Une partie franco-anglaise
Problème G142 de Diophante
Après bien des péripéties, Jones a réussi à traverser la Manche à bord de l'Eurostar à la rencontre de Puce pour disputer leur traditionnelle partie de dés.Cette année ils jouent avec un dé qui a la forme d'un polyèdre à 2010 faces sur lesquelles sont inscrits les entiers de 1 à 2010. On suppose que le dé est calibré de telle manière que la probabilité d'obtenir à l'issue d'un lancer l'un quelconque des entiers n de l'intervalle [1,2010] est la même pour tout n. Chacun à tour de rôle lance le dé. Le perdant est celui qui n'améliore pas le score obtenu par le joueur précédent et le gagnant empoche le pot. Jones joue le premier et mise une livre (1£) tandis que Puce mise un euro (1€ ). Les mises sont-elles équilibrées ?
Nota : on trouve la parité £/€ sans difficulté sur Internet.
Solution
La probabilité pour qu’une partie dure au moins k coups est : Pk = ( 2010*2009* … *(2011 –k) / k ! ) / 2010k
Le numérateur est le nombre de k-uplets injectifs ordonnés et le dénominateur le nombre de k-uplets possibles.
Les nombres πk = Pk – Pk+1 expriment donc les probabilités que la partie dure exactement k coups. Calculons les pour les premières valeurs de k.
k Pk πk
1 1 0,50025
2 0,49975 0,33333 3 0,16642 0,12488 4 0,04154 0,03325 5 0,00829 0,00691 6 0,00138 0,00118 7 0,00020 0,00017 8 0,00002 0,00002
La probabilité de gain de Jones est GJ = π1 + π3 + π5 + π7 + … et celle de Puce GP = π2 + π4 + π6 + π8 + … soit respectivement 0,6322 et 0,3678
Les mises seraient équilibrées si la parité £ / € valait GJ / GP = 1,719.
Aujourd’hui, c’est loin d’être le cas. L’anglais est avantagé (comme d’habitude).
