G142. Une partie franco-anglaise

G142. Une partie franco-anglaise

Si G désigne l’évènement « gagner » et D_i « la valeur du dé est i», alors en conditionnant selon la valeur du premier lancer de dé (celui de Jones) et en utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons p =

2010

X

i=1

P(D_i)p_i oùp = P(G), P(Di) = ₂₀₁₀¹ le dé étant supposé parfait, et pi =P(G\Di) désigne la probabilité de gagner avec un dé de valeuri.

En conditionnant selon la valeur du deuxième lancer de dé (celui de Puce) et en utilisant à nouveau la formule des probabilités totales, nous obtenons 1−pi=

2010

X

j=i+1

P(Dj)pj.En effet, pouri6= 2010,Jones perd (Puce gagne) avec la probabilitépj lorsque le dé de Puce indiquei+ 16j62010.Pouri= 2010, la valeur maximale étant atteinte,p2010= 1,et la relation est encore valable.

D’où pour i 6= 2010, pi+1−pi = ^p₂₀₁₀ⁱ⁺¹, c’est-à-dire pi = 1−₂₀₁₀¹

pi+1, et finalementp_i= 1−₂₀₁₀¹ 2010−i

pour 16i62010. Ainsip=

2010

X

i=1 p_i

2010 = 1− 1−₂₀₁₀^{1 2010}

≈1−¹_e≈0,63.

Jones peut donc espérer gagnerp−(1−p)t≈0,22 € oùt ≈1,11 est le taux de change £/€. Les mises sont déséquilibrées et le jeu favorable à Jones.

Remarque : selon Wikipedia « Le 29 décembre 2008, la livre sterling est tombée à son plus bas historique face à l’euro en reculant à 1,0205 euro pour une livre, un seuil jamais atteint dans l’histoire de la monnaie britannique. »

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