Correction des systèmes linéaires continus asservis (2)

Automatique

Correction des systèmes linéaires continus asservis (2)

UV Automatique

ASI 3

Cours 7

Automatique

Contenu

q Exemples de synthèse de correcteurs dans le domaine fréquentiel

u

Correcteur PI et retard de phase

u

Correcteur à avance de phase

u

Correcteur PID

q Méthodes empiriques de réglage des correcteurs

u

Méthode de Ziegler-Nichols

u

Méthode de Broïda

q

Techniques de correction parallèle et par anticipation

Automatique

Exemple : synthèse d'un correcteur PI

q

Système asservi

q

Cahier de charges

q

Eléments de réglage

H(s) y

y_c

+ - ε

C(s) ^{H(s) =}

(

^1+KTs

)

²

? ) (s = C

=1 T

§

Erreur statique nulle

§

Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ω_c0],

Système non corrigé est de classe 0 ⇒ introduction d'un intégrateur en BO ⇒ utilisation d'un correcteur PI

Pour satisfaire m_ϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4

Automatique

Exemple : synthèse d'un correcteur PI

q

Réponses fréquentielles

Le correcteur PI est placé de façon à ne pas modifier sensiblement le réglage de la marge de phase

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-100 -50 0 50

PI H_{B O N C}

A m plitude (dB )

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-180 -120 -60 0

Phase (°)

m

_ϕ

=60°

PI

H

_BONC

Réglage de PI

10 1 _c0 Ti

≤ ω

Automatique

Exemple : synthèse d'un correcteur PI

q

Réponse fréquentielle du système corrigé

§

Le correcteur PI a modifié légèrement le réglage de la

marge de phase

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-100 -50 0 50

H

_BOC

H

_BONC

Amplitude (dB)

§

Le diagramme de gain de H_BOC a une pente de –1 aux basses

fréquence ⇒ annulation erreur statique

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-200 -150 -100 -50 0

Phase (°)

H

_BONC

H

_BOC

Automatique

Exemple : synthèse d'un correcteur PI

q

Réponse temporelle du système asservi

§

Le correcteur PI a annulé l'erreur statique

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

A v e c c o rre c t e u r P I S a n s c o rre c t e u r P I

εp

§

La réponse est lente pour atteindre la valeur de consigne.

Pour y remédier, on baisse T_i mais cela modifiera le réglage de la marge de phase

Automatique

Exemple : correcteur à retard de phase

q

Cahier des charges

q

Réglage du correcteur à retard de phase

Reprenons l'exemple précédent

§

Erreur statique de 5%

§

Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ω_c0],

§

Pour satisfaire m_ϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4

§

Erreur statique pour K=4 : 20% 1

1 =

= +

p K ε

§

FT du correcteur :

s bT

s b T

s C

c

+ c

= + 1 ) 1

(

)2

1 )(

1 (

1

Ts s

bT

s Kb T

H

c

BOC + c +

= +

⇒

75 . 4

% 1 5

1 = ⇒ =

= +

⇒ b

p Kb ε

Automatique

Exemple : correcteur à retard de phase (RP)

q

Réponses fréquentielles

Le correcteur à RP est placé de façon à ne pas modifier le réglage de la marge de phase

Réglage du RP

10^-2 10^-1 10 ⁰ 10 ¹ 10²

-80 -60 -40 -20 0 20

RP

H_BONC

Amplitude (dB)

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰ 10 ¹ 10 ²

-180 -120 -60 0

Phase (°)

m_ϕ=60°

RP

H_BONC 10

1 _c0

Tc

≤ ω

Automatique

Exemple : correcteur à retard de phase (RP)

q

Réponse fréquentielle du système corrigé

10^-2 10^-1 10⁰ 10 ¹ 10²

-80 -60 -40 -20 0 20 40

H_BOC H_BONC

Amplitude (dB)

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰ 10¹ 10 ²

-200 -150 -100 -50 0

Phase (°)

H_BONC H_BOC

§

Légère modification de la marge de phase

§

Le diagramme de gain de H_BOC a subi, aux

basses fréquences, une translation de 20log₁₀b par rapport à celui de H_BONC

Automatique

Exemple : correcteur à retard de phase (RP)

q

Réponse temporelle du système asservi

§

Le correcteur à RP a diminué l'erreur statique

§

La réponse est un peu lente pour atteindre la valeur de consigne

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Avec correcteur PI Sans correcteur PI

εp

εpc

Automatique

Correcteur à avance de phase

) 1

) (

( s s

s K H_BONC

τ

= +

Ts K aTs

s

C _c

++

= 1

) 1

( H_BOC(s) = H_BONC(s)C(s)

10^-2 10^-1 10⁰ 10² 10³

-100 -50 0 50 100

0

ωc

H_BONC C

Amplitude (dB)

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰ 10 ² 10 ³

-200 -150 -100 -50 0 50

0

ωc

Phase (°)

m_ϕ

ϕc,max

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³ -100

-50 0 50 100

H_BOC

Amplitude (dB)

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³ -180

-160 -140 -120 -100 -80

m_ϕ

Phase (°)

Automatique

Exemple : correcteur PID

q

Système asservi

q

Cahier de charges

q

Analyse du système à asservir

H(s) y

y_c

+ - ε

C(s) _{2 2}

) 2 (

n ns

s s K

H = + ξω +ω

300

, rad/s 3

, 2 .

0 = =

= ω_n K

ξ

§

Erreur statique nulle

§

Dépassement de 10%

§

Temps de montée de 0.277s

% 53 2

.

0 ⇒ _% =

= D

ξ

Le système à asservir a un comportement très oscillatoire

Automatique

Exemple : correcteur PID

q

Réponse fréquentielle du système à asservir

Frequency (rad/sec)

Phase (deg);

Bode Diagrams

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

50 Gm = Inf, Pm=2.303° (at 17.4 rad/sec)

10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Magnitude (dB)

Marge de gain satisfaisante mais marge de phase très petite

Automatique

Exemple : correcteur PID

q

Eléments de réglage du correcteur

s T

s T s

K T s

C

i

d

c i '

'

' (1 ' )(1 )

)

( = + +

Formules d'approximation

§

Compte tenu du cahier des charges (erreur statique nulle, dépassement de 10%) et des caractéristiques du système (D=53%), on utilise un PID

§

FT du correcteur

§

Traduction du cahier de charges

rad/s 10

77 . 2 6

.

0 ⇒ _, = ⇒ _, =

= _{n BF m n BF}

BF ω t ω

ξ

6 . 0

%

% =10 ⇒ _BF =

DBF ξ

 ⇒

 

 + +

= T s

s K T

s

C _d

i c

1 1 )

(

°

=

⇒

=100 _ϕ 60

ϕ ξ m

m _BF ω_c0 =ω_n,BF =10rad/s

Automatique

Exemple : correcteur PID

q

Eléments de réglage du correcteur

s T

s T s

T s

s K K s

H s C s

H

i

d i

n n

c

BOC '

' '

2 2

' (1 )(1 )

) 2 ( ) ( )

( + +

+

= +

= ξω ω

§

FT du système corrigé en BO

2 . 0 1

) (

)

( j ₀ H j ₀ = ⇒ K_c^' = C ω_c ω_c

s 10 1

1 _{0 '}

' ≤ ^c ⇒ _i =

i

T T

ω

) 3 (

) arctan(

) arctan(

2 ⁰

0 '

0 ' ω ϕ ω π

π ω

ϕ =π − + _c T_i + _c T_d + _{BONC c} =

m

s 19 .

' = 0 Td

§

Paramètres du correcteur

Automatique

Exemple : correcteur PID

q

Réponses fréquentielle et temporelle du système corrigé

-40 -20 0 20 40 60 80

Gm = Inf, Pm=60.085° (at 10 rad/sec)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-200 -150 -100 -50

Frequency (rad/sec)

Phase (deg);

Bode Diagrams

Magnitude (dB)

0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Automatique

Méthode de Ziegler-Nichols

q

Principe

q

Approche 1 : système stable en boucle ouverte

Détermination du réglage d'une correction P, PI, PID associée à un système sans connaissance précise de la FT du système

Si le système admet une réponse indicielle apériodique, on caractérise le système par un modèle simplifié identifié ci-dessous

Tangente au point d’inflexion

T_r

α L

E0

M

s T_r

s e s a

H( ) = ⁻

Intégrateur avec retard

) tan(α

= a

T_r et a s'obtiennent à partir du tracé de la tangente au point d'inflexion M

Automatique

Méthode de Ziegler-Nichols

q

Approche 2 : système instable en boucle ouverte

On étudie le comportement du système en boucle fermé avec un correcteur proportionnel de gain k.

On augmente le gain k jusqu'à l'obtention d'oscillations entretenues : c'est le phénomène de pompage

Processus

^y

E + - ε

k

Tosc

Phénomène de pompage Schéma d'asservissement

Le phénomène de pompage est caractérisé par le gain limite k_osc et la période des oscillations T_osc.

Automatique

Méthode de Ziegler-Nichols

q

Réglage des paramètres des correcteurs

A partir des paramètres identifiés précédemment, Ziegler et Nichols ont proposé des réglages qui assurent un dépassement de 30 à 50%

de la réponse indicielle du système en BF

Essai de pompage (k_osc, T_osc)

Essai indiciel en BO (a, T_r)

Correcteurs C(s)

Kc

s T

s K T

i c i

+ 1



 + +T s s

K T _d

i c

1 1

PI

PID

P K^c = aT1_r

osc

c k

K = 0.5

r

c aT

K = 0.9 T_i = 3.3T_r K^c = 0.45k^osc

osc

i T

T = 0.83

osc

c k

K = 0.6

osc

i T

T = 0.5

osc

d T

T = 0.125

r

c aT

K = 1.2

r

i T

T = 2 T_d = 0.5T_r

Automatique

Autres méthodes de réglage simplifié

q

Réglage type d'un système intégrateur avec retard

^{e Trs}

s s a

H( ) = ⁻

PID mixte PID série

PI P

Correcteur Paramètres

Kc

Ti

Td

aTr

8 . 0

aTr

8 . 0

aTr

85 . 0

aTr

9 . 0

Tr

5 4.8Tr

Tr

4 . 0

Tr

2 . 5

Tr

4 . 0

§

PID série

§

PID mixte



 + +T s s

K T _d

i c

1 1

( )( )

s T

s T s

K T

i

d c i

+ + 1 1

Automatique

Autres méthodes de réglage simplifié

q

Réglage type d'un système 1

^er

ordre avec retard

s s ae

H

s T_r

τ

= +⁻ ) 1

(

Si le système admet une réponse indicielle apériodique en BO, on identifie un modèle du système sous la forme d'un 1^er ordre avec retard

Méthode de Broïda

s s ae

H

s T_r

τ

= +⁻ ) 1

(

y_∞

E_∞

0.28y_∞ 0.4y_∞

t₁ t₂

∞

= ∞

E a y

Paramètres du modèle

(

_{2 1}

)

5 .

5 t − t

= τ

2 1 1.8 8

.

2 t t

T_r = −

Automatique

Autres méthodes de réglage simplifié

q

Réglage type d'un système 1

^er

ordre avec retard

PID mixte PID série

PI P

Correcteur Paramètres

Kc

Ti

Td

aTr

τ 8 . 0

aTr

τ 85 .

0 

 + 0.4 2

. 1

1

Tr

a τ

τ τ

Tr

4 .

0 τ

τ

5 . + 2

r r

T T

§

PID série

§

PID mixte



 + +T s s

K T _d

i c

1 1

( )( )

s T

s T s

K T

i

d c i

+ + 1 1

s s ae

H

s T_r

τ

= +⁻ ) 1

(

aTr

τ 8 . 0

Tr

4 . + 0 τ

Automatique

Correction série : imbrication des correcteurs

q

Intérêts et réglage

H₁(s) y_s

y_c + - ε u

d

+ -

C₁(s) C₂(s) H₂(s)

G₁(s)

d

G₂(s)

Boucle

secondaire

Boucle primaire Correcteur

secondaire Correcteur

primaire

§

Boucles internes rapides réalisant des régulations partielles

§

Variables internes du processus bien asservies

§

Elimination rapide des perturbations internes

§

Réglage de la boucle interne en premier (rapidité, bande passante)

§

Réglage de la boucle externe ensuite

Automatique

Imbrication des correcteurs : exemples

q

Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu

q

Régulation de position (table traçante, enregistreur, …)

ωc + - ε u

+ - Régulateur

de vitesse

MCC

Dynamo tachymétrique

Régulateur de courant

I ω

Saturation

θc + - ε u

+ -

Régulateur

de vitesse MCC

Dynamo tachymétriqu

e

Régulateur de courant

I ω

Saturation

Régulateur de position

+ -

Potentiomètre

k/s θ

Automatique

Correction parallèle

q

Schéma de l'asservissement

H₃(s)

G(s)

H₂(s) y_s

y_c

+ - ε

d + + + -

C(s) H₁(s)

) ( ) ) (

( )

( 1

) ) (

( )

( ₃

2

1 2 H s G s

s H s C

s s H

H s

H_BOC

= +

Boucle interne Boucle ouverte corrigée

) ( )

( 1

) (

2 2

s H s C

s H +

Intérêt

§

rendre la boucle interne plus rapide et donc le système corrigé plus rapide

Automatique

Correction parallèle : exemple

q

Correction par retour tachymétrique

y_c y

+ - ε

+ -

λ K_c

s T K

m

+ m

1

ω θ

Génératrice tachymétrique

s µ

Moteur

Principe : réinjecter à l'entrée du moteur une tension fournie par la génératrice et fonction de la vitesse de rotation

Asservissement de position par un moteur à courant continu

Boucle interne :

Boucle ouverte corrigée : s T K

m m

' '

1+

m m m

K K K

λ

= + 1

' m

m m

K T T

λ

= + 1

avec ' et

En jouant sur λ, on augmente la rapidité de la boucle interne ) µ

1 ) (

( '

'

s T s

K K s

H

m c m

BOC = +

Automatique

Correction parallèle : exemple

q

Application numérique

Le système sans correction tachymétrique (λ=0) a une marge de phase m_ϕ = 45°

1 0^-2 1 0^-1 1 0⁰ 1 0¹ 1 0²

-1 0 0 -5 0 0

5 0 A m p litu d e (dB )

ωc0

ωc0

1 0^-2 1 0^-1 1 0⁰ 1 0¹ 1 0²

-1 8 0 -1 3 5 -9 0

λ= 0

P h a s e (°)

λ= 1 λ= 5

m_ϕ= 4 5 °

Pour λ>0 le système corrigé présente une marge de supérieure à 45°.

Si on veut conserver la valeur de 45°, on joue sur K_c.

La bande passante est alors élargie ⇒ système plus rapide en BF

Automatique

Correction par anticipation

q

Schéma de l'asservissement

q

Expression de la sortie du système asservi

H(s)

G(s)

H_a(s) y_s

y_c + - ε u

y

d

+ + F(s) +

W_c(s)

H₁(s)

W_d (s)

− −

avec

) ) (

( ) ( )

( 1

) ( )

( )

) ( ) (

( ) ( )

( 1

) ( )

( )

( )

) ( (

2 1

2 2

1

2 2

1 D s

s G s H s H

s H s W s

s F s Y

G s H s H

s H s W s

H s s H

Y_s ^c _c ^d

+ + − +

= −

) ( ) ( )

2(s H s H s

H = _a

Automatique

Correction par anticipation

q

Compensation de la perturbation

q

Anticipation de la consigne

Si la perturbation est mesurable, elle est totalement éliminée en choisissant le correcteur W_d tel que

⇒

=

− ( ) ( ) 0 )

(s W s H₂ s

F _d

) (

) ) (

(

2 s H

s s F

W_d =

Le but de l'asservissement est que la sortie y_s(t) suive la consigne y_c(t) c'est-à-dire y_s(t) = y_s(t) ∀ t . Si d(t)=0 on a :

) ( ) ( ) 1

(

2 s G s s H

W_c = −

⇒

= ( ) )

(s Y s Y_{s c}





=

−

=

1 ) ( )

( )

( )

(

0 ) ( ) ( )

(

2 2

1

2 1

s H s W s

H s H

s G s H s H

c

) ) (

( ) ( )

( 1

) ( )

( )

) ( ) (

( ) ( )

( 1

) ( )

( )

( )

) ( (

2 1

2 2

1

2 2

1 D s

s G s H s H

s H s W s

s F s Y

G s H s H

s H s W s

H s s H

Y_s ^c _c ^d

+ + − +

= −

Automatique

Correction par anticipation

q Remarques

u Les correcteurs W_d et W_c ne sont pas en général réalisables physiquement (contrainte de causalité non satisfaite). On

réalise alors une approximation en ajoutant des pôles u Une correction par anticipation réalisable physiquement

n'affecte pas la stabilité du système

u Le modèle du système doit être précis pour une bonne correction par anticipation

u En général, la perturbation n'est pas mesurable d'où la difficulté de la compenser