1 G 142 : Une partie franco-anglaise
Les mises ne sont pas équilibrées. Les règles du jeu sont en faveur de Jones. Il bénéficie d’une espérance de gain supérieure à celle de Puce.
Ce résultat découle de la parité de change entre la livre et l’euro, et de la probabilité de gain de Jones et de Puce.
1 livre vaut 1,43 euros.
La probabilité de gagner au jeu est de 0,6322 pour le joueur qui commence (Jones). Elle est de 0,3678 pour le joueur qui joue en second (Puce).
La probabilité que Jones gagne est plus grande que celle de Puce. Il est donc normal que Jones mise plus. Mais la parité entre la livre et l’euro n’est pas suffisante.
Si on ramène tout en euro.
Jones mise 1,43 euros. Puce mise 1 euro. La mise totale en jeu est donc 2,43 euros.
L’espérance de gain de Jones est 2,43*0,6322 = 1,54 euros. C’est supérieur à sa mise de 1,43 euros. En moyenne, Jones gagne 0,11 euro par partie et donc Puce perd la même somme en moyenne à chaque partie.
Pour que la mise soit équilibrée, il faudrait que le taux de change compense exactement le rapport de probabilité de gain. C'est-à-dire 0,6322/0,3678 = 1,72.
Maintenant, il faut montrer comment sont calculées les probabilités de gain et de perte pour chaque joueur.
Je note :
N le nombre de faces du dé, N=2010.
Qi(n) la probabilité que le résultat du tirage du dé soit « n » à l’issu du tirage numéro i.
Ai la probabilité que le joueur perde au tirage i.
Ci la probabilité que le joueur gagne (cad continue) au tirage i.
Toutes ces quantités peuvent être calculées par récurrence. Le jeu comporte au maximum N+1 tirages. C’est le cas extrême. Le premier tirage donne 1, le second 2, et ainsi de suite. Le Nième tirage donne N. Le N+1ième tirage est forcement perdant, puisqu’il n’est pas possible d’obtenir plus que N avec un dé à N faces.
Qi(n), Ai et Ci peuvent être calculés en fonction de Qi-1(n).
Cas du premier tirage : ce tirage est toujours gagnant par définition.
Q1(n) = 1/N pour tout n de 1 à N A1 = 0
C1 = 1
Cas d’un tirage suivant : on connaît Qi-1(n).
On peut remarquer que à l’issu du tirage « k », la probabilité d’avoir tirer n=k est nulle si n<k.
En effet, il faut tirer un nombre toujours plus grand à chaque tirage. Il faut donc avoir tirer au pire 1, 2, …et k au kième tirage. Dans le cas général, le nombre est plus grand que « k ».
Le calcul Ci et Ai se fait grâce aux probabilités conditionnelles.
Le jeu continue si on tire « n » et que le tirage précédent était inférieur à « n ».
2 N
n n N nQ
n Q n N N
j N Q
Qi i
N
n
N
n i i
N
n n
j i
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 ( ) 1
1 ) ( ) 1 (
)
1 (
1
ni est la moyenne du nombre sortie au tirage précédent.
Ai = 1 – Ci = N ni1
nouvelle répartition des probabilités de tirage :
1
1
1( ) ) 1
(
n
j
i j
N Q n Qi
puis il faut normaliser la nouvelle densité de probabilité de manière à ce que :
N j i j Q
1
1 ) (
Cas du Nième tirage :
QN-1(n) = 0 sauf QN-1(N-1) et QN-1(N).
Pour ne pas perdre il faut tirer N obligatoirement.
AN = (N-1)/N CN = 1/N
Cas du N+1ième tirage : QN(n) = 0 sauf QN(N)=1.
Le dernier tirage a donné obligatoirement N. le tirage suivant est forcement perdant.
AN = 1 CN = 0
Le calcul des distributions de probabilité Qi(n), Ai et Ci se fait de manière numérique.
Je note :
Gi la probabilité que le jeu continue à l’issu du tirage i.
Pi la probabilité que le jeu s’arrête à l’issu du tirage i.
Gi et Pi sont calculés par récurrence à partir de Ai et Ci.
G1 = C1 = 1 et Gi = Gi-1 * Ci pour i de 2 à N+1 P1 = A1 = 0 et Pi = Gi-1 * Ai pour i de 2 à N+1
On peut vérifier que la somme de toutes les probabilités de perdre est bien égale à 1.
1
1
1
N
i
Pi
Le joueur qui commence joue tous les coups impairs.
La probabilité qu’il perde est donc : PJ1 = P1 + P3 + P5 + … P2i+1 Le joueur qui joue en second joue tous les coups pairs.
La probabilité qu’il perde est donc : PJ2 = P2 + P4 + P6 + … P2i
3 Il faut faire attention au dernier cas PN+1. Car N+1 est pair ou impair selon la valeur de N.
Le calcul de Gi, Pi, PJ1 et PJ2 se fait de manière numérique.
Dans le cas ou N = 2010, on trouve PJ1 = 0,3678 PJ2 = 0,6322 Les nombres sont inversés pour la probabilité de gagner.
Exemple de résultat pour N=6 :
Densité de probabilité Qi(n) : i est le tirage, n est le résultat du tirage.
tirage\résultat 1 2 3 4 5 6
1 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667
2 0 0,0667 0,1333 0,2 0,2667 0,3333
3 0 0 0,05 0,15 0,3 0,5
4 0 0 0 0,0667 0,2667 0,6667
5 0 0 0 0 0,1667 0,8333
6 0 0 0 0 0 1
7 0 0 0 0 0 0
Probabilité de gain et de perte :
probabilité de perdre
tirage\résultat C A G P premier second
1 1,000 0,000 1,0000 0,0000 0,0000
2 0,417 0,583 0,4167 0,5833 0,5833
3 0,222 0,778 0,0926 0,3241 0,3241
4 0,125 0,875 0,0116 0,0810 0,0810
5 0,067 0,933 0,0008 0,0108 0,0108
6 0,028 0,972 0,000021 0,000750 0,000750
7 0,000 1,000 0,000000 0,000021 0,000021
somme 1,000 0,335 0,665
