Systèmes linéaires continus et invariants :

Système linéaire :

Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’un ensemble d’équations différentielles à coefficients constants.

Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par 2 propriétés : la proportionnalité et l’additivité.

 proportionnalité :

Si y(t) est la réponse à l’entrée x(t) alors A.y(t) est la réponse à A.x(t).

(Ceci est vrai que lorsque le système a atteint sa position d’équilibre ou que le régime permanent s’est établi).

La caractéristique d’un système linéaire est une droite : Le rapport K

t x

t

y 

) (

)

( est appelé GAIN du système

La réponse, en régime définitif, d’un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée :

o si Kat b

t y t t

a t

x  

 

 . lim ( ) . )

(

o si ( ) ₀sin(



) lim ( ) . ₀sin(







)



 

 K x t

t y t t

x t x

 additivité (superposition):

Si y1 est la réponse à x1(t), si y2(t) est la réponse à x2(t), alors la réponse à x1(t)+x2(t) est y1(t)+y2(t)

Système continu :

Un système est continu, si, à toutes les entrées x(t) quel que soit t il délivre la sortie y(t).

Système invariant :

Un système est invariant, s’il garde le même comportement au cours du temps (pas de détérioration de ses caractéristiques par exemple).

x1(t)+ x2(t) y (t)= y1(t)+y2(t)

Système linéaire

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2.2) Modélisation par une équation différentielle :

Pour étudier ou concevoir la commande d’un système automatique, il est nécessaire de commencer par le modéliser d’un point de vue mathématique; c’est à dire qu’il faut déterminer la relation qui existe entre la variable de commande x(t) et la grandeur souhaitée en sortie y(t) (on se limite ici aux systèmes monovariables; une seule entrée, une seule sortie).

Le modèle mathématique d’un système linéaire, continu et invariant s’écrit sous la forme d’une équation différentielle à coefficients constants avec second membre du type :

) ( )

( )

( )

( )

( ...

)

(

_{1 0 1}

x t a

₀

x t

dt a d t

dt x a d t y b t dt y b d t

dt y

b d

_m

m n m

n

n

              

En général m<n et n est appelé : ordre du système

Il existe une méthode qui permet de résoudre simplement de telles équations différentielles en les transformant en simples équations algébriques, cette méthode s’appelle TRANSFORMEE DE LAPLACE.

2.3) Calcul symbolique : méthode de résolution par la transformée de LAPLACE :

La méthode classique de résolution d’équations différentielles avec second membre se décompose en deux temps :

 Il faut d’abord considérer l’équation sans second membre et la résoudre,

 ensuite, il faut trouver une solution particulière pour trouver la solution finale.

Voici maintenant les étapes d’une résolution par la transformée de LAPLACE.

Equation différentielle avec second membre

(paramètre t)

TRANSFORMEE DE LAPLACE (paramètre p)

Fraction polynomiale

en p

Fraction décomposée en éléments simples

en p TRANSFORMEE INVERSE DE

LAPLACE (paramètre t) Solution finale

(paramètre t)

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2SLCI.docx 2.3.1) Définition de la transformée de Laplace :

On appelle transformée de Laplace de la fonction f(t), supposée nulle pour t<0 la fonction F(p) définie par :





2.3.2) Propriétés de la transformée de Laplace :

 Unicité : La transformée F(p) de la fonction f(t) est unique et réciproquement.

 Linéarité :

 Transformée d’une intégrale :

p

- Théorème de la valeur initiale :



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2SLCI.docx Nota :

Le théorème de la valeur initiale ne s’applique que si le degré du numérateur de p.F(p) est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Le théorème de la valeur finale peut s’appliquer si les pôles de p.F(p) sont à partie réelle strictement négative.

On appelle pôles d’une fonction dénominateur de H(p).

- Remarques :

 Si les conditions initiales sont nulles (conditions dites de Heaviside) :

 Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de Laplace.

 Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace.

 Le domaine de Laplace est aussi appelé domaine symbolique.

 Quand F(p) est la transformée de Laplace de f(t), que l’on note : F(p)= L(f(t)), On appelle transformée de Laplace inverse ou original de F(p) la fonction f(t)=L^-1(F(p)).

 Si f(t) est définie par une équation différentielle d’ordre n , F(p) est définie par un polynôme de degré n.

2.3.3) Représentation de quelques fonctions:

Voir annexe 1.

2.4) Représentation par une fonction de transfert H(p) :

Nous avons vu précédemment que la relation entre l’entrée x(t) et la sortie y(t) d’un système linéaire est donnée par une équation différentielle du type :

)

Recherchons la transformée de Laplace de cette équation en appliquant l’opérateur L à chacun des deux membres. Nous noterons respectivement X (p) et Y (p) les

transformées des fonctions x(t) et y(t) :

X (p)= L (x (t)) et Y (p) = L (y (t))

Après transformation, on obtient, si les conditions initiales sont nulles :

)

La transformée de la sortie s’exprime alors sous la forme : )

Nous pouvons alors former le rapport de la "sortie" Y (p) sur "l’entrée" X (p), ce rapport correspond à la fonction transfert du système appelée H (p).

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2SLCI.docx fonction de transfert s’écrit :

) transfert.

o Le degré n du dénominateur D (p) est appelé ordre de la fonction transfert H (p).

o K est appelé le gain statique. transfert.

2.5) Analyse temporelle expérimentale :

2.5.1) Système du premier ordre :

Un système du premier ordre est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :

)

d’où après transformation de Laplace si les conditions initiales sont nulles : ) K et  sont appelés les paramètres caractéristiques de H(p).

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Après décomposition en éléments simples:

 

transformation de Laplace inverse :

La précision statique est définie par



Pour calculer cette limite on peut passer dans le domaine symbolique de Laplace et utiliser le théorème de la valeur finale :

0

Pour un système du premier ordre : )

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2SLCI.docx Pour une entrée échelon (e(t)=A.u(t)) on rappelle que

p

Nota : cette erreur est finie et elle s’annule pour K=1.

Réponse à une rampe :

Après décomposition en éléments simples :

On obtient donc après

transformation de Laplace inverse :

)

On utilise la même démarche que celle employée pour la détermination de



_s

(t )

.

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2.5.2) Système du second ordre :

Un système du second ordre est régi par une équation différentielle du second ordre du type :

Les paramètres caractéristiques sont alors :

 K : le gain statique

 a : le coefficient d’amortissement du système (noté aussi , z ou m)

 n : la pulsation propre du système non amorti (rad/s)

Cette équation différentielle a pour image dans le domaine symbolique (pour les conditions de Heaviside C.I. = 0)

)

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2SLCI.docx Donc la forme canonique de la fonction transfert d’un système du second ordre s’écrit :

Avant de trouver une décomposition, recherchons les racines de l’équation :

0

Trois cas sont à distinguer :

 a>1 >0 2 racines réelles :

Etudions la réponse du système pour les trois cas :

 Cas où a>1 : régime apériodique :

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2SLCI.docx Or

p

₁

 p

₂

 

_n² donc S(p) prend la forme :

) 1 ( ) 1 ) ( (

2

1p p

p

K p A

S





 



 

Après transformation inverse il vient :

 





 





 





 



 

 









2 1

2 1 1 2

)

( 

^



^





t t

e K e

K A t s

1 et 2 sont les constantes de temps du système.

 Cas où a = 1 : régime apériodique critique : La réponse est de la forme :

)² . 1 ) (

( p p

K p A

S 



 

Après transformation inverse, il vient :



 



  



 ^{ }



t t

t e e K A t

s( ) 1

Avec

n p 1 1 







Représentation graphique pour a>1 et K<1

e(t)= A.u(t) A.K

Représentation graphique pour a=1 et K>1

e(t)= A.u(t) A.K

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 Cas où a<1 : régime oscillatoire La réponse est de la forme :

²) 2

² ( ) ²

( p a p p

K p A

S

n n

n















 







Après transformation inverse, il vient :



 



     

 



 ^{  } sin( ² )

) ²

( ^  1 a t 

a 1 1 e K A t

s _n

t a _n

avec cos = a et

sin   1  a ²

Le comportement d’un tel système est oscillant et amorti. Voici l’allure de la réponse de ce système à un échelon.

 Analyse temporelle : - erreur statique :



K



p A

S(p)) -(E(p) p t

t s t e t

s   



 





  1

0 lim

)) ( ) ( ( ) lim



(

On a



_s

( t )  0

si et seulement si K=1

De la même manière qu’un système du premier ordre, un second ordre ne possède pas d’erreur de position si son gain statique est égal à 1.

A.K e(t)= A.u(t)

Représentation graphique pour a<1 et K=1

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2SLCI.docx - temps de réponse à 5% :

Contrairement aux systèmes du premier ordre, on ne sait pas exprimer d’une manière générale la valeur du temps de réponse par une expression analytique.

Généralement on procède à la recherche du temps réponse à l’aide de l’abaque ci-dessous :

Nota : la meilleure performance est obtenue pour une valeur de a environ égale à 0.7.

- Dépassements en régime transitoire :

Si la réponse à un échelon est telle que temporairement, elle dépasse sa valeur finale, on introduit les valeurs suivantes pour qualifier le régime transitoire.

Le dépassement est égal au rapport D/K, on l’exprime en % de K. Pour la figure ci-dessus K=1;

a=0.2 et n = 10 rad/s, on trouve D1= 50% ; D2 = 30% etc...

a

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pour un échelon unitaire.

Pour D1 on pose k=1, pour D2 k=2 etc.…

Nota : On remarque un fait important pour a = 0,7, il n’y a qu’un seul dépassement et il est faible (<5%)

Réponse à une rampe :

Il faut considérer trois cas : si K > 1

 

_t

(t )  

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2SLCI.docx 2.5.3) Système intégrateur :

Un système intégrateur est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :

kv étant ici une constante réelle de dimension s^-1 et est appelée constante de vitesse.

v

i k

 1



est nommée constante de temps d’intégration.

Pour les conditions initiales nulles, la forme canonique de la fonction transfert s’écrit :

et dans le domaine symbolique cette équation s’écrit : transformation inverse il vient :

s(t) = kv

 et dans le domaine symbolique cette équation s’écrit :

p

transformation inverse il vient : s(t) =kv. A .t

A.kv

kv

s(t)

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2SLCI.docx 2.5.4) Système dérivateur :

Un système dérivateur est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :

dt t e t d

s _d ( )

. ) ( 



La constante d, ayant la dimension [s], est nommée la constante de temps de dérivation.

Pour les conditions initiales nulles la forme canonique de la fonction transfert s’écrit :

) ( )

( p p E p

S  

_d

 

donc : p

p E

p p S

H  



_d

) (

) ) (

(

Réponse à un échelon :

e (t) = A.u(t) et L(A.u(t)) =E(p) = p

A donc :

dt t u A t d

s _d ( ( ))

)

( 



  et dans le domaine symbolique cette équation s’écrit :

p p A p

S ou p E p p

S( )



_d  ( ) ( )



_d   donc :

A

d

p

S ( )   

d’où après transformation inverse il vient :

) ( )

( t A t

s   

_d

 

t A.d

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3) REPRESENTATION PAR SCHEMAS-BLOCS :

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