E345 : une analyse sur le cas général
Description du problème :
Soient a, b, c trois nombres, positifs ou nuls, dont on sait que l’un d’entre eux est la somme des deux autres.
Soient aussi 3 joueurs A, B et C, à qui on attribue respectivement les nombres a, b, c.
Chaque joueur n’a connaissance que des nombres attribués aux deux autres joueurs.
L’ordre de passage est “A, B, C, A, B, C, A, ….”
A chaque tour, le joueur dont c’est le tour de passer indique s’il connaît, ou non, la valeur de son nombre, et on recommence.
Objectif :
1. prouver que le problème s’arrête toujours, quels que soient a, b, c
2. donner une méthode de construction den, le nombre d’étapes nécessaires pour arriver à l’arrêt.
Prenons a, b, c premiers entre eux. S’ils ne le sont pas, on peut toujours les diviser par leur PGCD sans changer le problème.
Uneaffirmation impossibleest un triplet (x,y,z) tels que “a=x, b=y, c=z” est impossible.
Considérons le joueur A. Pour chaqueaffirmation impossibledont il dispose, il peut au choix
● trouver la solution ⇒ c’est que les deux nombres y et z correspondent à ce que sont effectivement b et c. x = |y-z| est impossible ⇒ a = y+z
● ne pas trouver la solution ⇒ c’est que y et/ou z ne collent pas à ce que sont effectivement b et c. Par conséquent (y+z, y, z) devient une nouvelleaffirmation impossiblequ’il peut communiquer aux autres joueurs (en disant “je ne sais pas”).
En prenant la partie en sens inverse :
- le joueur avec le nombre le plus grand (disons, A) peut trouver à condition que (a’=|b-c|, b, c) soit uneaffirmation impossible
- le plus grand parmi les deux autres (disons, B) peut transmettre l’affirmation
impossible(a’=|b-c|, b, c) s’il dispose de l’autreaffirmation impossiblesuivante : (a’,
|a’-c|, c) - etc…
Prouvons tout d’abord que cette chaîne finit par s’arrêter.
1. Les nombres de chaque triplé sont premiers entre eux.
Preuve : on démarre avec 3 nombres premiers entre eux. A l’étape suivante, on remplace le plus grand par la différence des deux autres. Eux-mêmes sont premiers entre eux ⇒ ils sont donc premiers avec leur différence
2. A une étape donné, aucun nombre ne vaut 0, sauf si les deux autres valent tous deux 0 ou 1
Preuve : toute nouvelle valeur introduite dans un triplet est la différence des deux autres (cf. plus haut); et donc lorsqu’une étape fait intervenir la valeur 0 la première fois, c’est que les deux autres valeurs étaient égales (et de différence nulle).
Puisqu’elles sont premières entre ellesetégales, elles sont donc toutes deux égales à 0 ou 1
Note : le cas “0” signifie que tous les nombres sont nuls. Dans ce cas, le premier joueur est capable d’arrêter la partie dès son démarrage, on considère donc uniquement l’autre cas.
3. La séquence de triplés finira toujours sur (1, 1, 0), (1, 0, 1) ou (0, 1, 1).
Preuve : on considère la suite “plus grand élément de chaque triplé de la séquence”.
Tant qu’il est supérieur à 1:
- aucune des deux autres valeurs n’est nulle (cf. résultat 2)
⇒ cet élément est remplacé par un autre, strictement plus petit
- et il est strictement supérieur aux deux autres (cf. résultat 1, puisque premiers entre eux)
⇒ le nouveau “plus grand élément du triplé” est nécessairement inférieur au précédent.
On a donc une suite d’entiers, strictement décroissante, minorée par 1 ⇒ elle tend nécessairement vers 1, seule condition qui invalide notre hypothèse de
“décroissance stricte”.
(1, 1, 0) et (1, 0, 1) sont les deux informations que A donne aux autres au premier tour, (0, 1, 1) est une de celles que B donne au second tour ⇒on arrive donc toujours sur un triplé qui peut arriver au cours de la partie, et donc la chaîne peut se remonter jusqu’au bout.
Application à E345, où les valeurs sont 95, 38 et 57 a. on divise par 19, leur PGCD : 5, 2, 3
b. le premier triplé en cause serait donc 1, 2, 3
A B C joueur qui
donne l’information
Tour
5 2 3 A - FIN 4
1 2 3 C 3
1 2 1 B 2
1 0 1 A 1
● Le joueur qui donne l’information est A ou B, pour la dernière ligne.
● Pour les autres valeurs de cette colonne : c’est le joueur qui a la plus grande valeur
● Pour le tour : on démarre tout en bas à 1 si le joueur est A, 2 si c’est B; et on remonte : +1 si le joueur qui parle est tout de suite après le précédent, +2 si c’est
celui d’encore après (le joueur qui a parlé entre les deux n’a pas donné d’information pertinente).
Application numérique : les trois nombres sont 102, 222 et 120.
PGCD : 6, triplé : (17, 37, 20)
A B C joueur tour
17 37 20 B 17
17 3 20 C 15
17 3 14 A 13
11 3 14 C 12
11 3 8 A 10
5 3 8 C 9
5 3 2 A 7
1 3 2 B 5
1 1 2 C 3
1 1 0 A 1
B pourra donc donner son résultat au 17ème tour(qui est bien un tour où il a la parole, après 5 tours complets sur les trois joueurs, plus une fois A et une fois B)
