangente à l’origine coupe l’axe des abscisses en t  

(22)

553) Réponse à un échelon Ec.u(t).

NB : Si l’amplitude Ec vaut 1, la réponse est appelée réponse indicielle.

( ) _c. ( )

e t E u t ^L ( ) E^c

E p  p et donc ( ) ( ). ( ) . (1 . )

Ec

S p H p E p K

p p

 

 

Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +).

 

0 0

( ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( ) . c

t p p

s s t p s t p S p K E

    

     d’où s(  ) K E. _c

Tangente à l’origine : y s(0 ) ^ s'(0 ).(t^ 0 )^

Or

 

²

0

'(0 ) lim '( ) lim .

L

'( ) lim . ( ) (0 ) lim ( ) . ^c

t p p p

s ^ s t p s t p pS p s ^ p S p K E

      

       

NB : Calcul de la réponse temporelle pour pouvoir déterminer 2 valeurs particulières : 63% et 95% de s(+).

. ? ? . .

( ) .

1 1

(1 . ) 1

. .

c c c c

E K E K E K E

S p K

p p p p

p p

      

       

(décomposition en éléments simples)

La réponse temporelle a donc pour expression : ( ) . . . . ( )

t

c c

s t K E e^^ K E u t

 

 

  

 

 

Représentation pour K < 1 : s() :

pour t  , s( )  ( e^¹1).K.E_c  s( ) 0,63.K.E_c  s( ) 63%.s( )

Temps de réponse à 5% (défini toujours pour une entrée en échelon)

On cherche tr_5% tel que s(tr5%)95%.s( )

5%

. . . 0,95. .

tr

c c c

K E e^ ^ K E K E

  

5%

1 0,95

tr

e^ ^

  

5% ln 0,05

tr 



donc tr_5%  3.

Bilan.

Le gain statique K caractérise le comportement du système en régime permanent : s(  ) K.E_c . La constante de temps  caractérise le comportement du système en régime transitoire (au bout d’une fois la constante de temps, le système arrive à 63% de sa valeur finale) : s( ) 63%.s( ). Le temps de réponse à 5% caractérise la fin du régime transitoire : t_5%  3. .

La tangente à l’origine coupe l’asymptote finale y = K.Ec en t  

e(t)=Ec.u(t)

t

Sortie ou réponse s(t)



Tangente à l’origine

0 3 

K.Ec 0,95.K.Ec

0,63.K.Ec

d’où K.E^c y = .t



(23)

554) Réponse à une rampe a.t.u(t).

e(t)a.t.u(t) ^L

2

E(p) a p

 et donc

( ) ( ). ( ) . 2

(1 . )

K a

S p H p E p

p p

 

 

Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, asymptote en +).

 

0 0

( ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( )

t p p

s s t p s t p S p

    

      d’où s(   )

Pente de la tangente à l’origine :

Or

 

²

0

'(0 ) lim '( ) lim .

L

'( ) lim . ( ) (0 ) lim ( ) 0

t p p p

s ^ s t p s t p pS p s ^ p S p

      

      

NB : Calcul de la réponse temporelle pour pouvoir réaliser une étude asymptotique en +.

2 2 2 2

. ? ? ? a.K. a.K -a.K.

( ) .

1 1

(1 . ) . 1 . p p p p p p

K a a K

S p p p p p

 

       

     

(décomposition en éléments simples)

La réponse temporelle a donc pour expression :

t

s(t) a.K. .e a.K.t a.K. .u(t)



  

 

    

 

 

Étude asymptotique :

Lorsque t  , s(t)a.K.ta.K. L’asymptote est donc y t( )a K t. (  )

Cette asymptote a donc une pente a.K, et elle coupe l’axe des abscisses en t  .

Représentation pour K < 1 :

Remarques :

 pour K<1 l’erreur entre l’entrée et la sortie augmente.

 pour K=1 le système ne rejoint jamais la consigne, cependant sa variation est parallèle à l’entrée retardée de une fois la constante de temps .

 pour K>1 l’erreur entre l’entrée et la sortie diminue, s’annule, puis augmente.

e(t)=a.t.u(t)

t

Sortie ou réponse s(t)

 0

Asymptote de pente a.K Droite de pente a

Tangente à l’origine de pente nulle

La tangente à l’origine a donc une pente nulle

(droite horizontale)