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mathsbdp.fr eeeespace_ space_ space_uuuutilisation_repère space_ tilisation_repère tilisation_repère tilisation_repère
On considère un tétraèdre ABCD.
Soient E le milieu du segment [AC], F le milieu de [DC] et G le point vérifiant %&'''''( =*+%,'''''(.
1) Dans le repère de l'espace (1 ; 1%'''''( ;13'''''( ;14'''''(), déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G.
1( 0 ; 0 ; 0 ); % ( 1 ; 0 ; 0 ); 3 ( 0 ; 1 ; 0 ); 4 ( 0 ; 0 ; 1 )
E milieu de [AC] donc 6 7 89
:;:
:;<* :;:*
* =
>? = @ 0 0,50 B
F milieu de [DC] donc , 7 89
:;:
:;<*
<;:*
* =
>? = @ 0 0,50,5B
%&
'''''( @C − 1 E − 0
F − 0B = @C − 1
EF B ;*+%,'''''(
7 89
*
+×(−1)
*
+×0,5
*
+×0,5 =
>? = 7 89−*+
<
+<
+ =
>? donc
HI J
IKC = −*+ + 1 = <+ E = <+
F = <+
& (<+;<+ ;<+ )
2) Soit le point K défini par 1%'''''( + 14'''''( = 1O'''''(.
Démontrer que les points E, G et K sont alignés.
1O'''''( = 11%'''''( + 114'''''( donc dans le repère (1 ; 1%'''''( ; 13'''''( ;14'''''(), on a O ( 1 ; 0 ; 1 )
6&
'''''(
7 89
<
+ − 0
<
+ − <*
<
+ − 0=
>? = 7 89
<
+
−<Q
<
+ =
>? ; 6O'''''( R 1
−<* 1
S
On a la relation 36&'''''( = 6O'''''(
donc les vecteurs 6&'''''( et 6O'''''( sont colinéaires et de même origine donc les points E, G et K sont alignés.
