METHODES DE RESOLUTION
DE QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Sont présentées dans ce document les techniques de résolution de quelques équations différentielles réelles caractéristiques couramment rencontrées en sciences physiques.
Les méthodes sont généralisables aux fonctions complexes.
I- Equations différentielles du premier ordre
On se limitera ici aux équations différentielles à coefficients constants du type : )
t ( F ) t ( x dt .
) t (
dx +λ = (1) avecλ∈ℜ et F(t) une fonction de t
1- Equation avec second membre constant On pose ici F(t) = A = constante.
La solution x(t) de l’équation différentielle (1) est la somme :
- de la solution générale x0(t) de l’équation différentielle homogène .x (t) 0 dt
) t ( dx
0
0 +λ = (2)
- d’une solution particulière xp de l’équation complète (1).
a) Résolution de l’équation homogène
Pour résoudre l’équation homogène, on utilise la méthode de séparation des variables.
0 ) t ( x dt .
) t ( dx
0
0 +λ = Ù .dt
x dx
0
0 =−λ Ù ln[x0] = -λ.t + K Ù x0(t) = exp(-λ.t + K) La solution générale de l’équation homogène (2) est ainsi : x0(t) = C. exp(-λ.t) avec C∈ℜ b) Solution particulière de l’équation complète
Lorsque le second membre est constant, il existe une solution particulière xp constante. Elle est ainsi caractérisée par :
A x dt . dx
p
p +λ = Ù λ.xp = A Ù
=Aλ xp c) Solution de l’équation complète
Les solutions de l’équation complète (1) s’écrivent alors :
x(t) = x0(t) + xp = C. exp(-λ.t) + λ A
où A et λ sont deux réels définis dans l’équation différentielle et C une constante qui peut être déterminée si on connaît la valeur x(t1) de la fonction x à un instant t1 quelconque.
Remarque : on peut remarquer qu’une équation différentielle du premier ordre a pour solution un ensemble de fonctions définies par une constante.
2- Equation avec second membre quelconque
On ne considère plus ici le second membre constant, mais comme une fonction F de t.
La technique générale reste la même qu’au 1- mais il n’existe pas, a priori, de solution particulière constante ce qui rend sa détermination délicate.
On utilise alors la méthode de « la variation de la constante ».
La solution de l’équation homogène a été déterminée au 1-a : x0(t) = C. exp(-λ.t).
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La solution de l’équation complète est alors de la forme : x(t) = C(t).exp(-λ.t). Si on remplace cette expression de x(t) dans l’équation complète (1), on a alors :
) t ( F )]
t . exp(
).
t ( C .[
)]
t . exp(
).
t ( C dt[
d −λ +λ −λ =
Ù .exp( .t) .C(t).exp( .t) .[C(t).exp( .t)] F(t) dt
) t (
dC −λ −λ −λ +λ −λ =
Ù .exp( .t) F(t) dt
) t (
dC −λ =
Ù C(t)=
∫
F(t).exp(λ.t).dt +K où K est une constante réelleOn peut ainsi en déduire l’expression de la solution de l’équation complète :
x(t) = [
∫
F(t).exp(λ.t).dt +K].exp(-λ.t) = [∫
F(t).exp(λ.t).dt].exp(-λ.t) + K. exp(-λ.t)1 2
On peut vérifier que le terme 1 est une solution particulière de l’équation complète, tandis que le terme 2 correspond à la solution générale de l’équation homogène.
II- Equations différentielles du second ordre
On se limitera ici aux équations différentielles à coefficients constants du type : A
) t ( x . dt c
) t ( .dx dt b
) t ( x d
2
2 + + = (3) avec(A,b,c)∈ℜ3.
La solution x(t) de l’équation différentielle (3) est la somme :
- de la solution générale x0(t) de l’équation différentielle homogène 0 ) t ( x . dt c
) t ( .dx dt b
) t ( x d
0 0
2 0
2 + + = (4)
- d’une solution particulière xp de l’équation complète (3).
1- Résolution de l’équation homogène
Pour résoudre l’équation homogène (4), on pose le polynôme caractéristique correspondant : r2 + b.r + c = 0
Le discriminant de ce polynôme est donné par : ∆ = b2 - 4.c Trois possibilités sont alors à envisager.
a) ∆ > 0
Les racines r1 et r2 du polynôme sont réelles.
2
r1 =−b+ ∆ et
2 r2 = −b− ∆
La solution générale de l’équation homogène s’écrit alors : x0(t) = α.exp(r1.t) + β.exp(r2.t)
b) ∆ = 0 2
−b
est racine double du polynôme.
r =
La solution générale de l’équation homogène s’écrit alors : x0(t) = (α.t+β).exp(r.t)
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c) ∆ < 0
Les racines r1 et r2 du polynôme sont complexes conjuguées.
2 i
r1 =−b+ −∆ et
2 i r2 = −b− −∆
La solution générale de l’équation homogène s’écrit alors : x0(t) = exp(-
2
b.t) [α.cos(
2
∆
− .t) + β.sin(
2
∆
− .t)]
2- Solution particulière de l’équation complète
Comme pour les équations du premier ordre avec second membre constant, il existe une solution particulière constante.
xp est donné par : xp = c A
3- Solution de l’équation complète
Les solutions de l’équation complète (3) s’écrivent alors : x(t) = x0(t) + xp
Remarque : on peut remarquer qu’une équation différentielle du second ordre a pour solution un ensemble de fonctions définies par deux constantes.
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