Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de Math´ematiques L3 LM367 – Analyse complexe 1
TD1. Introduction ` a l’analyse complexe.
Exercice 1. SoientH={z∈C,Imz >0} etf : H→Cl’application d´efinie par f(z) =z−i
z+i.
(a) Montrer quef(H) est inclus dansD={z∈C,|z|<1}.
(b) Montrer que f ´etablit une bijection entre Het D.
Exercice 2. En quels points deCles fonctions suivantes sont-ellesC-diff´erentiable ? (a) a(z) = ¯z.
(b) b(z) = Re(z).
(c) c(z) = Im(z).
(d) d(z) =|z|2. (e) e(z) = z
z2+ 1.
Exercice 3. Soitf : C→Cd´efinie pour x, y∈Rparf(x+iy) =x+iy2. Montrer que f estR-diff´erentiable et calculer sa diff´erentielle. Existe-t-il un ouvert non vide Ω deCtel quef est holomorphe sur Ω ?
Exercice 4. Soitf une fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω deC. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes.
(a) f est constante.
(b) f0 est identiquement nulle.
(c) Ref est constante.
(d) Imf est constante.
(e) ¯f est holomorphe.
(f) |f|est constante.
L’image d’une fonction holomorphe non constante peut-elle ˆetre contenue dans un cercle ? Dans une droite ?
Exercice 5. Soient Ω un ouvert connexe deC,f ∈ O(Ω) etF ∈C1(R,R) tels que
∀z∈Ω, Ref(z) =F(Imf(z)).
Montrer quef est constante.
1
2
Exercice 6. Soient Ω un ouvert connexe deC,f ∈ O(Ω) etg∈ O(Ω).
(a) On suppose que, pour tout z ∈ Ω, f(z) +g(z) est r´eel. Montrer qu’il existe une constante r´eellec tel quef =g+c.
(b) On suppose maintenant quegne s’annule pas sur Ω et que, pour toutz∈Ω,f(z)g(z) est r´eel. Montrer qu’il existe une constante r´eellec tel quef =c g.
Exercice 7. Soient Ω un ouvert deC et f ∈ O(Ω). On pose Ω0 ={z/z¯ ∈ Ω} et, pour z∈Ω0,g(z) =f(¯z). Montrer queg est holomorphe sur Ω0.
Exercice 8. Soit u : C = R2 → R une fonction de classe C2. Montrer que u est harmonique si et seulement siuest la partie r´eelle d’une fonction holomorphe.On rappelle queuest dite harmonique si son laplacien est nul, i.e. si ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = 0.
Exercice 9. Soient des r´eels a, b, c. On consid`ere la fonction P : C → R d´efinie par P(x+iy) =ax2+ 2bxy+cy2,x, y∈R. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’il existef ∈ O(C) telle queP = Ref. Sous cette condition, donner toutes les fonctions enti`eresf telles queP = Ref.
