DM11
Devoir maison 11 - transformée de Fourier
Pour toute fonction f :R→Cet tout réelx, on note, lorsqu’elle existe :
fb(x) = Z +∞
−∞
e−ixtf(t)dt
Quand elle est définie, la fonction fbs’appelle latransformée de Fourierde f.
1. Transformée de Fourier d’une fonction intégrable
Dans cette question,f :R→Cest une fonction continue et intégrable sur R.
a. Montrer que fb(x) est défini pour tout x∈R, et que la fonctionfbest continue et bornée.
b. Vérifier que pour tout réel a 6= 0, les fonctions fT a : t 7→ f(t−a) et fHa : t 7→ f(at) admettent des transformées de Fourier, et montrer que
∀x∈R, dfT a(x) =e−iaxfb(x) et fdHa(x) = 1 afb
x a
c. Exprimer de même la transformée de Fourier det7→eiatf(t)en fonction de celle def, après avoir justifié qu’elle existe.
d. Sif est paire, donner une expression de sa transformée de Fourier sous forme d’une intégrale sur [0,+∞[.
e. Même question si f est impaire.
f. Que peut-on dire de la transformée de Fourier d’une fonction réelle paire ? réelle impaire ?
2. Dérivation
On considère f ∈C1(R,C), et on suppose quef etf0 sont intégrables surR.
a. Montrer que f tend vers 0en ±∞.
b. Montrer que ∀x∈R,fb0(x) =ixfb(x), puis en déduire quefbtend vers0 en±∞.
c. On suppose de plus que ϕ:t7→tf(t) est intégrable surR. Montrer que fbest de classe C1 surRet que
∀x∈R, fb0
(x) =−iϕ(x).b
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