J140 ‒ Une grille magique
Problème proposé par Michel Lafond
Comment remplir toutes les cases de la grille 13 × 16 ci-dessous avec des nombres entiers dont quinze au moins sont distincts de sorte que dans quatre cases qui forment un carré (en jaune), une barre verticale (en vert), une barre horizontale (en bleu) ou qui sont placées en diagonale (en rose ou en violet) ou qui comme en bas à droite (en rouge) sont aux sommets d'un carré 4 × 4, n’importe où dans la grille, la somme des quatre nombres est toujours égale à 2016.
Solution proposée par l'auteur:
On pense au carré diabolique d’ordre 4 :
Ce carré est diabolique dans le sens où la constante C = 34 est réalisée pour toutes les sommes lignes, colonnes et diagonales, même brisées comme 15 + 5 + 2 + 12 = 34.
Donc ce carré peut être vu comme un tore T34, et être étendu au plan tout entier :
De plus, les carrés (en grisé ci-dessus) ont toujours une somme égale à C.
Les contraintes de l’énoncé sont donc satisfaites, sauf que la constante vaut 34 au lieu de 2016.
Qu’à cela ne tienne.
Si on ajoute dans chaque case , les propriétés diaboliques seront conservées, mais avec la constante 2016.
On obtient alors le carré (étendu au plan entier) T2016 : 1 15 10 8 14 4 5 11
7 9 16 2 12 6 3 13
T34
1 15 10 8 1 15 10 8 14 4 5 11 14 4 5 11
7 9 16 2 7 9 16 2 12 6 3 13 12 6 3 13
1 15 10 8 1 15 10 8 14 4 5 11 14 4 5 11
7 9 16 2 7 9 16 2 12 6 3 13 12 6 3 13
On veut des nombres entiers.
Pour cela, on remarque que le carré T0 ci-dessous est diabolique (après extension au plan tout entier) avec une constante égale à 0, puisque dans tous les quadruplets qui nous intéressent, il y a exactement deux fois – 1 et deux fois + 1.
Or les propriétés diaboliques sont conservées par addition (matricielle) et multiplication scalaire.
Donc le carré ci-dessous respectera toutes les conditions, y compris la présence de 15 entiers distincts {496, 497, 498, 499, 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, 509, 510, 511, 512} :
T2016
496,5 510,5 505,5 503,5 496,5 510,5 505,5 503,5 509,5 499,5 500,5 506,5 509,5 499,5 500,5 506,5 502,5 504,5 511,5 497,5 502,5 504,5 511,5 497,5 507,5 501,5 498,5 508,5 507,5 501,5 498,5 508,5 496,5 510,5 505,5 503,5 496,5 510,5 505,5 503,5 509,5 499,5 500,5 506,5 509,5 499,5 500,5 506,5 502,5 504,5 511,5 497,5 502,5 504,5 511,5 497,5 507,5 501,5 498,5 508,5 507,5 501,5 498,5 508,5
T0
-1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1
496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 501 506 510 499 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 512 497 503 504 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 498 509 507 502 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511 505 504 496 511
