CI-2 : Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

CI-2-0 : Machines à Courant Continu

L

C

(D

), 2020 - 2021

Germain Gondor

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Système d’ouverture et de fermeture de portes de

tramway

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

Les grandes métropoles répondent au problème du déplacement des populations par le développement des transports en commun. Dans ce contexte, il est possible d’augmenter le débit des passagers en augmentant la vitesse de déplacement et en diminuant les temps d’arrêt aux gares. Ce dernier point implique que les dispositifs d’accès des passagers aux voitures soient optimisés.

Le support de ce Cours-Td est le système d’ouverture et de fermeture

des portes de voitures développé par la société FAIVELEY qui équipe

Système d’ouverture et de fermeture de portes de

tramway

Moteur à courant continu

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu Valeurs numériques Principe de fonctionnement

Technologie du moteur à courant continu Equations du modèle

Schéma bloc

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Moteur à courant continu

Un moteur électrique est utilisé pour convertir l’énergie électrique du réseau en énergie mécanique. On considérera pour l’étude, que l’inertie sur l’axe moteur vaut 0, 01 Kg.m ² .

On considère alors les valeurs numériques suivantes pour le moteur:

R=20 Ω L=0,1 H K e =1,2 V.(rad.s ⁻¹ ) ⁻¹

K _c =1,2 Nm.A ⁻¹

2

Moteur à courant continu Principe de fonctionnement

Principe de fonctionnement

Moteur à courant continu

Technologie du moteur à courant continu

Moteur à courant continu Technologie du moteur à courant continu

1

Stator

2

Inducteur

3

Bobines de l’inducteur

4

Rotor

5

Arbre

6

Champ magnétique

7

Bobinage Induit

8

Conducteur de l’induit

9

Collecteur

10

Porte balai

Technologie du moteur à courant continu

Equations du modèle

Ecrivons les modèles de connaissances pour déterminer les relations

entre la tension d’alimentation u(t), l’intensité i(t), la vitesse de

rotation ω(t) et les couples moteur C _m (t) et résistant C _r (t).

Moteur à courant continu Equations du modèle

Equation électrique

Pour alimenter le moteur on applique à ses bornes une tension u(t).

Le moteur peut être modélisé par une résistance R en série avec une inductance L et une force électromotrice induite e(t).

u(t) M

i(t) >

⇒

R e(t) L u(t )

i(t) >

Équation mécanique

L’application du moment dynamique sur l’axe moteur soumis aux actions mécaniques du couple moteur C _m et du couple résistant C _r conduit à

J . dω

dt = C m (t) − C r (t)

Moteur à courant continu Equations du modèle

Couple moteur

Couplage électromoteur

L’action mécanique de la force de Laplace ( # »

dF = i(t). #»

dl ∧ #»

B et

d φ = B.dS) sur le rotor donne la relation entre le couple moteur et

l’intensité C m (t) = K c .i(t)

Moteur à courant continu Equations du modèle

Couple moteur

Force électromagnétique induite

La loi de Lenz conduit à la relation entre la vitesse de rotation et le

force électromagnétique induite e(t) = K _e .ω(t)

Moteur à courant continu Equations du modèle

Flux magnétique à travers une spire

Force électromotrice induite

Moteur à courant continu Schéma bloc

Schéma bloc

Afin de trouver les lois d’entrées-sorties, passons les équations

temporelle dans le domaine symbolique de Laplace

Construction des blocs

Le modèle de connaissance permet d’obtenir 4 équations pour le moteur à courant continu:

u (t) = R.i(t) + L. di

dt + e(t) ⇒ J. dω

dt = C

(t) − C

(t) ⇒

C

(t) = K

.i(t) ⇒

e(t) = K

.ω(t) ⇒

Moteur à courant continu Schéma bloc

Construction des blocs

Le modèle de connaissance permet d’obtenir 4 équations pour le moteur à courant continu:

u (t) = R.i(t) + L. di

dt + e(t) ⇒ U(p) = R.I(p) + L.p.I(p) + E(p) J. dω

dt = C

(t) − C

(t) ⇒ J.p.Ω(p) = C

(p) − C

(p)

C

(t) = K

.i(t) ⇒ C

(p) = K

.I(p)

e(t) = K

.ω(t) ⇒ E(p) = K

.Ω(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc:

K _c K _e

+ −

U(p) 1

R + L.p

I(p)

E(p)

+ − C m (p)

C _r (p)

1 J .p

Ω(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc:

K _c

I(p) C m (p)

K _e

Ω(p) E(p)

+ −

U(p) 1

R + L.p

I(p)

E(p)

+ − C m (p)

C _r (p)

1 J .p

Ω(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc:

K _c

I(p) C m (p)

K _e

Ω(p) E(p)

+ − R + L.p

E(p)

+ −

C m (p) 1

J .p

Ω(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc:

K _c

I(p) C m (p)

K _e

Ω(p) E(p)

+ −

U(p) 1

R + L.p

I(p)

E (p)

+ − C m (p)

C _r (p)

1 J .p

Ω(p)

Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc:

K _c

I(p) C m (p)

K _e

Ω(p) E(p)

+ −

U(p) 1

R + L.p

I(p)

E (p)

+ − C _m (p)

C _r (p)

1 J .p

Ω(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Schéma bloc du moteur à courant continu

L’assemblage des modèles de connaissances et de comportements (ici uniquement de connaissances) permet de construire le schéma bloc complet:

+ −

U(p) 1

R + L.p I(p) K _c − C m (p) +

C _r (p)

J.p 1

Ω(p)

K e

Moteur à courant continu Schéma bloc

Fonction de transfert

Il est possible de déterminer la fonction de transfert à partir des

équations mais on peut également déplacer les blocs pour se ramener à un schéma bloc élémentaire. De plus à partir du principe de

superposition :

+−

U(p) 1

R+L.p I(p) K_c − + C_m(p)

Cr(p) J.p1

Ω(p)

Ke

+−

U(p) 1

R+L.p Kc

I(p) 1

J.p Cm(p) Ω₁(p)

K_e

− 1

R+L.p Kc

I(p) −

+

Cm(p) 1

J.p Ω₂(p)

K_e

avec Ω(p) = Ω ₁ (p) + Ω ₂ (p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

Fonction de transfert

Il est possible de déterminer la fonction de transfert à partir des

équations mais on peut également déplacer les blocs pour se ramener à un schéma bloc élémentaire. De plus à partir du principe de

superposition :

+−

U(p) 1

R+L.p I(p) K_c − + C_m(p)

Cr(p) J.p1

Ω(p)

Ke

+−

U(p) 1

R+L.p Kc

I(p) 1

J.p Cm(p) Ω₁(p)

− 1

R+L.p Kc

I(p) −

+ Cm(p) C_r(p)

J.p1 Ω₂(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

+−

U(p) 1

R+L.p Kc

I(p) 1

J.p Cm(p) Ω₁(p)

K_e

− 1

R+L.p Kc

I(p) −

Cm(p)+ C_r(p)

J.p1 Ω₂(p)

K_e

+−

U(p) 1

R+L.p.Kc J.p

Ω₁(p)

Ke

+−

−Cr(p) 1 J.p

Ω₂(p)

Ke. 1 R+L.p.Kc

1+ Kc

J.p.(R+L.p).Ke 1+ 1

J.p.Ke.K_c R+L.p

D’après le théorème de superposition :

Ω(p) =

K_c J.p.(R+L.p)

1+ Kc

J.p.(R+L.p).K_e.U(p)− 1 J.p 1+ 1

J.p.Ke.K_c R+L.p

.Cr(p)

Moteur à courant continu Schéma bloc

+−

U(p) 1

R+L.p Kc

I(p) 1

J.p Cm(p) Ω₁(p)

K_e

− 1

R+L.p Kc

I(p) −

Cm(p)+ C_r(p)

J.p1 Ω₂(p)

K_e

+−

U(p) 1

R+L.p.Kc J.p

Ω₁(p)

Ke

+−

−Cr(p) 1 J.p

Ω₂(p)

Ke. 1 R+L.p.Kc

K_c J.p.(R+L.p)

1+ Kc

J.p.(R+L.p).Ke

U(p) Ω₁(p)

1 J.p 1+ 1

J.p.Ke.K_c R+L.p

−Cr(p) Ω₂(p)

D’après le théorème de superposition :

Ω(p) =

K_c J.p.(R+L.p)

1+ Kc

J.p.(R+L.p).K_e.U(p)− 1 J.p 1+ 1

J.p.Ke.K_c R+L.p

.Cr(p)

+−

U(p) 1

R+L.p Kc

I(p) 1

J.p Cm(p) Ω₁(p)

K_e

− 1

R+L.p Kc

I(p) −

Cm(p)+ C_r(p)

J.p1 Ω₂(p)

K_e

+−

U(p) 1

R+L.p.Kc J.p

Ω₁(p)

Ke

+−

−Cr(p) 1 J.p

Ω₂(p)

Ke. 1 R+L.p.Kc

K_c J.p.(R+L.p)

1+ Kc

J.p.(R+L.p).Ke

U(p) Ω₁(p)

1 J.p 1+ 1

J.p.Ke.K_c R+L.p

−Cr(p) Ω₂(p)

D’après le théorème de superposition :

K_c J.p.(R L.p)

1

Moteur à courant continu Schéma bloc

Après simplifications:

Ω(p) = K _c

J .p.(R + L.p) + K _e .K c

.U(p) − R + L.p J .p(R + L.p) + K _e .K c

.C _r (p)

ou bien:

Ω(p) =

1 K

1 + J.R

K

.K

.p + J .L K

.K

p

.U(p) − R

K

.K

. 1 + L R .p 1 + J .R

K

.K

.p + J .L K

.K

.p

.C

(p)

Sommaire

1 Système d’ouverture et de fermeture de portes de tramway

2 Moteur à courant continu

3 Réponses indicielle et fréquentielle

Pulsation propre et coefficient d’amortissement Réponse temporelle à un échelon

Réponse fréquentielle

Réponses indicielle et fréquentielle Pulsation propre et coefficient d’amortissement

Pulsation propre et coefficient d’amortissement

D’après l’équation du moteur à courant continue établie

précédemment, le système est du second ordre. Déterminons alors par identification les paramètres caractéristiques ξ et ω ₀ :

1 + J .R K e .K c

.p + J .L K e .K c

.p ² = 1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

⇒ ω ₀ =

r K _e .K _c

J.L et ξ = R 2

s J L.K e .K c

ω ξ 2.65

Réponse temporelle à un échelon

On impose un échelon de tension u(t) = U ₀ avec U ₀ = 100 V. Par transformée de Laplace, U(p) = U ₀

p

Ω(p) =

1 K

1 + J.R K

.K

.p + J.L K

.K

.p

U

p = K.U

p.



 

 

 1 + 2.ξ ω

.p + p

ω



 

 



ω(t) = K .U

1 + 1 τ

− τ

τ

.e

− τ

.e

!

avec

τ = 1

ω = − 1 = 1 et τ = 1

ω = 1 = 1

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse temporelle à un échelon

Réponse temporelle sans perturbation

1 2 3 4 ω(t)

10

20

30

40

50

60

70

80

90 ω(t)

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

Réponse fréquentielle

Soit la fonction de transfert H(p) définie par:

H(p) = Ω(p) U(p) =

1 K e

1 + J.R K e .K c

.p + J.L K e .K c

.p ²

= K

(1 + τ ₁ .p)(1 + τ ₂ .p)

Par définition du gain, G _B (jω) vaut:

G _B (H(jω)) = 20. log H(j.ω)

= 20. log(K ) − 20. log(|1 + j.τ 1 .ω|) − 20 log(|1 + j.τ 2 .ω|)

= 20. log(K ) − 20. log(

q

1 + (τ ₁ .ω) ² ) − 20 log(

q

1 + (τ ₂ .ω) ² )

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

En ce qui concerne la phase:

φ ω (H(jω)) = arctan Im(H(j.ω)) Re(H(jω))

!

= − arctan (τ 1 .ω) − arctan (τ 2 .ω)

G _B (H(j.ω)) = 20. log(K ) − 20. log(

q

1 + (τ ₁ .ω) ² ) − 20. log(

q

1 + (τ ₂ .ω) ² )

φ ω (H(j.ω)) = − arctan (τ 1 .ω) − arctan (τ 2 .ω)

Trois cas se présentent suivant les valeurs de ω

• ωω₁ω₂

G_B(H(j.ω)) ' 20.log(K) φ_ω(H(j.ω)) = 0

• ω₁ωω₂

G_B(H(j.ω)) ' 20.log K

τ₁

−20.log(ω) φω(H(j.ω)) = −π 2

• ω₂ω

G_B(H(j.ω)) ' 20.log K

τ₁.τ₂

−40.log(ω) φ_ω(H(j.ω)) = −π

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω ω ₁

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₂

ω ₀

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω 0 ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₂

ω 0

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

Réponses indicielle et fréquentielle Réponse fréquentielle

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-180 -90 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

φ(ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-60 -40 -20 0

1 2 3 4 5 6 7 89 10 2 3 4 5 6 7 89 10

2 3 4 5 6 7 89 10

G dB (ω)

ω

ω ₁ ω ₀ ω ₂

-90 φ(ω) 0

ω ₁ ω ₀ ω ₂