G142. Une partie franco-anglaise

G142. Une partie franco-anglaise

Après bien des péripéties, Jones a réussi à traverser la Manche à bord de l'Eurostar à la rencontre de Puce pour disputer leur traditionnelle partie de dés. Cette année ils jouent avec un dé qui a la forme d'un polyèdre à 2010 faces sur lesquelles sont inscrits les entiers de 1 à 2010. On suppose que le dé est calibré de telle manière que la probabilité d'obtenir à l'issue d'un lancer l'un quelconque des entiers n de l'intervalle [1,2010] est la même pour tout n.

Chacun à tour de rôle lance le dé. Le perdant est celui qui n'améliore pas le score obtenu par le joueur précédent et le gagnant empoche le pot. Jones joue le premier et mise une livre (1£) tandis que Puce mise un euro (1€). Les mises sont-elles équilibrées ?

Nota : on trouve la parité £/€ sans difficulté sur Internet.

Solution proposée par Patrick Gordon

Le nombre 2010 étant grand, on peut sans perdre grand-chose en précision raisonner sur des tirages indépendants et uniformes sur l'intervalle continu [0,1]. L'avantage est que les formules sont très connues et que l'on peut dériver et intégrer.

Le joueur qui s'apprête à jouer le coup (n+1) a pour "record à battre" un nombre aléatoire Yn

dont la loi est celle de la plus grande valeur de n tirages indépendants et uniformes sur l'intervalle [0,1].

On retrouve aisément la loi de Yn. Si la plus grande valeur des n tirages est dans l'intervalle [y, y+dy] c'est qu'il y en a :

n–1 entre 0 et y 1 entre y et y+dy 0 au-delà.

La loi multinomiale (en raison de la densité uniforme sur [0,1]) nous donne pour densité de Y_n : f(y) dy = n y^n-1 dy.

Le jeu s'arrête donc si le joueur ne dépasse pas y, événement dont la probabilité est :

∫01

y f(y) dy = ∫01

n yⁿ dy = n/(n+1).

Le jeu continue donc avec la probabilité 1/(n+1) ou bien le joueur perd (et la partie s'arrête là) avec la probabilité n/(n+1).

Mais, pour que le jeu continue après le coup (n+1), il faut que l'on ait atteint le coup n.

Pour calculer la probabilité que l'on atteigne le coup n, on raisonnera par récurrence.

Soit pn la probabilité que le coup n ait été joué et que la partie ne se soit pas arrêtée là.

La probabilité pn+1 que, le coup (n+1) une fois joué, la partie continue est, on l'a vu : 1/(n+1).

Il en résulte la relation de récurrence :

pn+1 = pn /(n+1).

Or p1 = 1. Donc : pn = 1/n!

On remarquera que la somme des p_n n'est pas égale à 1. Les événements dont ils sont les probabilités ne sont, en effet, pas mutuellement exclusifs : si la partie 7 a été jouée, l'a partie 4 l'a été aussi, etc.

En outre, p_n n'est – rappelons-le – que la probabilité que le coup n ait été joué et que la partie ne se soit pas arrêtée là. On peut alors jouer le coup (n+1). Le joueur dont c'est le tour peut alors perdre avec une probabilité (comme nous l'avons vu) n/(n+1).

Nous disposons désormais de tous les éléments pour calculer la probabilité que Jones (qui commence) ou Puce (qui joue en second) gagne ou perde.

Jones ne peut évidemment pas perdre au coup 1.

Il peut perdre au coup 3 (attention : avec nos notations c'est (n+1) qui vaut 3 donc n = 2) avec la probabilité p₂ × 2/3. Il peut aussi perdre au coup 5 (n = 4) avec la probabilité p₄ × 4/5, etc.

Au total donc, la probabilité que Jones perde est :

p2 × 2/3 + p4 × 4/5 +… = 1/2!× 2/3 + 1/4!× 4/5 +… = 2/3! + 4/5! +…

De la même manière, on établit aisément que la probabilité que Puce perde est : 1/2! + 3/4! +…

À titre de vérification, additionnons ces deux probabilités et assurons nous que leur somme vaut 1.

Il vient :

1/2! + 2/3! + 3/4! +…

Cette série est la valeur que prend pour x=1 la fonction : 1/2! + 2x/3! + 3x²/4! +…

Or cette fonction est la dérivée de : x/2! + x²/3! + x³/4! +…

laquelle n'est autre que : (e^x – 1) / x.

La dérivée de cette dernière fonction est :

[(x–1) e^x + 1] / x²

qui prend bien la valeur 1 pour x = 1.

Reste à calculer les probabilités respectives que Jones et Puce gagnent.

Pour Jones c'est – on l'a vu : 1/2! + 3/4! +…

Cette forme suggère que l'on recoure cette fois au développement en série de cos x : cos x = 1 – x²/2! + x⁴/4! –…

En prenant garde aux signes car cette série est alternée, on établit que Jones (qui commence) gagne avec la probabilité 1 – 1/e = 0,63212 et Puce donc avec la probabilité 1/e = 0,36788.

Si Jones gagne, il empoche 1€ et s'il perd il perd 1£. Son espérance de gain est donc : (1 – 1/e) × 1 € – 1/e × 1£

Si Puce gagne, il empoche 1£ et s'il perd il perd 1€. Son espérance de gain est donc : 1/e × 1£ – (1 – 1/e) × 1€

c’est-à-dire l'opposé (le jeu est à somme nulle).

Jones gagne donc à ce marché si [1 – 1/e] / [1/e] > 1£ / 1€

Les mises ne sont pas équilibrées aussi longtemps que la parité £/€ ne dépasse pas : [1 – 1/e] / [1/e] = e – 1 = 1,71828.

Au cours actuel (janvier 2010) Jones y gagne largement.