E113 La suite de Conway [*** à la main]

(1)

E113 La suite de Conway [* à la main]**

On considère la suite S bien connue de Conway 1,11,21,1211,111221,….dans laquelle chaque terme est obtenu en dénombrant puis en écrivant pas à pas tous les chiffres qui figurent dans la terme précédent.

Voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005150.

Les termes de cette suite comportent très rapidement un nombre astronomique de chiffres. On s’intéresse au 2010

^ième

terme appelé X.

1) Quel est le dernier chiffre de X ?

2) Combien y a-t-il de chiffres > 3 dans X ?

3) Combien y a-t-il de séquences d’un même chiffre de longueur >3 dans X?

4) Existe-t-il au moins un terme Y de S qui est strictement inférieur à X et qui comporte les mêmes 2010 premiers chiffres. Si oui, quel est le rang du plus petit Y ?

Solution

1) Le dernier chiffre de X est 1 quel que soit le terme de la suite de Conway 2) La suite de Conway est constituée exclusivement des chiffres 1,2 et 3.

3) Il n’y a aucune séquence de longueur > 3. C’est la conséquence de la réponse à la première question. Les seules séquences de longueur 3 sont constituées par des 1 ou des 2. On ne peut pas avoir 333 car cette séquence devrait exister à l’origine.

4) Il y a de nombreux termes Y < X dont les 2010 premiers termes sont identiques à ceux de X. Le plus petit d’entre eux est le 33

^ième

terme de S.

Soit x(n) le nombre de chiffres du n

^ième

terme de la suite de Conway.La séquence des x(n) est la suivante http://oeis.org/A005150 :

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20, 26, 34, 46, 62, 78, 102, 134, 176, 226, 302, 408, 528, 678, 904, 1182, 1540, 2012, 2606, 3410, 4462, 5808, 7586, 9898, 12884, 16774, 21890, 28528, 37158, 48410, 63138, 82350, 107312,....

Pour les valeurs croissantes de n, le ratio x(n)/x(n-1) tend vers la constante de Conway http://mathworld.wolfram.com/ConwaysConstant.html Par ailleurs pour le n

^ième

terme de S,on sait calculer le nombre de chiffres y(n) qui sont communs à ce n

^ième

terme et au (n+3)

^ième

terme.On obtient ainsi les premiers termes de la séquence des y(n) par comptages successifs des chiffres communs dans la liste ci- après : 1,2,0,1,3,2,2,4,5,6,10,10,10,16,20,22,32,40,48,68,90,110,154,208,...

x(1) 1 x(2) 11 x(3) 21 x(4) 1211 x(5) 111221 x(6) 312211 x(7) 13112221 x(8) 1113213211 x(9) 31131211131221

x(10) 13211311123113112211

x(11) 11131221133112132113212221

x(12) 3113112221232112111312211312113211

x(13) 1321132132111213122112311311222113111221131221

x(14) 11131221131211131231121113112221121321132132211331222113112211 x(15)

311311222113111231131112132112311321322112111312211312111322212311322113212 221

(2)

x(16)

132113213221133112132113311211131221121321131211132221123113112221131112311 332111213211322211312113211

x(17)

111312211312111322212321121113122123211231131122211211131221131112311332211 21321132132211331121321231231121113122113322113111221131221

x(18)

311311222113111231133211121312211231131122111213122112132113213221123113112 221133112132123222112111312211312111322212321121113121112131112132112311311 22212322211331222113112211

x(19)

132113213221133112132123123112111311222112132113212231121113112221121113122 113121113222112132113213221232112111312111213322112311311222113111231133211 121312211231131112311211133112111312211213211321321112133221231132211321222 1

x(20)

111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312211312112 213211231132132211231131122211311123113322112111312211312111322111213122112 311311123112112322211213211321322113311213212312311211131122211213211331121 321123123211231131122211211131221131211131231121123221112132113222113121132 11

x(21)

311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211312111 322211231131122211311122122111312211213211312111322211213211321322113311213 212322211231131122211311123113223112111311222112132113311213211221121332211 211131221131211132221232112111312111213111213211231132132211211131221232112 111312211213111213122112132113213221123113112221131112311311121321122112132 231121113122113322113111221131221

x(22)

132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231232112311311222 112111312211311123113322112132113213221133122112231131122211211131221131112 311332211211131221131211132221232112111312111213322112132113213221133112132 113221321123113213221121113122123211211131221222112112322211231131122211311 123113321112131221123113111231121113311211131221121321131211132221123113112 211121312211231131122211211133112111311222112111312211312111322211213211321 322113311213211331121113122122211211132213211231131122212322211331222113112 211

x(23)

111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312212321121 113122112131112131221121321132132211231131122211331121321232221121113122113 121113222123112221221321132132211231131122211331121321232221123113112221131 112311332111213122112311311123112112322211211131221131211132221232112111312 211322111312211213211312111322211231131122111213122112311311221132211221121 332211213211321322113311213212312311211131122211213211331121321123123211231 131122211211131221131112311332211213211321223112111311222112132113213221123 123211231132132211231131122211311123113322112111312211312111322212321121113 122123211231131122113221123113221113122112132113213211121332212311322113212 221

x(24)

311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211312111 322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113122113121113 222112132113213221232112111312111213322112311311222113111231133211121321321 122111312211312111322211213211321322123211211131211121332211213211321322113 311213212312311211131122211213211331121321122112133221123113112221131112311

(3)

311211131122211213211321222113222122211211232221121113122113121113222123211 211131211121311121321123113213221121113122123211211131221121311121312211213 211321322112311311222113311213212322211211131221131211221321123113213221121 113122113121113222112131112131221121321131211132221121321132132211331121321 232221123113112221131112311332111213122112311311221112131221121321132122211 322211213211322311311222112111312211312111312311211232211121321132221131211 3211

x(25)

132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231232112311311222 112111312211311123113322112132113212231121113112221121321132132211231232112 311321322112311311222113111231133221121113122113121113221112131221123113111 231121123222112132113213221133112132123123112111312111312212231131122211311 123113322112111312211312111322111213122112311311123112112322211211131221131 211132221232112111312111213111213211231132132211211131221232112111312212221 121123222112132113213221133112132123123112111311222112132113213221132213211 321322112311311222113311213212322211211131221131211221321123113213221121113 122113121132211332113221122112133221123113112221131112311332111213122112311 311123112111331121113122112132113121113222112311311221112131221123113112221 121113311211131122211211131221131211132221121321132132212321121113121112133 221123113112221131112212211131221121321131211132221123113112221131112311332 211211133112111311222112111312211311123113322112111312211312111322212321121 113121112133221121321132132211331121321231231121113112221121321132122311211 131122211211131221131211322113322112111312211322132113213221123113112221131 112311311121321122112132231121113122113322113111221131221

x(26)

111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312212321121 113122112131112131221121321132132211231131122211331121321232221121113122113 121122132112311321322112111312211312111322211213111213122112132113121113222 112132113213221133112132123222112311311222113111231132231121113112221121321 133112132112211213322112111312211312111322212321121113121112131112132112311 311123113112211221321132132211331121321232221123113112221131112311322311211 131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332111213122112311 311123112111331121113122112132113121113222112311311221112131221123113112211 322112211213322112111312211312111322212321121113121112131112132112311321322 112111312211312111322211322111312211312111322211213211321322123211211131211 121332211231131122211311122122111312211213211312111322211231131122211311122 113222123122113222122211211232221121321132132211331121321231231121113112221 121321133112132112312321123113112221121113122113111231133221121321132122311 211131122211213211321322112312321123113213221123113112221131112311332211211 131221131211132211121312211231131112311211232221121321132132211331221122311 311222112111312211311123113322112132113213221133112132123222112312321123113 213221123113112221133112132123222112311311222113111231133211121312211231131 112311211232221121113122113121113222123211211131211121311121321123113213221 121113122113121122132112311321322112311311222113111221132221232221123113112 221132211131221131211132221121321132132211331121321133112111312212221121113 2213211231131122212322211331222113112211

x(27)

311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211312111 322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113122113121113 222112132113213221232112111312111213322112311311222113111221221113122112132 113121113222112311311222113111231133221121113311211131122211211131221131112 311332211211131221131211132221232112111312111213322112132113213221133112132 113221321123113213221121113122123211211131221222112112322211231131122211311 123113321112131221123113111231121113311211131221121321133112132113212221221 113122113121113222123211211131211121332211213211321322113311213211322132112 311321322112111312212321121113122122211211232221121321132132211331121321231

(4)

121321132122311211131122211213211321222113222122211211232221123113112221131 112311332111213122112311311123112111331121113122112132113121113222112311311 222113111231133221132231131122211311123113322112111312211312111322111213122 112311311123112112322211213211321322113312211223113112221121113122113111231 133221121321132132211331222113321112131122211332113221122112133221121113122 113121113222123211211131211121311121321123113213221121113122123211211131221 121311121312211213211321322112311311222113311213212322211211131221131211221 321123113213221121113122113121113222112131112131221121321131211132221121321 132132211331121321232221123113112221131112311322311211131122211213211331121 321122112133221121113122113121113222123112221221321132132211231131122211331 121321232221121113122113121113222123211211131211121332211213111213122112132 113121113222112132113213221232112111312111213322112132113213221133112132123 123112111311222112132113311213211221121332211231131122211311123113321112131 221123113111231121113311211131221121321131211132221123113112221131112212211 131221121321131211132221121321132132211331222113321112133221121321132132211 322311311222113111231133221121113122113121113222123211211131221232112311311 22113221123113221113122112132113213211121332212311322113212221

La séquence des y(n) obéit à la même loi que celle des x(n) avec le ratio y(n)/y(n-1) convergeant vers la constante de Conway.Sur la base de la formule y(n+3)=y(n)* λ on

³

constate que y(n) reste inférieur à 2010 pour tout n <33 et dépasse 2010 pour la première fois pour n = 33. En effet x(24) = 208. D’où x(27) = 461e, puis x(30) = 1020e et x(33) = 2260

^e

avec e pour estimation. Par ailleurs x(23) = 154. D’où x(26)= 341, x(29) = 756, x(32) = 1674.

Ce résultat est confirmé par la comparaison des termes x(29) vs x(32) et x(30) vs x(33) obtenus à l’adresse http://www.btinternet.com/~se16/js/looknsay.htm

x(29)

111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312212321121 113122112131112131221121321132132211231131122211331121321232221121113122113 121122132112311321322112111312211312111322211213111213122112132113121113222 112132113213221133112132123222112311311222113111231132231121113112221121321 133112132112211213322112111312211312111322212311222122132113213221123113112 221133112132123222112111312211312111322212321121113121112133221121311121312 211213211312111322211213211321322123211211131211121332211213211321322113311 213212312311211131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332 111213122112311311222113223113112221121113122113111231133221121321132122311 211131122211213211321222113222122211211232221121113122113121113222123211211 131211121311121321123113213221121113122123211211131221121311121312211213211 321322112311311221112131221123113112221131112211312212213211321322113311213 212312311211131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332111 213122112311311222113223113112221121113122113111231133221121321132122311211 131122211213211321222113222122211211232221123113112221131112311332111213122 112311311123112111331121113122112132113121113222112311311221112131221123113 112221121113311211131122211211131221131211132221121321132132212321121113121 112133221123113112221131112212211131221121321131211132221123113112221131112 211322212312211322212221121123222112111312211312111322212321121113121112131 112132112311321322112111312212321121113122112131112131221121321132132211231 131122211331121321232221121113122113121113222123211211131211121332211322111 312211312111322212321121113121112133221121321132132211331121321132213211231 132132211211131221232112111312212221121123222112311311222113111231133211121 321321122111312211312111322211213211321322123211211131211121332211231131122 211311123113321112132113221112131112132112311312111322111213112221133211322 112211213322112132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231 232112311311222112111312211311123113322112132113212231121113112221121321132 132211231232112311321322112311311222113111231133221121113122113121113221112 131221123113111231121123222112132113213221133122112231131122211211131221131 112311332211213211321322113311213212322211231232112311321322112311311222113 311213212322211231131122211311123113321112131221123113111231121123222112111

(5)

131221123113112211322112211213322112132113213221133112132123123112111312111 312212231131122211311123113322112111312211312111322111213122112311311123112 112322211213211321322113311213212312311211131122211213211331121321122112133 221123123211231132132211231131122211331121321232221123113112221131112311322 311211131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332111213122 112311311123112111331121113122112132113121113222112311311221112131221123113 112211322112211213322112111312211312111322212321121113121112131112132112311 321322112111312212321121113122112131112131221121321132132211231131122211331 121321232221121113122113121113222123112221221321132132211231131122211331121 321232221123113112221131112311332111213211322111213111213211221121332211231 131122211311123113322113221113122113121113222123211211131211121332211213211 321322113311213212312311211131122211213211321223112111311222112111312211312 113221133221121113122113221321132132211231131122211311123113111213211221121 32231121113122113322113111221131221

x(32) 75 chiffres par ligne

111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312212321121 113122112131112131221121321132132211231131122211331121321232221121113122113 121122132112311321322112111312211312111322211213111213122112132113121113222 112132113213221133112132123222112311311222113111231132231121113112221121321 133112132112211213322112111312211312111322212311222122132113213221123113112 221133112132123222112111312211312111322212321121113121112133221121311121312 211213211312111322211213211321322123211211131211121332211213211321322113311 213212312311211131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332 111213122112311311222113223113112221121113122113111231133221121321132122311 211131122211213211321222113222122211211232221121113122113121113222123211211 131211121311121321123113111231131122112213211321322113311213212322211231131 122211311123113223112111311222112132113311213211221121332211211131221131211 132221232112111312111213111213211231132132211211131221232112111312212221121 123222112131112131221121321131211132221121321132132212321121113121112133221 121321132132211331121321132213211231132132211211131221232112111312212221121 123222112132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231232112 311311222112111312211311123113322112132113212231121113112221121321132122211 322212221121123222112311311222113111231133211121312211231131112311211133112 111312211213211312111322211231131122211311123113322113223113112221131112311 332211211131221131211132211121312211231131112311211232221121321132132211331 221122311311222112111312211311123113322112132113213221133122211332111213112 221133211322112211213322112111312211312111322212321121113121112131112132112 311321322112111312212321121113122112131112131221121321132132211231131122211 331121321232221121113122113121122132112311321322112111312211312111322211213 111213122112132113121113222112132113213221133112132123222112311311222113111 221221113122112132113121113222112311311222113111231133211121321132221131211 321122132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231232112311 311222112111312211311123113322112132113212231121113112221121321132122211322 212221121123222112311311222113111231133211121312211231131112311211133112111 312211213211312111322211231131122211311123113322113223113112221131112311332 211211131221131211132211121312211231131112311211232221121321132132211331221 122311311222112111312211311123113322112132113213221133122211332111213112221 133211322112211213322112311311222113111231133211121312211231131112311211133 112111312211213211312111322211231131122111213122112311311222112111331121113 112221121113122113121113222112132113213221232112111312111213322112311311222 113111221221113122112132113121113222112311311222113111231133221121113311211 131122211211131221131112311332211211131221131211132221232112111312111213322 112132113213221133112132113221321123113213221121113122123211211131221222112 112322211231131122211311123113321112132132112211131221131211132221121321132 132212321121113121112133221123113112221131112311332111213211322111213111213 211231131211132211121311222113321132211221121332211211131221131211132221232 112111312111213111213211231132132211211131221232112111312211213111213122112 132113213221123113112221133112132123222112111312211312112213211231132132211

(6)

212322211231131122211311123113223112111311222112132113311213211221121332211 211131221131211132221232112111312111213111213211231132132211211131221232112 111312212221121123222113221113122113121113222123211211131211121311121321123 113213221121113122123211211131221222112112322211213211321322113311213212312 311211131122211213211321322113221321132132211231131122211331121321232221121 113122113121122132112311321322112111312211312113221133211322112211213322112 311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211331121 321132122212211131221131211132221232112111312111213322112132113213221133112 132113221321123113213221121113122123211211131221222112112322211231131122211 311123113321112131221123113111231121113311211131221121321132132211322111312 211213111213122112132113213221123113112221232112111312211322111312211213211 311123113223112111321322123122113222122211211232221121321132132211331121321 231231121113112221121321133112132112312321123113112221121113122113111231133 221121321132122311211131122211213211321322112312321123113213221123113112221 131112311332211211131221131211132211121312211231131112311211232221121321132 132211331221122311311222112111312211311123113322112132113213221133112132123 222112312321123113213221123113112221133112132123222112311311222113111231133 211121312211231131112311211232221121113122113121113222123211211131221132211 131221121321131211132221123113112211121312211231131122113221122112133221121 321132132211331121321231231121113121113122122311311222113111231133221121113 122113121113221112131221123113111231121123222112132113213221133112132123123 112111311222112132113311213211221121332211231232112311321322112311311222113 311213212322211231131122211311123113223112111311222112132113311213211221121 332211231131122211311123113321112131221123113111231121113311211131221121321 131211132221123113112211121312211231131122113221122112133221121113122113121 113222123211211131211121311121321123113213221121113122113121113222113221113 122113121113222112132113213221232112111312111213322112311311222113111221221 113122112132113121113222112311311222113111221132221231221132221222112112322 211213211321322113311213212312311211131122211213211331121321123123211231131 122211211131221232112111312211312113211223113112221131112311332111213122112 311311123112112322211211131221131211132221232112111312211322111312211213211 312111322211231131122111213122112311311221132211221121332211213211321322113 311213212312311211131122211213211331121321123123211231131122211211131221131 112311332211213211321223112111311222112132113212221132221222112112322211231 232112311321322112311311222113311213212322211231131122211311123113223112111 311222112132113311213211221121332211231131122211311123113321112131221123113 112221132231131122211211131221131112311332211213211321223112111311222112132 113212221132221222112112322211231131122211311123113321112131221123113111231 121113311211131221121321131211132221123113112211121312211231131122211211133 112111311222112111312211312111322211213211321322123211211131211121332211231 131122211311122122111312211213211312111322211231131122211311122113222123122 113222122211211232221121113122113121113222123211211131211121311121321123113 213221121113122123211211131221121311121312211213211321322112311311222113311 213212322211211131221131211221321123113213221121113122113121113222112131112 131221121321131211132221121321132132211331121321232221123113112221131112311 322311211131122211213211331121321122112133221121113122113121113222123211211 131211121311121321123113111231131122112213211321322113311213212322211231131 122211311123113223112111311222112132113311213211221121332211231131122211311 123113321112131221123113111231121113311211131221121321132132211322111312211 213111213122112132113212221132221222112112322211231131122211311123113321112 131221123113111231121123222113221113122113121113222123211211131211121311121 321123113213221121113122123211211131221222112112322211213211321322113311213 212312311211131122211213211331121321123123211231131122211211131221131112311 332211213211321322113312211223113112221121113122113111231133221121113122113 121113222123113221231231121123222112111312211312111322211322132113213221133 112132123222112311311222113111231133211121312211231131122111213122112132113 212221132221121321132231131122211211131221131211131231121123221112132113222 11312113211

(7)

311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211312111 322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113122113121113 222112132113213221232112111312111213322112311311222113111221221113122112132 113121113222112311311222113111231133221121113311211131122211211131221131112 311332211211131221131211132221232112111312111213322112132113213221133112132 113221321123113213221121113122123211211131221222112112322211231131122211311 123113321112132132112211131221131211132221121321132132212321121113121112133 221123113112221131112311332111213122112311311123112112322211211133112111311 222112111312211311123113322112111312211312111322111213122112311311123112112 322211211131221131211132221232112111312111213111213211231132132211211131221 232112111312212221121123222112132113213221133112132123123112111311222112132 113213221132213211321322112311311222113311213212322211211131221131211221321 123113213221121113122113121132211332113221122112133221123113112221131112311 332111213122112311311123112111331121113122112132113121113222112311311221112 131221123113112221121113311211131122211211131221131211132221121321132122311 211131122211213211321322113312221131122112211131221131211132221232112111312 111213111213211231132132211211131221232112111312212221121123222112132113213 221133112132123123112111311222112132113213221132213211321322112311311222113 311213212322211211131221131211221321123113213221121113122113121132211332113 221122112133221121321132132211331121321231231121113112221121321133112132112 312321123113112221121113122113111231133221121321132122311211131122211213211 321322112312321123113213221123113112221131112311332211211131221131211132211 121312211231131112311211232221121321132132211331221122311311222112111312211 311123113322112132113213221133122211332111213112221133211322112211213322112 311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211312111 322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113122113121113 222112132113213221232112111312111213322112311311222113111231133211121312211 231131112311211232221132231131122211311123113321112131221123113111231121123 222112111312211312111322212321121113122113221113122112132113121113222112311 311221112131221123113112211322112211213322112132113213221133112132123123112 111312111312212231131122211311123113322112111312211312111322111213122112311 311123112112322211213211321322113311213212312311211131221132231121113311211 131221121321131112311322311211132132212312211322212221121123222112111312211 312111322212321121113121112131112132112311321322112111312212321121113122112 131112131221121321132132211231131122211331121321232221121113122113121122132 112311321322112111312211312111322211213111213122112132113121113222112132113 213221133112132123222112311311222113111231132231121113112221121321133112132 112211213322112111312211312111322212311222122132113213221123113112221133112 132123222112111312211312111322212321121113121112133221121311121312211213211 312111322211213211321322123211211131211121332211213211321322113311213212312 311211131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332111213122 112311311222113223113112221121113122113111231133221121321132122311211131122 211213211321222113222122211211232221121113122113121113222123211211131211121 311121321123113111231131122112213211321322113311213212322211231131122211311 123113223112111311222112132113311213211221121332211211131221131211132221232 112111312111213111213211231132132211211131221232112111312212221121123222112 131112131221121321131211132221121321132132212321121113121112133221121321132 132211331121321132213211231132132211211131221232112111312212221121123222112 132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231232112311311222 112111312211311123113322112132113212231121113112221121321132122211322212221 121123222112311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211 213211312111322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113 122113121113222112132113213221232112111312111213322112311311222113111231133 211121321321122111312211312111322211213211321322123211211131211121332211213 211321322113311213212312311211131221132231121113311211131221222112112322211 213211321322113311213212322211322311311222113111231133211121312211231131112 311211232221121113122113121113222123211211131211121311121321123113213221121 113122113121122132112311321322112311311222113111221132221232221123113112221 132211131221131211132221121321132132211331121321133112111312212221121113221

(8)

x(33) 75 chiffres par ligne

311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211312111 322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113122113121113 222112132113213221232112111312111213322112311311222113111221221113122112132 113121113222112311311222113111231133221121113311211131122211211131221131112 311332211211131221131211132221232112111312111213322112132113213221133112132 113221321123113213221121113122123211211131221222112112322211231131122211311 123113321112132132112211131221131211132221121321132132212321121113121112133 221123113112221131112311332111213122112311311123112112322211211133112111311 222112111312211311123113322112111312211312111322111213122112311311123112112 322211211131221131211132221232112111312111213111213211231132132211211131221 232112111312212221121123222112132113213221133112132123123112111311222112132 113213221132213211321322112311311222113311213212322211211131221131211221321 123113213221121113122113121132211332113221122112133221123113112221131112311 332111213122112311311123112111331121113122112132113311213211321222122111312 211312111322212321121113121112133221121321132132211331121321132213211231132 132211211131221232112111312212221121123222112311311222113111231133211121312 211231131112311211133112111312211213211312111322211231131122111213122112311 311221132211221121332211211133112111311222112111312211311123113322112111312 211312111322111213122112311311123112112322211211131221131211132221232112111 312211322111312211213211312111322211231131122111213122112311311221132211221 121332211211131221131211132221232112111312111213111213211231132132211211131 221232112111312211213111213122112132113213221123113112221133112132123222112 111312211312112213211231132132211211131221131211322113321132211221121332211 213211321322113311213212312311211131122211213211331121321123123211231131122 211211131221131112311332211213211321322113311213212322211322132113213221133 112132123222112311311222113111231132231121113112221121321133112132112211213 322112111312211312111322212311222122132113213221123113112221133112132123222 112111312211312111322212311322123123112111321322123122113222122211211232221 123113112221131112311332111213122112311311123112111331121113122112132113121 113222112311311221112131221123113112221121113311211131122211211131221131211 132221121321132132212321121113121112133221123113112221131112212211131221121 321131211132221123113112221131112311332211211133112111311222112111312211311 123113322112111312211312111322212321121113121112133221121321132132211331221 122311311222112111312211311123113322112132113213221133112132123123112111312 211332211311122113122122111312211312111322212321121113121112131112132112311 321322112111312212321121113122112131112131221121321132132211231131122211331 121321232221121113122113121122132112311321322112111312211312113221133211322 112211213322112132113213221133112132123123112111311222112132113311213211231 232112311311222112111312211311123113322112132113213221133112132123222113221 321132132211331121321232221123113112221131112311322311211131122211213211331 121321122112133221121113122113121113222123112221221321132132211231131122211 331121321232221121113122113121113222123113221231231121113213221231221132221 222112112322211213211321322113311213212312311211131122211213211331121321123 123211231131122211211131221131112311332211213211321223112111311222112132113 213221123123211231132132211231131122211311123113322112111312211312111322111 213122112311311123112112322211213211321322113312211223113112221121113122113 111231133221121321132132211331121321232221123123211231132132211231131122211 331121321232221123113112221131112311332111213122112311311123112112322211211 131221131211132221232112111312211322111312211213211312111322211231131122111 213122112311311221132211221121332211213211321322113311213212312311211131211 131221223113112221131112311332211211131221131211132211121312211231131112311 211232221121321132132211331121321231231121113122113223112111331121113122112 132113111231132231121113213221231221132221222112112322211231131122211311123 113321112131221123113111231121113311211131221121321131211132221123113112211 121312211231131122211211133112111311222112111312211312111322211213211321322 123211211131211121332211231131122211311122122111312211213211312111322211231 131122211311123113322112111331121113112221121113122113111231133221121113122 113121113222123211211131211121332211213211321322113311213211322132112311321 322112111312212321121113122122211211232221123113112221131112311332111213122

(9)

112211322112211213322113223113112221131112311332111213122112311311123112111 331121113122112132113121113222112311311221112131221123113112211322112211213 322112111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312211 312111322211322111312211312111322211213211321322123211211131211121332211231 131122211311122122111312211213211312111322211231131122211311122113222123122 113222122211211232221121321132132211331121321231231121113112221121321133112 132112312321123113112221121113122123211211131221131211321122311311222113111 231133211121312211231131112311211232221121113122113121113222123211211131221 132211131221121321131211132221123113112211121312211231131122113221122112133 221121321132132211331121321231231121113112221121321133112132112312321123113 112221121113122113121113222113223113112221121113311211131122211211131221131 211132221121321132132111213122112311311222113223113112221121113122113311213 211322132112311312111322111213112221133211322112211213322112111312211312111 322212321121113121112131112132112311321322112111312212321121113122112131112 131221121321132132211231131122211331121321232221121113122113121122132112311 321322112111312211312111322211213111213122112132113121113222112132113213221 133112132123222112311311222113111231132231121113112221121321133112132112211 213322112111312211312111322212311222122132113213221123113112221133112132123 222112111312211312111322212321121113121112133221121311121312211213211312111 322211213211321322123211211131211121332211213211321322113311213212312311211 131122211213211331121321122112133221123113112221131112311332111213122112311 311222113223113112221121113122113111231133221121321132122311211131122211213 211321222113222122211211232221121113122113121113222123211211131211121311121 321123113111231131122112213211321322113311213212322211231131122211311123113 223112111311222112132113311213211221121332211211131221131211132221232112111 312111213111213211231132132211211131221232112111312212221121123222112131112 131221121321131211132221121321132132212321121113121112133221121321132132211 331121321132213211231132132211211131221232112111312212221121123222112132113 213221133112132123123112111311222112132113311213211231232112311311222112111 312211311123113322112132113212231121113112221121321132122211322212221121123 222112311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213211 312111322211231131122211311123113322113223113112221131112311332211211131221 131211132211121312211231131112311211232221121321132132211331221122311311222 112111312211311123113322112132113213221133122211332111213112221133211322112 211213322112111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111 312212321121113122112131112131221121321132132211231131122111213122112311311 222113111221131221221321132132211331121321231231121113112221121321133112132 112211213322112311311222113111231133211121312211231131122211322311311222112 111312211311123113322112132113212231121113112221121321132122211322212221121 123222112111312211312111322212321121113121112131112132112311321322112111312 212321121113122112131112131221121321132132211231131122211331121321232221121 113122113121122132112311321322112111312211312113221133211322112211213322112 131112131221121321131211132221121321132132212321121113121112133221121321132 132211331121321132213211231132132211211131221232112111312212221121123222112 132113213221133112132123123112111311222112132113213221132213211321322112311 311222113311213212322211211131221131211221321123113213221121113122113121132 211332113221122112133221121321132132211331121321231231121113112221121321133 112132112312321123113112221121113122113111231133221121321132122311211131122 211213211321322112312321123113213221123113112221131112311332211211131221131 211132211121312211231131112311211232221121321132132211331221122311311222112 111312211311123113322112132113213221133122211332111213112221133211322112211 213322112311311222113111231133211121312211231131112311211133112111312211213 211312111322211231131122111213122112311311222112111331121113112221121113122 113121113222112132113213221232112111312111213322112311311222113111221221113 122112132113121113222112311311222113111231133221121113311211131122211211131 221131112311332211211131221131211132221232112111312111213322112132113213221 133112132113221321123113213221121113122123211211131221222112112322211231131 122211311123113321112131221123113111231121113311211131221121321133112132113 212221221113122113121113222123211211131211121332211213211321322113311213211

(10)

121321231231121113112221121321133112132112312321123113112221121113122113121 113222113223113112221121113311211131122211211131221131211322113321132211221 121332211213211321322113311213212312311211131122211213211331121321122112133 221132231131122211311123113321112131221123113111231121113311211131221121321 131211132221123113112211121312211231131122113221122112133221121113122113121 113222123211211131211121311121321123113213221121113122123211211131221121311 121312211213211321322112311311222113311213212322211211131221131211132221231 122212213211321322112311311222113311213212322211231131122211311123113321112 132113221112131112132112211213322112311311222113111231133221132211131221131 211132221232112111312111213322112132113213221133112132123123112111311222112 132113212231121113112221121113122113121132211332211211131221132213211321322 1123113112221131112311311121321122112132231121113122113322113111221131221