EQUATIONS DIFFERENTIELLES-1°ORDREET2°ORDRE-BTS -1°ANNEE

(1)

Equations différentielles première partie BTS1GO révision

Dans une équation différentielle l’inconnue est une fonction, notée y en général.

L’équation est dite différentielle car elle fait intervenir les dérivées successives de la fonction y.

Rappelons en effet que la dérivée est associée à un taux, qui est lui-même une différence (quotient des variations de y sur variation de x) : d’où le terme différentiel.

Résoudre l’équation différentielle y'= a y + bc’est trouver toutes les fonctions f dérivables sur _ telles que pour tout x, f'(x)= a f(x)+ b où a et b sont deux constantes (indépendant de x).

Précisons aussi que l’équation y'= a y + b est dite du premier ordre car elle fait intervenir seulement la dérivée première.

1 ) RESOLUTON DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE : y'a y (a ) ( a ≠ 0 )

Propriété :Cette équation (que l’on peut trouver également sous la forme ^y^'^^{a y}) admet pour solutions l’ensemble des fonctions f définies sur _ par f x( )Ce^ax, où C est une constante arbitraire réelle.

Preuve :

- Pour toute constante réelle C, la fonction f x( )Ce^axest bien solution de y'-ay = 0 (il suffit de vérifier que pour tout x réel, ^{f x}^{'( )}^^{af x}^{( ) 0}^ )

- Soit g une solution quelconque de (E ), alors si on pose( )x g x e( ) ^^ax, on montre que

'( )x g x e'( ) ^âxag x e( ) ^âx [ '( )g x ag x e( )] ^âx0, donc est une fonction constante = C, donc ( )x g x e( ) ^âx  C g x( )Ceâx. Ainsi toutes les solutions de (E) sont de la forme xg x( )Ceâx avec C

B ) CONDITION INITIALE

Propriété 2 :Pour tout couple de réel ( x0 ; y0 ) , l'équation y ' = a y ( a ≠ 0 ) admet une solution et une seule telle que f x_C( )0 y0

Preuve : f x_C( )0 y0 ^ ^{C e}^{a x}⁰^^y₀. Ainsi il n'y a qu'une seule

valeur possible pour C et ^C ^^e^^{a x}⁰^y₀ . La fonction f est donc définie sur _ par ^{f x}^{( )}^^{y e}₀ ^{a x x}⁽ ^ ⁰⁾ Remarques :

• La constante C peut être nulle. On obtient la solution "nulle" : f = 0 sur _ qui est une solution évidente De l'équation différentielle.

• On a démontré que si ^{f x}₀^{( )} est une solution non identiquement nulle (sur _ ) de l'équation différentielle, toutes les autres solutions f sur _ sont des multiples de ^{f x}₀^{( )} .

2

) RESOLUTION DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE : y' = a y + b ( a ≠ 0 ), b réel

Propriété : ^ Les fonctions solutions de l'équation différentielle y' = a y + b ( a  *, b ) est l'ensemble des fonctions de a forme ^{a x} b

f(x)=C e -

aavec C .

Etant donné un couple de réels ( ; ), Il existe une unique fonction dérivable f telle que y' = a y + b ( a  , b ) vérifiant y (  ) = C est alors fixé par cette condition initiale.

solution particulière

Il existe une unique fonction constante solution de (E1), en effet, la dérivée d'une fonction constante étant nulle, en remplaçant dans (E1) on obtient : 0 – a y = b ou encore ^y^{ }^{b a}^/ ^^ ou b = – a α

Preuve : a ≠ 0 , l’équation ^y^'^^{a y b}^ est donc équivalente à ^y^'^^{a y b a}⁽ ^ ^{/ )}. Si on note ^z^{ }^{y b a}^/ , alors z’ = y’ et l’équation devient : z’ = a z .

Les solutions de cette deuxième équation sont les fonctions ^g_C de la forme g_C( )x Ce^axoù C ^_ . Les solutions de ^y^'^^{a y b}^ sont donc les fonctions ^f_c telles que fC^{( )}x b a^/ gC^{( )}x ,

(2)

c’est à dire f_C( )x Ce^axb a/ où C ^_

B ) CONDITION INITIALE

Propriété : Pour tout couple de réel ( x0 ; y0 ) , l'équation y'= a y + b ( a ≠ 0 ) admet une solution et une seule telle que f x_C( )0 y0

Preuve : f x_C( )0  y0  y₀ Ce^{a x}⁰ b a/  y₀ b a Ce/  ^ax⁰ ^ ^C ^⁽^y₀ ^^{b a e}^{/ )} ^{a x}⁰ Ainsi il n'y a qu'une seule valeur possible pour C et^C ^⁽^y₀ ^^{b a e}^{/ )} ^{a x}⁰ . La fonction f est donc définie sur _ par ^{f x}^{( )}^⁽^y₀ ^^{b a e}^{/ )} ^{a x x}⁽ ^ ⁰⁾ ^^{b a}^/ . Equations différentielles du type : y'- a y = h(x) (E2)

Solution particulière :

On détermine une solution particulière de l'équation (E2). En général, celle-ci est donnée, on a alors sa forme est donnée. Soit g cette fonction particulière.

Solution générale

Soient f et g deux solutions de (E2), on a f x'( )af x( )h x( ); g x'( )ag x( )h x( ) .en effectuant la différence membre à membre on obtient : f x'( )g x'( )a f x( ( )g x( )) 0 ; (f g x) '( )a f( g x)( ) 0 .

f g est solution de (E0) . f x( )g x( )Ce^ax ; f x( )Ce^axg x( ).

y' – a y = h(x) (E2)  y(x) = Ce ^{a x} + g(x) avec C réel et g une solution particulière de (E2) 3) L’équation y"+ω y = 0² ( )

Cette équation admet pour solutions l’ensemble des fonctions f de la forme f(x)=Acos(ωx)+Bsin(ωx), où A et B sont des constantes arbitraires réelles.

Equations différentielles avec second membre

Les équations différentielles avec second membre sont des équations différentielles est : y' a y = (x)  ou y"² y = (x) , où est une fonction de ^x.

Dans ce cas , la démarche pour trouver toutes les solutions de l’équation différentielle est : Trouver une solution particulière de l’équation différentielle

Trouver les solutions de l’équation différentielle « avec le second membre nul »( dite « équation homogène »)

Propriété

Les solutions générale de l’équation différentielle avec second membre sont obtenues en ajoutant la solution particulière à l’expression des solutions générales de l’équation différentielle sans second membre

Principe : Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de : a) Résoudre l'équation sans second membre(E')

b) Montrer qu'une fonction g est solution de (E)

c) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (fg) est solution de (E') d) En déduire les solutions de (E) .

Exercice -1

(1) Résoudre l’équation différentielle (E) : y’ = 3y.

(2) Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (2,3).

Exercice -2

(1) Résoudre l’équation différentielle (E) y’ = 2y.

(2) En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d’abscisse 0, une tangente parallèle à la droite d’équation y = -4x+1

exercice 3

a )Résoudre l'équation différentielle y' – 3y = 5x – 1 (E )

b) Déterminez a et b de façon à ce que g définie sur _ par ^{g x}^{( )}^^{a x b}^ soit solution de (E’) c) Montrez que f est solution de (E) si et seulement si (fg) est solution de (E’)

d) Déduisez-en les solutions de (E ) . Exercice 4

Résolution de _y_{' 2}_ _{y e}_ ^x_₃ ( E) a) résoudre^y^{' 2}^ ^y^⁰ (E')

(3)

b) Déterminez a et b de façon à ce que g définie sur _ par _{g x}_{( )}__{a e}^x__b soit solution de (E) c) Montrez que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E ')

d) Déduisez-en les solution s de (E) . Solution3 :

a) On applique la propriété du cour , on trouve que les solutions de (E ') sont les fonctions f xk( )k e³x

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer y par g et d'identifier alors les constantes . Soit g(x) = a x + b g est dérivable sur _ et ^{g x}^{'( )}^^a .

on en déduit que ^{g x}^{'( ) 3 ( )}^ ^{g x} ^{ }^a ^{3 (}^{a x b}^{  }⁾ ³^{a x a}^{ }³^b

g sera donc solution de (E) si ^³^{a x a}^{ }³^b^⁵^x^¹ c'est-à-dire si a et b vérifient : ³ ⁵

3 1

a a b

 

   

 c'est-à-dire pour ^a^{ }⁵₃ et ^b^{ }²₉. On a donc : ^{( )} ⁵ ²

3 9

g x   x

c) fg est solution de (E') :



^{f x}^{( )}^^{g x}^{( ) ' 3}



^



^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}



^{ }⁰



^{f x}^{'( ) 3 ( )}^ ^{f x}

 

^ ^{g x}^{'( ) 3 ( )}^ ^{g x}



^⁰

^



^{f x}^{'( ) 3 ( )}^ ^{f x}

 

^ ^{g x}^{'( ) 3 ( )}^ ^{g x}



^ f x'( ) 3 ( ) 5 f x  x1

(on a g x'( ) 2 ( ) 5 g x  x1car g est solution de l'équation avec second membre) ^f solution de (E) d) f solution de (E)  f gsolution de (E' )  f  g f_k d'après a)  f est définie par

solution 4

a) On applique la propriété du cour , on trouve que les solutions de (E ') sont les fonctions f xk( )k e²x

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer y par g et d'identifier alors les constantes . allons-y : g est dérivable sur _ et _{g x}_{'( )}__{a e}^x

on en déduit queg x'( ) 2 ( ) g x aex2(aexb) 3 aex2b

g sera donc solution de (E) si ₃_ae^x _₂_{b e}_ ^x _₃ c'est-à-dire si a et b vérifient : ^³₂^a_b^¹₃ c'est-à-dire pour ¹

a3 et ³

b2. On a donc : ^{( )} ¹ ²

3 3

g x  ex

c) fg est solution de (E') :



^{f x}^{( )}^^{g x}^{( ) ' 2}



^



^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}



^{ }⁰



^{f x}^{'( ) 2 ( )}^ ^{f x}

 

^ ^{g x}^{'( ) 2 ( )}^ ^{g x}



^⁰

^



^{f x}^{'( ) 2 ( )}^ ^{f x}

 

^ ^{g x}^{'( ) 2 ( )}^ ^{g x}



^ _{f x}_{'( ) 2 ( )}_ _{f x} __e^x_₃

(on a _{g x}_{'( ) 2 ( )}_ _{g x} __e^x_₃car g est solution de l'équation avec second membre) f solution de (E) d) f solution de (E) ^ ^f ^^gsolution de (E' ) ^ ^f ^{ }^g ^f_k d'après a)

f est définie par ^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}^ ^f_k^{( )}^x ^ ^{f x}^{( )}^ ^f_k^{( )}^x ^^{g x}^{( )} ^ ^{f x}^{( )}^^{k e}^²^x^¹₃^e^x^²₃