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D655 - Les petits dans les grands

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Patrick Gordon Soit un carré ABCD de côté 1.

Q₁ - On veut construire à la règle un carré concentrique de ABCD et d’aire p fois plus petite (p entier) et dont les pentes des côtés sont des nombres rationnels. Démontrer qu’il existe une infinité de solutions en p.

Q₂ - On veut construire à la règle un carré concentrique de ABCD et de côté q fois plus petit (q entier) et dont les pentes des côtés sont des nombres rationnels. Démontrer qu’il existe une infinité de solutions en q.

Q1 : Les points situés à la distance 1/x des sommets opposés sur les cotés opposés déterminent avec les sommets restant une bande d’aire 1/x, le carré de la distance entre les cotés parallèle est (1/x)2/(1+(1-1/x)2=1/(2x2-2x+1) soit l’aire du carré.

Si 2x2-2x+1=p ; d2=1+2(p-1) doit être un carré impair, soit p=(d2-1)/2+1, donc p=5, 13, 25,... et x=(1+d)/2 = 2, 4, 6,...

Q2 : Si le coté est q fois plus petit, l’aire sera q2 fois plus petite, soit avec les mêmes notations que ci-dessus, q2=(d2-1)/2+1 soit d2-2q2+1=0, équation de Fermat-Pell qui admet une infinité de solutions, la première étant (q, d)=(5, 7) puis (29, 31), etc...

Le couple suivant (q, d) étant (2d+3q, 3d+4q).

D655 - Les petits dans les grands

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