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Chap.9 :
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU 1
erORDRE
Partie 1 : cas particulier de l’équation homogène 𝒚’ + 𝒂𝒚 = 𝟎
Activité : On considère l’équation différentielle (𝐸): 𝑦,+ 2𝑦 = 0 Les fonctions suivantes sont-elles solutions de (𝐸) ?
𝑓(𝑥) = 3𝑒3 (3𝑒3), = 3𝑒3 donc 3𝑒3 + 2 × 3𝑒3 = 3𝑒3+ 6𝑒3 = 7𝑒3 ≠ 0 Donc 𝑓 n’est pas solution de (𝐸).
𝑔(𝑥) = 𝑒93 (𝑒93), = 2𝑒93 donc 2𝑒93+ 2 × 𝑒93 = 4𝑒93 ≠ 0 Donc 𝑔 n’est pas solution de (𝐸).
ℎ(𝑥) = 4𝑒<93 (4𝑒<93), = 4 × (−2)𝑒<93 = −8𝑒<93 donc −8𝑒<93+ 2 × 4𝑒<93 = 0 Donc ℎ est solution de (𝐸).
On considère un nombre réel 𝑎.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle 𝑦,+ 𝑎𝑦 = 0 est l’ensemble des fonctions définies sur ℝ par : 𝑥 ⟼ 𝑘𝑒<C3 où 𝑘 est un nombre réel quelconque.
Exemples : résoudre les équations différentielles suivantes :
1) 𝑦,+ 3𝑦 = 0 Ici, 𝑎 = 3 donc les solutions sont les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒<D3 avec 𝑘 ∈ ℝ 2) 𝑦,− 2𝑦 = 0 Ici, 𝑎 = −2 donc les solutions sont les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒93 avec 𝑘 ∈ ℝ
3) 4𝑦,+ 4𝑦 = 0⟺ 𝑦,+ 𝑦 = 0 (en divisant tout par 4)
Ici, 𝑎 = 1 donc les solutions sont les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒<3 avec 𝑘 ∈ ℝ
Partie 2 : résolution de l’équation différentielle 𝒚’ + 𝒂𝒚 = 𝒃 (où 𝒂 ≠ 𝟎)
Remarque : la fonction constante 𝑓: 𝑥 ⟼IC est une solution particulière de 𝑦, + 𝑎𝑦 = 𝑏 En effet, sa fonction dérivée est la fonction nulle et 𝑓,(𝑥) + 𝑎 × 𝑓(𝑥) = 0 + 𝑎 ×IC= 𝑏.
On considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 ≠ 0.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle 𝑦,+ 𝑎𝑦 = 𝑏 est l’ensemble des fonctions définies sur ℝ par : 𝑥 ⟼ 𝑘𝑒<C3+IC où 𝑘 est un nombre réel quelconque.
Remarque : l’ensemble des solutions de l’équation différentielle 𝑦,+ 𝑎𝑦 = 𝑏 est en fait l’ensemble des fonctions définies comme la somme des fonctions solutions de l’équation homogène 𝑦,+ 𝑎𝑦 = 0 et d’une solution particulière de cette équation différentielle.
Exemples : résoudre les équations différentielles suivantes : 1) 𝑦,− 3𝑦 = 5 Ici, 𝑎 = −3 et 𝑏 = 5
Donc les solutions sont les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒D3−LD avec 𝑘 ∈ ℝ 2) 𝑦, = −6𝑦 + 4 ⟺ 𝑦,+ 6𝑦 = 4. Ici, 𝑎 = 6 et 𝑏 = 4.
Donc les solutions sont du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒<N3+O
N = 𝑘𝑒<N3 +9
D (𝑘 réel) 3) 𝑦,− 5𝑦 − 3 = 0 ⟺ 𝑦,− 5𝑦 = 3. Ici, 𝑎 = −5 et 𝑏 = 3.
Donc les solutions sont les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒L3−DL avec 𝑘 ∈ ℝ
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Partie 3 : solution vérifiant une condition initiale
On considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 ≠ 0.
L’équation différentielle 𝑦, + 𝑎𝑦 = 𝑏 admet une unique fonction solution définie sur ℝ vérifiant une condition initiale donnée.
Exemples :
1) Déterminer la fonction 𝑓 solution de l’équation différentielle 𝑦,+ 𝑦 = −2 telle que 𝑓(0) = 5
• Ici, 𝑎 = 1 et 𝑏 = −2.
Donc les solutions sont les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒<3−9
Q = 𝑘𝑒<3− 2 avec 𝑘 ∈ ℝ
• Or 𝑓(0) = 5 donc 𝑘𝑒<R− 2 = 5 ⟺ 𝑘 − 2 = 5 ⟺ 𝑘 = 5 + 2 = 7 Donc la solution de l’équation différentielle est 𝑓(𝑥) = 7𝑒<3− 2
2) Résoudre l’équation différentielle 𝑦, − 5𝑦 = 3 puis déterminer la solution 𝑔 telle que 𝑔(ln 4) = 50.
• Ici, 𝑎 = −5 et 𝑏 = 3.
Donc les solutions sont du type 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑒L3+<LD = 𝑘𝑒L3−DL avec 𝑘 ∈ ℝ
• Or 𝑔(ln 4) = 5 donc 𝑘𝑒L UV O−DL= 5 ⟺ 𝑘𝑒UV OW = 5 +DL =9XL ⟺ 𝑘 × 4L =9XL ⟺ 1024𝑘 =9XL ⟺ 𝑘 =QR9O×L9X =LQ9R9X =Q9XRY Donc la solution de l’équation différentielle est 𝑓(𝑥) =Q9XRY 𝑒L3−DL
