SLCI - Révisions

(1)

SLCI - Révisions

S YNTHÈSE

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2012 - 2013

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MP) SLCI - Révisions Année 2012 - 2013 1 / 41

(2)

Modélisation Opération sur les blocs

Forme canonique

H(p) = S(p) E (p) = K

p ^α

1 + b ^′ ₁ .p + . . . + b _m ^′ .p ^m 1 + a ^′ ₁ .p + . . . + a ^′ _n .p ⁿ . On définit :

• les pôles : les racines du dénominateur

• les zéros : les racines du numérateur

• le gain: K

• la classe du système : si α > 0 alors p = 0 est un pôle du dénominateur. Le système comporte α intégrateurs.

• Ordre du système: max(m, α + n)

(3)

Fonction de transfert en boucle ouvert

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) est le rapport entre la mesure M(p) et l’écart ε(p):

FTBO(p) = M(p)

ε(p) = mesure

écart = D(p).R(p)

(4)

Fonction de transfert en boucle ouvert

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) est le rapport entre la mesure M(p) et l’écart ε(p):

FTBO(p) = M(p)

ε(p) = mesure

écart = D(p).R(p)

+ −

E(p) ε(p) D(p) S(p)

M(p) R(p)

(5)

Fonction de transfert en boucle ouvert

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) est le rapport entre la mesure M(p) et l’écart ε(p):

FTBO(p) = M(p)

ε(p) = mesure

écart = D(p).R(p)

+ −

E(p) ε(p) D(p) S(p)

M(p) R(p)

⇒ ε(p) FTBO(p) = D(p).R(p) M(p)

(6)

Fonction de transfert en boucle fermée

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF ) est le rapport entre la sortie S(p) et l’entrée E (p):

FTBF (p) = S(p)

E(p) = Sortie

Entrée = D(p)

1 + D(p).R(p)

(7)

Fonction de transfert en boucle fermée

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF ) est le rapport entre la sortie S(p) et l’entrée E (p):

FTBF (p) = S(p)

E(p) = Sortie

Entrée = D(p) 1 + D(p).R(p)

+ −

E(p) D(p)

⇒ S(p)

R(p)

(8)

Fonction de transfert en boucle fermée

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF ) est le rapport entre la sortie S(p) et l’entrée E (p):

FTBF (p) = S(p)

E(p) = Sortie

Entrée = D(p) 1 + D(p).R(p)

+ −

E(p) D(p)

⇒ S(p)

R(p) FTBF(p) = D(p)

1 + D(p).R(p)

E(p) S(p)

(9)

Modélisation Signaux élémentaires

Dirac

Fonction nulle sur tout R sauf en 0 où la valeur vérifie :

f (0) = Z _+∞

−∞

f (t).δ(t)dt

La transformée de Laplace de cette fonction est:

Z +∞

0 e ^−p.t .δ(t)dt = e ^−p.0 = 1 ⇒ L [δ(t)] = 1

La réponse temporelle d’un système à un Dirac est appelée réponse impulsionnelle.

(10)

Echelon

Un échelon unitaire u(t) (ou fonction d’Heavyside) est définie de la ma- nière suivante :

• pour t < 0 → u(t) = 0

• pour t ≥ 0 → u(t) = 1

Sa transformée de Laplace vaut : L [u(t)] = 1 p

La réponse temporelle d’un système soumis à un échelon unitaire est

appelée réponse indicielle.

(11)

Sinusoïde

Soit f (t) = sin(ωt).u(t). Alors L [sin(ωt)] = ω p ² + ω ² Soit f (t) = cos(ωt).u(t). Alors L [cos(ωt)] = p

p ² + ω ²

La réponse temporelle d’un système à une fonction sinusoïdale est ap- pelée réponse harmonique.

(12)

Rampe

Une rampe unitaire est définie par : r (t) = t.u(t) Sa transformée de Laplace vaut : L [u(t)] = 1

p ²

La réponse temporelle d’un système à une rampe unitaire est appelée

réponse en poursuite (ou en suivi).

(13)

Modélisation Critères de performance

Critères de performance

R APIDITÉ - S TABILITÉ - P RÉCISION

0 0.5 1 1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t t _5%

D

(14)

Transformées de Laplace Définition et propriétés

Transformées de Laplace

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• unicité

(15)

Transformées de Laplace

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• unicité

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

(16)

Transformées de Laplace

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• unicité

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

(17)

Transformées de Laplace

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• unicité

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

• intégration L R t

a f (τ)d τ

= ¹ _p .L [f ] + ¹ _p . R 0 a f(τ)d τ

(18)

Transformées de Laplace

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• unicité

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

• intégration L R t

a f (τ)d τ

= ¹ _p .L [f ] + ¹ _p . R 0 a f(τ)d τ

• convolution L [f ∗ g] = L [f ] .L [g]

(19)

Transformées de Laplace

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• unicité

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

• intégration L R t

a f (τ)d τ

= ¹ _p .L [f ] + ¹ _p . R 0 a f(τ)d τ

• convolution L [f ∗ g] = L [f ] .L [g]

Condition d’Heaviside : ∀n ∈ N , ∀t ∈ ]−∞, 0[ , f ⁽ⁿ⁾ (t) = 0

(20)

Transformées de Laplace Décomposition en éléments simples

Laplace → temporel : Décomposition en éléments simples

Transformée inverse de Laplace : L ⁻¹ [F (p)] = 1 2πi

R ₊ ∞

−∞ e ^pt F (p)dp.

La décomposition en éléments simples permet de ramener une fonction rationnelle à une combinaison linéaire d’éléments dont les transformées inverses de Laplace sont connues

F (p) = N(p)

D(p) = A 0 +

n

X

i=1 m

i

X

j=1

A _ij (p + α _i ) ^j +

p

X

k =1 q

k

X

l=1

B _kl .p + C _kl (p + β _k ) ² + ω ² _k l

n: nb pôles réels

p: nb de dipôles conjugués (z , ¯ z)

m _i , q _k : multiplicité des pôles

(21)

Analyse temporelle Réponse indiciel - système du premier ordre

Réponse indiciel - système du premier ordre

s(t)

t

E ₀

(22)

Réponse indiciel - système du premier ordre

s(t)

t

E ₀

(23)

Réponse indiciel - système du premier ordre

s(t)

t E ₀

K .E ₀

(24)

Réponse indiciel - système du premier ordre

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E 0 /τ

τ

(25)

Réponse indiciel - système du premier ordre

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E 0 /τ

τ

0, 63.K .E ₀

(26)

Réponse indiciel - système du premier ordre

s(t)

t E ₀

K .E ₀

K .E 0 /τ

τ 0, 63.K .E ₀

0, 95.K .E ₀

3τ

(27)

Analyse temporelle Réponse indiciel - système du second ordre

Réponse indiciel - système du second ordre

Régime pseudopériodique

Régime apériodique critique Régime apériodique

(28)

Analyse temporelle Réponse indiciel - système du second ordre

Temps de réponse à 5% et temps de monté

(29)

Analyse fréquentielle Module et argument

Module de la fonction de transfert

Le module de la fonction de transfert en décibels est égal à la somme des modules de chaque fonction élémentaire.

G

B

(ω) = 20. log H(j.ω)

=20. log

K (j.ω)

^α

Y

i

(1 + τ

i

.j.ω). Y

m



 

 1 + 2.ξ

m

ω

0m

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²_0m



 

 Y

k

(1 + τ

k

.j.ω). Y

n



 

 1 + 2.ξ

_n

ω

0n

.j.ω + (j .ω)

²

ω

²_0n



 



= 20. log

K (j.ω)

^α

+ X

i

20. log

(1 + τ

i

.j.ω) + X

m

20. log



 

 1 + 2.ξ

m

ω

0m

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²_0m



 

 . . . − X

k

20. log

(1 + τ

k

.j .ω) − X

n

20. log



 

 1 + 2.ξ

n

ω

0n

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²_0n



 



(30)

Analyse fréquentielle Module et argument

Argument de la fonction de transfert

L’argument de la fonction de transfert est égal à la somme des arguments de chaque fonction élémentaire.

φ

ω

(ω) = arg (H(j.ω))

= arg



 

  K (j.ω)

^α

Y

i

(1 + τ

i

.j.ω) Y

m



 

 1 + 2.ξ

m

ω

0m

.j.ω + (j .ω)

²

ω

²_0m



 

 Y

k

(1 + τ

k

.j.ω) Y

n



 

 1 + 2.ξ

_n

ω

0n

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²_0n



 





 

 

= arg K (j.ω)

^α

! + X

i

arg ((1 + τ

i

.j.ω)) + X

m

arg



 





 

 1 + 2.ξ

m

ω

0m

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²_0m



 





 

 . . . − X

k

arg (( 1 + τ

k

.j.ω)) − X

n

arg



 





 

 1 + 2.ξ

n

ω

0n

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²_0n



 





 



(31)

Analyse fréquentielle Représentations fréquentielles

Diagrammes de Bode

(32)

Diagramme de Nyquist

(33)

Diagramme de Black

(34)

Système du 1er ordre

La transmittance (ou fonction de transfert) s’écrit sous la forme : H(p) = K

1 + τ.p ⇒ H (j.ω) = K 1 + τ.j.ω .



 



 

 H(j .ω)

= K

p 1 + τ

²

.ω

²

φ

ω

(ω) = arg (H(j .ω)) = − arctan(τ.ω) avec φ

ω

(ω) ∈ h

−

₂^π

, 0 i

puisque τω > 0

(35)

Gain en décibels G _B (ω)

0, 1. 1

τ 1

τ 10. 1

τ

-2 0 d B

-3 dB G dB (ω)

ω

(36)

Phase φ ω (ω)

0, 1. 1

τ 1

τ 10. 1

τ

− π 4

− π 2 φ(ω)

ω

(37)

Système du 2nd ordre

La transmittance se met sous la forme : H(p) = K .ω ² ₀

p ² + 2.ξ.ω ₀ .p + ω ² ₀ ⇒ H(j.ω) = K .ω ² ₀

(ω ² ₀ − ω ² ) + 2.j.ξ.ω ₀ .ω .



 

 

 

  H(j.ω)

= K .ω

²₀

q

(ω

²₀

− ω

²

)

²

+ 4.ξ

²

.ω

²₀

.ω

²

φ

ω

(ω) = −arg

(ω

²₀

− ω

²

) + 2.j.ξ.ω

0

.ω

= − arctan



 

 2.ξ.ω

0

.ω

ω

²₀

− ω

²



 

 avec φ

ω

(ω) ∈ [−π, 0]

(38)

Gain en décibels G _B (ω)

(39)

Phase φ ω (ω)

(40)

Premier ordre et second ordre paramétrés

(41)

Représentation d’un système quelconque

Afin de représenter un système, il est intéressant de le décomposer en fonction élémentaire du premier, deuxième ordre et en intégrateur ou dérivateur.

H(p) = K p ^α

Y

i

(1 + τ _i .p) Y

m



 

  1 + 2.ξ _m

ω _0m .p + p ² ω ² _0m



 

  Y

k

(1 + τ _k .p) Y

n



 

  1 + 2.ξ n

ω _0n p + p ² ω ² _0n



 

 

(42)

Le module de la fonction de transfert en décibels est égal à la somme des modules de chaque fonction élémentaire.

G

B

(ω) = 20. log H(j.ω)

= 20. log

K (j.ω)

^α

Y

i

(1 + τ

i

.(j.ω)) Y

m



 

  1 + 2.ξ

m

ω

0m

(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0m



 

  Y

k

(1 + τ

k

.(j.ω)) Y

n



 

  1 + 2.ξ

n

ω

0n

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0n



 

 

= 20. log

K (j.ω)

^α

+ X

i

20. log

1 + τ

i

.(j.ω) + X

m

20. log

1 + 2.ξ

m

ω

0m

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0m

. . . . . . − X

k

20. log

1 + τ

k

.(j.ω) − X

n

20. log

1 + 2.ξ

n

ω

0n

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0n

(43)

L’argument de la fonction de transfert est égal à la somme des arguments de chaque fonction élémentaire.

φ

ω

(ω) = arg (H(j.ω)) = arg



 

 K (j.ω)

^α

Y

i

(1 + τ

i

.(j.ω)) Y

m



 

  1 + 2.ξ

m

ω

0m

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0m



 

  Y

k

(1 + τ

k

.(j.ω)) Y

n



 

  1 + 2ξ

n

ω

0n

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0n



 

 



 



= arg K (j.ω)

^α

! + X

i

arg (1 + τ

i

.(j.ω)) + X

m

arg



 

  1 + 2.ξ

m

ω

0m

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0m



 

  . . . . . . − X

k

arg (1 + τ

k

.(j.ω)) − X

n

arg



 

  1 + 2.ξ

n

ω

0n

.(j.ω) + (j.ω)

²

ω

²_0n



 

 

(44)

Action proportionnelle

H(p) = K

(45)

Action proportionnelle

H(p) = K

G _dB (H(j.ω)) = 20. log (|K |) K ∈ R ⁺ ⇒ = 20. log (K )

(46)

Action proportionnelle

H(p) = K

G _dB (H(j.ω)) = 20. log (|K |) K ∈ R ⁺ ⇒ = 20. log (K )

φ (H(j.ω)) = arg (K ) K ∈ R ⁺ ⇒ = arctan 0

K

!

= 0

(47)

Action proportionnelle

H(p) = K

G _dB (H(j.ω)) = 20. log (|K |) K ∈ R ⁺ ⇒ = 20. log (K )

φ (H(j.ω)) = arg (K ) K ∈ R ⁺ ⇒ = arctan 0

K

!

= 0

H(p) = K

(48)

Action proportionnelle

H(p) = K

G _dB (H(j.ω)) = 20. log (|K |) K ∈ R ⁺ ⇒ = 20. log (K )

φ (H(j.ω)) = arg (K ) K ∈ R ⁺ ⇒ = arctan 0

K

!

= 0

H(p) = K

(49)

Action intégrale et action dérivée

H(p) = p

^α

⇒



 

 

 

 

(50)

Action intégrale et action dérivée

H(p) = p

^α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j.ω)) = 20. log (j.ω)

^α

= α.20. log(|j.ω|)

= α.20. log (ω) = α.20.X

(51)

Action intégrale et action dérivée

H(p) = p

^α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j.ω)) = 20. log (j.ω)

^α

= α.20. log(|j.ω|)

= α.20. log (ω) = α.20.X

φ (H(j.ω)) = arg ((j.ω)

^α

) = α. arg (0 + j.ω)

^ω≥0

= α. π 2

(52)

Action intégrale et action dérivée

H(p) = p

^α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j.ω)) = 20. log (j.ω)

^α

= α.20. log(|j.ω|)

= α.20. log (ω) = α.20.X

φ (H(j.ω)) = arg ((j.ω)

^α

) = α. arg (0 + j.ω)

^ω≥0

= α. π 2

Action intégrale H(p) = 1

p

Action dérivée H(p) = p

(53)

Action intégrale et action dérivée

H(p) = p

^α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j.ω)) = 20. log (j.ω)

^α

= α.20. log(|j.ω|)

= α.20. log (ω) = α.20.X

φ (H(j.ω)) = arg ((j.ω)

^α

) = α. arg (0 + j.ω)

^ω≥0

= α. π 2

Action intégrale H(p) = 1

p

Action dérivée H(p) = p

(54)

Systèmes du premier ordre

H(p) = (1 + τ.p)

^α

(55)

Systèmes du premier ordre

H(p) = (1 + τ.p)

^α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j .ω)) = 20. log

(1 + τ.j.ω)

^α

= α.20. log (|1 + j.τ.ω|)

= α.20. log p

1 + (τ.ω)

²

(56)

Systèmes du premier ordre

H(p) = (1 + τ.p)

^α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j .ω)) = 20. log

(1 + τ.j.ω)

^α

= α.20. log (|1 + j.τ.ω|)

= α.20. log p

1 + (τ.ω)

²

φ (H(j .ω)) = arg (( 1 + τ.j.ω)

^α

)

= α. arg (1 + j .τ.ω) = α. arctan (τ.ω)

(57)

Systèmes du premier ordre

ω≪1

τ ω=1

τ ω≫1

τ G_dB(H(j.ω))≈ α.20.log(1) =0 α.20.log

q 1+τ

τ

=−3.α α.(20.log(τ) +20.log(ω)) =α.(20.log(τ) +20.X) α.20.log(1) = α.(20.log(τ) +20.log(ω))

0 = 20.log(τ.ω) Intersection des asymptotes de gain au point

ω=1 τ ,G_dB=0 φ(H(j.ω))≈ α.arctan(0) =0 α.arctanτ

τ =π

4.α α.arctan(+∞) =α. π

2

(58)

Systèmes du premier ordre

H(p) = 1 + τ.p

H(p) = 1

1 + τ.p

(59)

Systèmes du second ordre

H(p) =



 

  1 + 2.ξ ω

0

.p + p

²

ω

²₀



 

 

α

(60)

Systèmes du second ordre

H(p) =



 

  1 + 2.ξ ω

0

.p + p

²

ω

²₀



 

 

α

⇒



 

 

 

 

G

_dB

(H(j.ω)) = 20. log



 





 

 1 + 2.ξ

ω

0

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²₀



 



α



 



= α.20. log



 



1 + 2.ξ ω

0

.j.ω − ω

²

ω

²₀



 



= α.20. log



 

 v t 

 

 1 − ω

²

ω

²₀



 



2

+ 4.ξ

²

. ω ω

0

2



 

 φ (H(j.ω)) = arg



 





 

 1 + 2.ξ

ω

0

.j.ω + (j.ω)

²

ω

²₀



 



α



 



= α. arctan



 

  2.ξ. ω

ω

0

1 − ω

²

ω

²₀



 

 

(61)

Systèmes du second ordre

ω≪ω0 ω=ω0 ω≫ω0

G_dB(H(j.ω))≈ α.20.log(1) =0 α.20.log(2.ξ) α.20.log





 vu t



−ω² ω²₀





 2





=−log

ω^(α.40)₀

+α.420.X α.20.log(1) = α.40.log

ω ω₀

0 = log

ωω₀

Intersection des asymptotes de gain au point(ω=ω₀,G_dB=0)

φ(H(j.ω))≈ 0 π

2.α α.arctan(0⁻) =α.π

(62)

Systèmes du second ordre

H(p) = 1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

H(p) = 1

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ²

ω ² ₀

(63)

Représentation Nyquist

Le diagramme de Nyquist présente la courbe H(j.ω) dans le plan complexe (partie imaginaire en fonction de la partie réelle).

L’interprétation peut se faire en coordonnées carté- siennes (Re [H(j.ω)] , Im [H(j.ω)]) ou en coordonnées polaires

SLCI - Révisions

SLCI - Révisions

S YNTHÈSE

L

C

(D

), 2012 - 2013

Germain Gondor

Forme canonique

H(p) = S(p) E (p) = K

p α

1 + b ′ 1 .p + . . . + b m ′ .p m 1 + a ′ 1 .p + . . . + a ′ n .p n . On définit :

• les pôles : les racines du dénominateur

• les zéros : les racines du numérateur

• le gain: K

• la classe du système : si α > 0 alors p = 0 est un pôle du dénominateur. Le système comporte α intégrateurs.

• Ordre du système: max(m, α + n)

Fonction de transfert en boucle ouvert

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) est le rapport entre la mesure M(p) et l’écart ε(p):

FTBO(p) = M(p)

ε(p) = mesure

écart = D(p).R(p)

Fonction de transfert en boucle ouvert

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) est le rapport entre la mesure M(p) et l’écart ε(p):

FTBO(p) = M(p)

ε(p) = mesure

écart = D(p).R(p)

+ −

E(p) ε(p) D(p) S(p)

M(p) R(p)

Fonction de transfert en boucle ouvert

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) est le rapport entre la mesure M(p) et l’écart ε(p):

FTBO(p) = M(p)

ε(p) = mesure

écart = D(p).R(p)

+ −

E(p) ε(p) D(p) S(p)

M(p) R(p)

⇒ ε(p) FTBO(p) = D(p).R(p) M(p)

Fonction de transfert en boucle fermée

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF ) est le rapport entre la sortie S(p) et l’entrée E (p):

FTBF (p) = S(p)

E(p) = Sortie

Entrée = D(p)

1 + D(p).R(p)

Fonction de transfert en boucle fermée

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF ) est le rapport entre la sortie S(p) et l’entrée E (p):

FTBF (p) = S(p)

E(p) = Sortie

Entrée = D(p) 1 + D(p).R(p)

+ −

E(p) D(p)

⇒ S(p)

R(p)

Fonction de transfert en boucle fermée

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF ) est le rapport entre la sortie S(p) et l’entrée E (p):

FTBF (p) = S(p)

E(p) = Sortie

Entrée = D(p) 1 + D(p).R(p)

+ −

E(p) D(p)

⇒ S(p)

R(p) FTBF(p) = D(p)

1 + D(p).R(p)

E(p) S(p)

Dirac

Fonction nulle sur tout R sauf en 0 où la valeur vérifie :

f (0) = Z +∞

−∞

f (t).δ(t)dt

La transformée de Laplace de cette fonction est:

Z +∞

0

e −p.t .δ(t)dt = e −p.0 = 1 ⇒ L [δ(t)] = 1

La réponse temporelle d’un système à un Dirac est appelée réponse impulsionnelle.

Echelon

Un échelon unitaire u(t) (ou fonction d’Heavyside) est définie de la ma- nière suivante :

• pour t < 0 → u(t) = 0

• pour t ≥ 0 → u(t) = 1

Sa transformée de Laplace vaut : L [u(t)] = 1 p

p ^α

1 + b ^′ ₁ .p + . . . + b _m ^′ .p ^m 1 + a ^′ ₁ .p + . . . + a ^′ _n .p ⁿ . On définit :

f (0) = Z _+∞

e ^−p.t .δ(t)dt = e ^−p.0 = 1 ⇒ L [δ(t)] = 1

Soit f (t) = sin(ωt).u(t). Alors L [sin(ωt)] = ω p ² + ω ² Soit f (t) = cos(ωt).u(t). Alors L [cos(ωt)] = p

p ² + ω ²

p ²

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t t _5%

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

= ¹ _p .L [f ] + ¹ _p . R 0 a f(τ)d τ

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

= ¹ _p .L [f ] + ¹ _p . R 0 a f(τ)d τ

Définition: F (p) = L [f(t)] = R _+∞

0 e ^−pt f (t)dt Propriétés:

• linéarité ∀(a, b) ∈ R ² → L [α.f (t) + β.g(t)] = α.L [f (t)] + β.L [g(t)]

• dérivation L h f ⁽ⁿ⁾ (t) i

= p ⁿ .F (p) − P n−1

i=0 p ^(n−1−i) .f ⁽ⁱ⁾ (0)

= ¹ _p .L [f ] + ¹ _p . R 0 a f(τ)d τ

Condition d’Heaviside : ∀n ∈ N , ∀t ∈ ]−∞, 0[ , f ⁽ⁿ⁾ (t) = 0