G142 : Une partie franco-anglaise
Après bien des péripéties, Jones a réussi à traverser la Manche à bord de l'Eurostar à la rencontre de Puce pour disputer leur traditionnelle partie de dés.Cette année ils jouent avec un dé qui a la forme d'un polyèdre à 2010 faces sur lesquelles sont inscrits les entiers de 1 à 2010.
On suppose que le dé est calibré de telle manière que la probabilité d'obtenir à l'issue d'un lancer l'un quelconque des entiers n de l'intervalle [1,2010] est la même pour tout n. Chacun à tour de rôle lance le dé. Le perdant est celui qui n'améliore pas le score obtenu par le joueur précédent et le gagnant empoche le pot. Jones joue le premier et mise une livre (1£) tandis que Puce mise un euro (1€). Les mises sont elles équilibrées ?
Nota : on trouve la parité £/€ sans difficulté sur Internet.
Avec un dé à n faces, soit P(k) la probabilité de gagner si le tirage précédent est k. La probabilité de Jones de gagner est P(0). On a alors P(k)=∑(1-P(i))/n pour k<i≤n. Donc P(k-1)=P(k)+(1-P(k))/n=1/n+(1-1/n)P(k)
P(n)=0, P(n-1)=1/n=1-(1-1/n), P(n-2)=2/n-1/n2=1-(1-1/n)2, et, par une récurrence immédiate, P(k)=1-(1-1/n)n-k(car alors P(k-1)=1/n+(1-1/n)(1-1/n)n-k = 1-(1-1/n)n-k+1) Donc P(0)=1-(1-1/n)n qui pour n assez grand est très proche de 1-1/e=0,632 ; l’espérance de gain de Jones est alors E=(1+t)P(0), si t est la parité €/£ que nous prendrons égale à 0,886: on trouve alors que E=1,19, donc que le pari est avantageux pour Jones, qui profite manifestement de la dégringolade de la livre sterling.
