EQUATIONS DIFFERENTIELLES

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

1) GENERALITES.

A) Définitions et notations premières.

Soit n un entier non nul, D une partie du produit cartésien R×Cⁿ⁺¹ et F une application de D vers C. Résoudre l’équation différentielle (E) : F(x, y, y’,…., y⁽ⁿ⁾)=0 . signifie déterminer toutes les fonctions y de variable réelle, à valeurs dans C, dérivables au moins à l’ordre n en tout point de leur ensemble de définition I et telles que pour tout x de I on ait :

F(x, y(x), y’(x),….., y⁽ⁿ⁾(x)=0 .

L’entier n sera appelé ordre de l’équation (E). C’est le plus grand indice de dérivée successive de la fonction y intervenant explicitement dans (E).

Remarquons que la variable est nécessairement réelle mais que pour les images nous considérons le cas le plus général de fonctions à valeurs dans C.

La résolution complète d’une équation différentielle est un des problèmes les plus délicats de l’Analyse, et ceci même pour des petits ordres. En effet l’inconnue étant de type fonction, on n’échappera pas aux interrogations classiques liées à ce concept :

_ Sur quels ensembles I peut on effectivement définir des solutions de (E) ?

_ Pourra t-on toujours expliciter la correspondance x ay(x) au moyen de fonctions usuelles ? Pour répondre à ces questions rappelons que les principaux théorèmes concernant le calcul différentiel et intégral ont été établis pour des fonctions définies sur un intervalle de R.

Il faut donc s’attendre à ce que cette notion d’intervalle joue donc ici aussi un rôle essentiel.

On commencera donc en règle générale par déceler des solutions éventuelles de l’équation proposée définies sur un intervalle I de l’ensemble des réels.

Les problèmes dits de ‘raccordement’ de solutions définies sur des intervalles juxtaposés seront abordés dans les exercices.

Pour ce qui concerne la relation fonctionnelle définissant y sur son ensemble d’étude I, nous conviendront de dire que l’équation est résolue si on a réussi à ramener celle ci à une des deux formes élémentaires suivantes :

a) Problème dit de ‘quadrature ’, du type : y’=f(x) avec f fonction continue sur I.

b) Problème de ‘différentielle totale’, du type : U(x,y(x))=0 dx

d avec U définie sur une

partie de R×C à valeurs dans C.

_ Dans le premier cas il est clair en effet que les solutions définies sur I ne sont autres que les primitives de la fonction continue f sur cet intervalle. (Le terme ‘quadrature’ est une

appellation classique pour l’explicitation des primitives d’une fonction donnée ) Si x0 est un des éléments de I, les solutions seront définies par : x ay(x)=

∫

^x +λ

x

dt t f

0

) (

avec λ constante complexe arbitraire.

_ Dans le deuxième cas, toute fonction à valeurs complexes de dérivée nulle sur un intervalle étant constante, les solutions seront donc les fonctions x ay(x) telles que pour tout x de I soit vérifiée la relation : U(x, y(x))=λ , avec ici aussi λ constante complexe arbitraire.

Un exemple intéressant de cette situation est celui des équations dites à variables séparables du type a(y).y’=b(x) avec a et b continues sur les intervalles respectifs J et I de R et à valeurs réelles.

Si on note A une primitive de a sur J et B une primitive de b sur I, l’équation proposée se ramène alors à la forme de différentielle totale : [A(y)-B(x)]’=0 .

Ses solutions seront définies de manière implicite par A(y)-B(x)=λ avec λ réel arbitraire.

On ne pourra donc pas toujours dans les schémas précédents expliciter la correspondance x ay(x) à l’aide de la palette des fonctions usuelles et des opérations classiques.

Cela n’est pas fondamental, les chapitres précédents nous ont habitué à voir que le concept de fonction dépasse largement la notion de formule algébrique élémentaire et on y a déjà abordé dans les exercices des études d’application définies par intégrales, comme réciproques, ou par une relation algébrique implicite.

Courbes intégrales.

Si les solutions sont cherchées exclusivement à valeurs réelles, on appellera courbe intégrale liée à l’équation différentielle étudiée toute courbe représentative d’une de ces solutions dans un repère cartésien du plan, ou plus généralement toute courbe plane contenant l’ensemble des points représentatifs d’une solution.

_ Ainsi dans le cadre d’une équation ramenée à un problème de quadrature, on obtient les courbes planes C _λ d’équation : y= , avec λ paramètre réel arbitraire.

Remarquons qu’il n’existe alors qu’une seule de ces courbes passant par un point particulier donné de coordonnées (x

λ

∫

^x +

x

dt t f

0

) (

1, y1), c’est celle correspondant à : λ1=y1- _ Dans le cas d’une différentielle totale on obtient les courbes planes C

∫

¹

0

) (

x

x

dt t f

λ d’équation U(x, y)=λ avec également λ paramètre réel quelconque.

Ici également il n’existera qu’une seule de ces courbes passant par le point de coordonnées (x1, y1) donné, celle défini par : λ1=U(x1, y1), mais une même courbe pourra être le support de plusieurs fonctions solutions. (Considérer par exemple l’équation implicite : y²-x=0 , dont la courbe englobe les représentations des fonctions x a f(x)= x et x a g(x)=- x).

B) Equations linéaires.

On appelle équation linéaire d’ordre n toute équation différentielle du type : (Eq) : a0(x)y+a1(x)y’+……..+an(x)y⁽ⁿ⁾=b(x) .

Equation dans laquelle a₀, a₁, …., a_n, b désignent des fonctions à valeurs sur le corps K=R ou C et définies sur le même ensemble I de R.

Les fonctions a0, …, an seront appelés coefficients et la fonction b ‘second membre’ de (Eq).

L’appellation linéaire tient à l’interprétation suivante :

Désignons par E le K espace des fonctions dérivables au moins à l’ordre n sur I, par F le K espace des fonctions de I vers K, et par T l’application de E vers F qui à toute fonction y associe la fonction z=T(y)= a₀.y+a₁.y’+……..+a_n.y⁽ⁿ⁾

Il est clair que T est une application K linéaire. Résoudre l’équation différentielle (Eq) revient donc à déterminer les antécédents pour T du vecteur b.

On sait alors que si b est effectivement élément de Im(T), l’ensemble des solutions s’obtient à partir d’une solution particulière de (Eq) en ajoutant un vecteur quelconque du noyau de T.

L’étude d’une équation différentielle linéaire peut donc se structurer en deux étapes :

_ Détermination de Ker(T), c’est à dire résolution de (E0) : a0(x)y+a1(x)y’+……..+an(x)y⁽ⁿ⁾=0 appelée équation homogène associée à (Eq) ou plus simplement équation sans second membre _ Recherche d’une solution particulière de (Eq)

Pour cette recherche on verra par la suite que l’on peut mettre à profit les résultats obtenus à propos de l’étude du noyau de T (méthodes de Lagrange ou d’abaissement de l’ordre) Notons aussi la méthode dite de ‘superposition ’ des solutions, basée sur la linéarité de T : Si y1 est une solution de (Eq) pour un second membre b=b1 et y2 une solution de (Eq) pour un second membre b=b2, alors pour tout α de K, y=αy1+y2 est une solution de (Eq) pour le second membre b=αb1+b₂.

Il suffit en effet d’écrire : T(αy₁+y₂)=αT(y₁)+T(y₂)=αb₁+b₂

2) EQUATION LINEAIRE DU PREMIER ORDRE.

Conformément aux définitions précédentes, il s’agît donc d’une équation du type général : (Eq) a(x)y’+b(x)y=c(x) . , avec a, b, c fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur le même ensemble I de R.

Lorsque cet ensemble d’étude est un intervalle de R et si la fonction a coefficient de y’ ne s’annule en aucun point de cet intervalle I, il est possible de résoudre complètement (Eq).

Analysons les différentes étapes de cette résolution.

A) Résolution de l’équation homogène associée : (E₀) : a(x)y’+b(x)y=0 .

Commençons par mettre cette équation sous la forme équivalente : y x a

x

y b .

) (

)

− (

′= (La fonction a est supposée ne s’annulant pas sur l’intervalle I).

Si on restreint la recherche aux solutions y ne s’annulant aussi en aucun des points de I, on peut alors séparer les variables en divisant par y, ce qui donne :

) (

) (

x a

x b y y′ =−

Réduisons encore l’étude en imposant des valeurs réelles à la fonction inconnue. Celle ci étant continue (car supposée dérivable) sur l’intervalle I et ne s’annulant pas sur I doit donc garder un signe constant sur cet intervalle, d’après le théorème des valeurs intermédiaires.

Ainsi, les solutions à valeurs réelles strictement positives sur I seront définies par la relation

de différentielle totale : 0

) (

) ) (

ln( ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ^y +

∫

_a^{b x}_x ^dx

dx

d , avec la convention d’écriture classique où

x a

∫

_a^b(₍^x_x)^)dx désigne une des primitives du quotient continu x a ) (

) (

x b

x

a sur l’intervalle I.

On en déduit, sous ces restrictions, que y est défini sur I par : x ay(x)= ∫ λ ^{− a xdx}

x b

e ^{( )}

) (

avec λ >0 quelconque.

On va voir que toute solution de (E0) est en fait définie également par une formule du type précédent, avec λ paramètre réel ou complexe quelconque.

Pour cela effectuons le changement de variable défini par y= ⁻∫_a^b _x^{x dx} e z ^{( )}

) (

. . Cela revient à choisir pour nouvelle inconnue la fonction z définie sur I par x az(x)= ^∫

dx x a

x b

e y ^{( )}

) (

. D’après les règles classiques de dérivation on obtient alors sur tout I :

⎟⎟ ∫

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

′ ∫

′= ^{− − a x dx}

x dx b

x a

x b

x e a

x z b e

z

y ^{( )}

) ( )

( ) (

) . (

) . ( .

Ainsi y sera solution de (E₀) si et seulement si z satisfait à : ( ). . ^{( )} 0

) (

∫ =

′ ^{− a x dx}

x b

e z x a

Or a est supposé ne pas s’annuler sur I et un exponentielle d’un réel ou d’un complexe ne peut non plus prendre la valeur 0. Il s’ensuit que la dérivée de z doit être nulle sur I, ce qui entraîne la constance de z sur cet intervalle. On a donc établi le résultat fondamental suivant :

Les solutions à valeurs dans K=R ou C de l’équation homogène a(x)y’+b(x)y=0 avec a et b à valeurs dans K continues sur l’intervalle I de R et a ne s’annulant en aucun point de I sont définies sur cet intervalle par une formule du type : x a ∫

λ ^{− a x dx}

x b

e ^{( )}

) (

. avec λ constante arbitraire du corps K.

On peut résumer ceci en écrivant que l’ensemble de ces solutions est une droite du K espace

vectoriel usuel des fonctions de I vers K.

B) Recherche d’une solution particulière.

Utilisons le changement de variable précédent. Les calculs effectués montrent que y sera solution de (Eq) si et seulement si : ( ). . ^{( )} ( )

) (

x c e

z x a

dx x a

x b

∫ =

′ ⁻ ou encore si ∫

′= ^{a x dx}

x b

x e a

x

z c ^{( )}

) (

). (

) (

On est donc ramené à un problème de quadrature d’une fonction continue sur l’intervalle I.

Il sera donc toujours possible d’expliciter z, ne serait ce que par le formalisme intégral.

La méthode précédente est appelée ‘variation de la constante’ , le coefficient fonctionnel z étant supposé variable et non pas constant comme dans l’écriture des vecteurs du noyau de T.

Remarquer qu’elle conduit en fait à l’expression de la solution générale, puisque si z0 désigne une primitive particulière sur I de la fonction x a ∫_a^b _x^{x dx}

x e a

x c ₍⁽ ₎⁾

). (

)

( , toutes les autres primitives sur I seront du type z=z0+λ , avec λ constante arbitraire dans K.

Il s’ensuit que y est défini sur I par y= ⁻∫_a^b _x^{x dx} e z ^{( )}

) (

. = ∫

λ +

− +dx x a

x b

e

z ^{( )}

) (

0 )

( = ∫

λ

∫ + ⁻

− dx

x a

x dx b

x a

x b

e e

z ^{( )}

) ( )

( ) ( 0. On retrouve bien la structure commune à toutes les équations linéaires : Somme d’une solution particulière y₀ définie par = ⁻∫^{a x dx}

x b

e z

y ^{( )}

) ( 0

0 . , avec une solution quelconque λu de l’équation sans second membre.

Remarque sur les courbes intégrales correspondantes.

Si x1 désigne un élément donné de I et y1 un élément arbitraire de K, il existe une et une seule solution de (Eq) prenant la valeur y1 en x1.

En effet, avec les notations précédentes, la contrainte y(x₁)=y₁ est réalisée pour la seule valeur λ₁=

) (

) (

1 1 0 1

x u

x y y −

. Si K=R il existe donc une et une seule courbe intégrale passant par un point donné du plan de coordonnées (x₁, y₁) .

3) EQUATION LINEAIRE DU SECOND ORDRE.

Son type général est (Eq) : a(x)y’’+b(x)y’+c(x)=d(x) .

Les fonctions a, b, c, d seront supposées continues sur l’intervalle I de R à valeurs dans K=R ou C et la fonction a non identiquement nulle sur I (sinon l’équation devient d’ordre 1).

A) Cas d’une équation à coefficients constants.

Dans ce cas particulier, a, b, c désignent des éléments constants de K, avec a non nul.

Le second membre fonctionnel d étant toujours supposé continu sur l’intervalle I de R.

1) Résolution de l’équation homogène associée .

a) Nous considérerons d’abord le cas général des solutions à valeurs complexes.

Effectuons le changement de fonction y=e ^αx.z avec pour α un paramètre arbitraire de C.

Cela revient à utiliser z=y.e^-αx comme nouvelle inconnue.

La dérivabilité de y à l’ordre 2 sur I équivaut alors à celle de z sur ce même intervalle et conduit aux égalités successives : y’=e ^αx.(αz+z’) et y’’=e ^αx.(α²z+2αz’+z’’)

La fonction y est alors solution de (E0) : ay’’+by’+cy=0 si et seulement si z satisfait à la relation : e ^αx.[(aα²+bα+c)z +(2aα+b)z’+az’’]=0 , ou encore, puisque e ^αx. est toujours non nul, à l’égalité : (aα²+bα+c)z +(2aα+b)z’+az’’=0.

Considérons alors l’équation algébrique à inconnue complexe α, (Ecar) : aα²+bα+c=0 , appelée équation caractéristique de l’équation différentielle étudiée.

Notons α1 et α2 ses racines dans C, éventuellement confondues si le discriminant est nul.

Si on choisit pour paramètre α un de ces deux zéros, par exemple α=α1, l’équation

différentielle en z se simplifie alors en : (2aα1+b)z’+az’’=0 , ou encore puisque a non nul, en : 0

) 2

( α₁+ z′+z′′= a

b , c’est à dire enfin en (α₁-α₂)z’+z’’=0 , à cause de

a

−b

= α + α_{1 2}

La dérivée z’ satisfait donc à une équation homogène du premier ordre qui s’intègre très facilement, les coefficients étant constants.

_ Si les deux racines α₁ et α₂ sont distinctes, on sait que z’ est défini sur l’intervalle I par une formule du type avec λ constante arbitraire dans C.

On en déduit par intégration : e x

z'=λ ^(α2−α1)

µ

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ α

− α

= λ e^{α −α x}

z ^{( )}

1 2

1

. 2 avec µ complexe quelconque.

En revenant à la fonction inconnue initiale, on obtient donc les solutions générales de (E₀) comme définies sur I par : y(x)=C₁e^α1x+C₂e^α2x avec _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

α

− α µ λ

=

1 2 2

1, ) ,

(C C couple de

complexes quelconques.

L’ensemble de ces solutions est donc un plan du C espace des fonctions de I vers C, de base (y1, y2) couple de fonctions définies par les formules respectives

( Pour établir l’indépendance de ce couple, c’est à dire la non colinéarité, il suffit de remarquer que le quotient x a n’est pas constant sur I).

_ Si α

x

x y x e

e x

y₁( )= ^α1 et ₂( )= ^α2 e^(α2−α1)x

1=α2=- a b 2 .

L’équation en z est alors réduite à z’’=0 et conduit successivement à z’=λ constante sur I, puis à z=λx+ avec constante complexe arbitraire.

Les solutions générales de (E

µ µ

0) sont donc définies sur I par :

x a b

e x x

y( )=(λ +µ) ⁻²

Ici encore on obtient une structure de plan de base (y1, y2), couple défini par les formules

respectives : ^ax

x b a b

e x x y e

x

y₁( )= ⁻² et ₂( )= . ⁻²

b) Expression des solutions à valeurs réelles. (Ceci bien sûr dans le cas où a, b, c sont réels) Remarquons que dans cette situation, une fonction y à valeurs dans C est solution de

l’équation (E0) si et seulement si sa conjuguée y est aussi solution. ( Ceci car T(y) est conjuguée de T(y)).

On en déduit que si y est solution à valeurs dans C, la fonction Re(y)=

2 y y+

est solution à valeurs purement réelle.

Ainsi, les solutions à valeurs dans R de l’équation homogène s’obtiennent en considérant les parties réelles des solutions générales à valeurs dans C déterminées précédemment.

On vérifie facilement que l’on obtient encore une structure de plan (pour la structure de R espace), de base (y1, y2) définie suivant le signe du discriminant ∆ de (Ecar) par :

_ Si ∆ >0 , y₁(x)=e^α1x et y₂(x)=e^α2x avec α₁ et α₂ racines réelles de (E_car)

_ Si ∆=0 , ^ax

x b a b

e x x y e

x

y₁( )= ⁻² et ₂( )= . ⁻²

_ Si ∆ <0, y₁(x) e .cos( x) et y₂(x) e .sin( x)

x a x b

a b

ϖ

= ϖ

= ^{− −} , - ±iϖ

a b

2 désignant les deux racines complexes conjuguées de l’équation caractéristique.

2) Recherche d’une solution particulière de (Eq)

Nous décrivons ici la méthode de Lagrange (dite aussi de variation des constantes).

Cherchons une solution du type y=λy1+µy2 avec (λ, µ) couple inconnu de fonctions supposées dérivables au moins à l’ordre 2 sur I et (y1, y2) base du plan des solutions de l’équation homogène, mise en évidence dans l’étude précédente.

Une première dérivation donne la relation y’=λy1’+µy₂’+λ’y1+µ’y₂ Imposons alors au couple (λ, ) la contrainte (Cµ 1) : λ’y1+µ’y₂=0 . La dérivée seconde de y se résume alors à : y’’=λy1’’+µy₂’’+λ’y1’+µ’y₂’

Ainsi y sera solution de (Eq) si et seulement si le couple (λ, µ) satisfait à la relation suivante:

λ(ay1’’+by1’+cy1)+µ(ay2’’+by2’+cy2)+aλ’y1’+aµ’y2’=d(x)

Or y₁ et y₂ étant solution de l’équation sans second membre, cette égalité se simplifie en une deuxième contrainte élémentaire (C₂) :

a x y d

' ₂

y ( )

' '

' ₁+µ = λ

Etudions le système (S) formé par les deux équations (C1) et (C2) décrites ci dessus.

On vérifie facilement que quelle que soit la configuration des racines de l’équation

caractéristique, le déterminant det(x)=y1(x)y2’(x)-y1’(x)y2(x) ne s’annule en aucun point de I.

Il s’ensuit que (S) est de Cramer et que le couple (λ’, µ’) est défini sur l’intervalle I par les formules :

) det(

. ) ( ) ) (

( ' et ) det(

.

2( a

y ) ( ) ₁

x a

x d x x y

x x d

x µ =

−

= λ′

On termine en explicitant les primitives sur I des quotients continus apparaissant ci dessus.

Réponse à un second membre particulier.

La méthode de Lagrange est d’une portée générale, mais les quadratures intervenant en fin peuvent s’avérer lourdes dans certains cas.

Pour des second membres typés on préfère alors souvent rechercher une solution d’une forme voisine, ce qui conduit à un processus purement algébrique d’identification des coefficients.

C’est le cas de second membres polynômiaux ou produits d’un polynôme par une exponentielle, intervenant fréquemment dans des équations différentielles traduisant des phénomènes physiques.

On a dans cette configuration la règle pratique suivante :

Si le second membre est du type P(x)e ^βx avec P polynôme de degré n et β complexe donnés, on cherchera une solution particulière du même type Q(x)e ^βx avec Q polynôme de degré : _ égal à n si β n’est pas solution de l’équation caractéristique (Ecar)

_ égal à n+1 si β est racine simple de cette équation caractéristique.

_ égal à n+2 si β est racine double de (Ecar) Explication.

Il s’agît en fait d’un changement de fonction multiplicatif similaire à celui réalisé dans la résolution de l’équation homogène. Les calculs effectués se traduisent alors par :

y=Q(x)e^βx est solution de (Eq) ⇔ e^βx[(aβ²+bβ+c)Q(x)+(2aβ+b)Q’(x)+aQ’’(x)]= e^βx.P(x) On est donc amené à choisir le polynôme Q tel que la quantité entre crochets coïncide avec P(x). Pour ce faire, considérons l’endomorphisme f défini sur le K espace Km[X] des

polynômes de degré au plus égal à m par : Q a f(Q)= (aβ²+bβ+c)Q+(2aβ+b)Q’+aQ’’ et

examinons son noyau.

_ Si aβ²+bβ+c ≠0, il est clair en examinant les degrés de Q, Q’, Q’’, que f(Q)=0 ⇔Q=0 f est alors injective et par suite bijective car K_m[X] est de dimension finie.

On pourra donc toujours pour P donné de degré m trouver un antécédent Q de P pour f.

_ Si aβ²+bβ+c=0 et 2aβ+b non nul. Dans ce cas Q appartient à Ker(f) si et seulement si Q’=0 Le noyau est donc la droite des polynômes constants. Il s’ensuit d’après le théorème du rang que l’espace image est de dimension m=(m+1)-1. Comme Im(f) est ici de manière évidente inclus dans Km-1[X] de dimension m, on en déduit l’égalité : Im(f)=Km-1[X].

Ainsi : f( Kn+1[X])= Kn[X], ce qui justifie ici le choix et l’existence de Q de degré n+1.

_ Enfin si aβ²+bβ+c=0 et 2aβ+b=0, il est clair que le noyau de f n’est autre que K1[X], sous espace des fonctions affines et de dimension 2.

L’espace image de dimension m-1=(m+1)-2 inclus dans Km-2[X] coïncide avec celui ci.

On a alors f( Kn+2[X])= Kn[X] ce qui justifie le choix du degré n+2 pour le polynôme Q cherché et l’existence d’un tel polynôme quel que soit P .

Remarque sur les courbes intégrales.

Une solution particulière p ayant été déterminée, on sait que les solutions générales de l’équation linéaire (Eq) sont du type : y=p+λy₁+µy₂ avec (y₁, y₂) base du plan des solutions de l’équation homogène associée, mise en évidence dans la résolution de (E0) et (λ, µ) couple arbitraire d’éléments de K.

Si x0 désigne un réel donné de l’intervalle d’étude I et y0 un élément de K, il n’existe pas un seul couple (λ, ) pour lequel on aura y(xµ 0)=y0 . En effet la contrainte correspondante se traduit par l’équation (C₁) : λy1(x₀)+µy₂(x₀)=y₀-p(x₀) et on vérifie facilement que le couple des coefficients de (λ, µ) n’est jamais identiquement nul.

Il existe donc une infinité de courbes intégrales passant par un point donné du plan.

Parmi celles-ci on peut en privilégier une si on impose une condition supplémentaire sur le coefficient directeur de la tangente en ce point. Cela revient à ajouter une contrainte du type y’(x0)=y0’ avec y0’ élément donné de K.

On obtient alors une deuxième équation linéaire (C2) : λy1’(x0)+µy2’(x0)=y0’-p’(x0)

Le système formé par (C₁) et (C₂) est de Cramer, son déterminant a déjà été rencontré dans la méthode de Lagrange . Il se résume en fait à (α2-α1)e^(α1+α2)x0 si α1 et α2 sont les racines distinctes de l’équation caractéristique, et à ⁰

x a b

e⁻ dans le cas d’une racine double.

Il existe alors un seul couple (λ, µ) satisfaisant aux deux conditions imposées.

B) Equation générale. (a, b, c ne sont plus constants).

Nous n’aborderons que le cas où l’on connaît une solution particulière de l’équation

homogène associée, ne s’annulant, de même que la fonction coefficient a, en aucun point de l’intervalle I

Si u désigne une telle solution, on peut donc effectuer le changement de fonction y=z.u.

La nouvelle inconnue u

z = y sera dérivable à l’ordre 2 sur I si et seulement si y l’est aussi.

Sous cette condition on a évidemment y’=u’.z+u.z’ et y’’=u’’.z+2u’.z’+u.z’’

Ainsi y sera solution de (Eq) si et seulement si z satisfait à l’égalité : [a(x)u’’+b(x)u’+c(x)u(x)]z+[2a(x)u’+b(x)u]z’+a(x)u.z’’=d(x)

Or u étant solution de l’équation sans second membre associée, la relation ci dessus se simplifie en : [2a(x)u’+b(x)u]z’+a(x).uz’’=d(x)

La dérivée Y=z’ doit donc être solution de l’équation linéaire du premier ordre suivante : a(x)u(x).Y ’+[2a(x)u’(x)+b(x)u(x)].Y=d(x).

Par hypothèse a, b, c, d sont continues sur I. Les fonctions u et u’ le sont également car u est dérivable à l’ordre 2. De plus le coefficient a.u de la dérivée Y’ ne s’annule en aucun point de I vu les conditions imposées à a et u.

On se trouve donc dans la situation standard décrite dans le paragraphe 2).

Les solutions seront décrites sur I par une formule du type Y=Y0+λ.v avec Y0 solution particulière, λ scalaire quelconque, et v définie par : x av(x)= ⁻∫ ^{a xu}_{a x}^x_u^+b_x^{xu x dx}

e ^{( ) ( )}

) ( ) ( ) ( ' ) ( 2

On en déduit par quadrature : z=z₀+λV +µ avec z₀ et V primitives respectives sur I des fonctions Y0 et v et constante quelconque dans K.

Ainsi les solutions générales de (Eq) sont décrites sur I par la relation : y=u.z

µ

0+λ.(u.V)+µ(.u) avec (λ, ) couple arbitraire de constantes prises dans K.

On reconnaît la structure attendue : somme d’une solution particulière avec une solution quelconque de l’équation homogène associée.

On vérifie facilement que le couple de fonctions (u.V, u) est libre. Dans le cas contraire, u ne s’annulant en aucun point de I on en déduirait V constante sur cet intervalle et par suite v=V’

nulle sur I, ce qui est incompatible avec la formule définissant v.

La méthode décrite précédemment est connue sous l’appellation ‘d’abaissement de l’ordre ’ Elle s’applique à une équation linéaire quelconque d’ordre n.

On voit en effet facilement par application de la formule de Leibniz, que le changement précédent y=u.z transforme l’équation proposée en une équation linéaire d’ordre n-1 d’inconnue z’.

µ

Notons pour conclure une variante de la résolution générale lorsqu’on connaît un couple indépendant (y1, y2) de solutions de l’équation sans second membre avec y1 ne s’annulant en aucun point de I .

La méthode de Lagrange s’applique encore. En effet même lorsque les coefficients de l’équation sont variables, le changement y=λy1+µy2 conduit encore au système linéaire :

(S) :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= µ + λ

= µ + λ

) (

) ' ( ' ' '

0 ' '

2 1

2 1

x a

x y d

y y y

. Reste à voir si celui ci est encore de Cramer.

Pour cela notons x a∆(x)=y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x) son déterminant fonctionnel.

Celui ci est dérivable sur I suivant : ∆’=y1.y2’’-y1’’.y2

Or y1 et y2 satisfont à :

On en déduit facilement par combinaison l’égalité : a(x)(y

⎩⎨

⎧

= +

+

= +

+

0 ) ( ' ) ( '' ) (

0 ) ( ' ) ( '' ) (

2 2

2

1 1

1

y x c y x b y x a

y x c y x b y x a

2’’y1-y2y1’’)+b(x)(y1y2’-y2y1’)=0 Ceci montre que ∆ est solution de l’équation linéaire du premier ordre : a(x)∆’+b(x)∆=0 . a étant supposé ne s’annulant pas sur I, on sait que ∆ est alors multiple de la fonction : x a ⁻∫a x ^dx

x b

e ^{( )}

) (

. Si ∆ s’annulait en un point de I, ∆ serait alors identiquement nul sur I entier.

On en déduirait y1.y2’-y1’.y2=0 . ou encore 0

1

2 =

′

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

y sur tout l’intervalle I.

Le quotient de y2 par y1 serait alors constant, ce qui est incompatible avec l’indépendance linéaire supposée du couple (y₁, y₂).

Le déterminant de (S) est donc non nul en tout point de I.

On en déduit l’expression des dérivées λ’ et µ’ :

) ( ).

(

) ( ) ) (

( ' et ) ( ) .(

) ( )

( ₁

2

x x a

x d x x y

x x a

x d x y

= ∆

∆ µ

−

= λ′

On termine en intégrant sur I les fonctions continues précédentes.

Exercices sur les équations différentielles.

(Sauf mention contraire, les solutions des équations suivantes seront cherchées à valeurs réelles).

1. Déterminer les solutions sur R de l’équation différentielle : y′+2xy=2xe^−x² 2. Déterminer les solutions définies sur l’intervalle [

,2 ] π2 π

− de l’équation suivante :

) cos(

) 1

tan(x x

y

y′− =

3. Résoudre l’équation à variables séparables : y′=e^x−5y 4. Etudier l’équation différentielle :

² 2 1

x y x

y

x ′+ = +

5. Résoudre à l’aide d’un changement de fonction, l’équation différentielle suivante : +1

+

′= x y y

6. L’équation différentielle suivante admet-elle des solutions définies sur R entier ? 1

) 1 2 ( ) 1 (

2x x+ y′+ x+ y =

7. Déterminer les solutions définies sur I=]0, + ∞[ à valeurs dans ce même intervalle I de l’équation différentielle :

Il est conseillé d’effectuer un changement de fonction.

2 3

2xy′+ y= xy

8. On considère l’équation différentielle : 2x²y′= x²+ y² Déterminer en utilisant le changement de fonction

x

z = y , les solutions définies sur l’intervalle ]1, +∞[ et telles que ∀ x >1 : y < x

9. Existe t- il des applications strictement croissantes sur un intervalle I de R satisfaisant à l’équation différentielle :

² 2

1 y y x

= −

′

On pourra traduire l’égalité précédente en une équation vérifiée par la réciproque d’une solution éventuelle.

10. Résoudre l’équation différentielle 2y′=cos(y+x)

11. Résoudre l’équation différentielle : y′′+y′−2y =cos(x)+ch(x)

12. Résoudre l’équation : y′′+10y′+25y=4e^−5x

13. Résoudre l’équation différentielle : y′′+2y′+5y=xsin(x)

14. Résoudre grâce à la méthode de Lagrange, l’équation différentielle suivante : )

sin(

1 y x y′′+ =

15. Résoudre par la méthode d’abaissement de l’ordre, l’équation :

1 1

= +

′′− _x y e y

16. Résoudre par la méthode de votre choix l’équation différentielle suivante :

² 2 1

2 x

y e y y

x

= +

′+

′′−

17. On considère l’équation du second ordre : x²y′′+2xy′−6y=0

Déterminer ses solutions définies sur ]0, +∞[ en effectuant le changement de variable défini par t=ln(x).

18. Déterminer les solutions définies sur ]e, +∞[ de l’équation du second ordre suivante : 0

) 1 )

²(ln(x − y′′−xy′+ y= x

On pourra remarquer qu’il existe une solution quasi évidente, puis appliquer la méthode d’abaissement de l’ordre.

19. Résoudre l’équation xy′′+(x−2)y′−2y =0 grâce au changement de fonction z= y+ y′ 20. Résoudre l’équation du second ordre suivante :

e x

x y

y

y′′+5 ′+6 =10(1− ) ⁻²

Solutions des exercices sur les équations différentielles.

1. On reconnaît une équation linéaire du premier ordre : a(x)y’+b(x)y=c(x) , avec a, b, c fonctions continues sur l’intervalle I=R entier et a ne s’annulant en aucun point de I.

_ On sait alors que les solutions sur I de l’équation homogène associée sont définies par : x ay(x)= ∫

λ ^{− a x dx}

x b

e ^{( )}

) (

, avec λ constante réelle arbitraire et x a

∫

_a^b(₍^x_x)^)dx désignant une des primitives sur I du quotient continu

a b.

Or ici, à une constante additive près :

∫

_a^b₍⁽_x^x)₎^{dx =}

∫

^{2xdx= x²}

Ce qui donne pour les solutions de l’équation sans second membre : x ay(x)=λ

_ Pour déterminer une solution particulière, utilisons la méthode dite de variation de la constante consistant en fait à utiliser le changement de fonction y=λ avec λ de classe C

²

e⁻x

²

e⁻x ¹

sur I. Il vient alors et par suite : y’+2xy=λ’

y est donc solution de l’équation proposée si et seulement si λ’=2x.

La fonction x ay

²

² 2 ^x

x xe

e

y′=λ′ ⁻ − λ ⁻ e^−x²

0(x)=x² est donc solution particulière.

Suivant le schéma classique de résolution d’une équation linéaire, les solutions générales s’obtiendront en ajoutant à y

²

e⁻x

0 une solution quelconque de l’équation sans second membre associée.

Ce qui nous conduit aux fonctions définies sur R par : x a f(x)=(x²+λ)e^−x² avec λ paramètre réel arbitraire.

2. Equation linéaire ay’+by=c avec a, b, c continues sur I= [ ,2

]−π2 π , a ne s’annulant pas sur l’intervalle I.

_ Les solutions de l’équation homogène forment une droite vectorielle engendrée par la fonction x a u(x)=

) cos(

)) 1

ln(cos(

) cos(

) sin(

) (

) (

e x e

e ^x

x dx dx x

x a

x b

=

∫ =

∫ = ₋

−

_ Cherchons une solution particulière définie sur I par x ay₀(x)=

) cos(

) (

x

λ x avec λ de classe C¹ sur I. On obtient alors :

)

²(

cos ) sin(

) ( ) cos(

) ) (

0 (

x x x x

x x

y′ = λ′ +λ

. Ainsi y₀ sera solution de l’équation avec second membre

) cos(

1

x si et seulement si sur I entier : λ’(x)=1. Ceci nous conduit à la solution particulière : x a y₀(x)=

) cos(x

x .

Par addition avec les solutions de l’équation sans second membre déterminées ci dessus, on obtient l’expression des solutions générales définies sur I par :

) ) cos(

( x

x x f

x +λ

a = avec λ

constante arbitraire

3. Les variables se séparent de manière évidente : y’=e^x-5y ⇔ y’e^5y=e^x ⇔ ( ) 5

5 = ′

′

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ^y _x

e e

. Toute solution y définie sur un intervalle I de R est donc telle que les fonctions

x y

e e x

xa et a 5

5

diffèrent d’une constante sur I.

De l’équation e ex C

y

+ 5 =

5

on déduit alors l’expression : ^{y = ln}

(

^5ex+λ

)

5

1 avec λ=5C.

La valeur du paramètre arbitraire λ précise l’intervalle maximal de définition.

_ Si λ ≥ 0, la fonction y peut être définie par la formule précédente sur R entier.

_ Si λ < 0, y pourra être défini sur tout intervalle inclus dans ), [ ln( 5

] −λ +∞

4. Equation classique linéaire d’ordre 1 : ay’+by=c avec a, b, c continues sur R, mais avec a(x)=x s’annulant en 0.

Le théorème de résolution fondamental ne s’appliquant que sur un intervalle où la fonction coefficient de y’ ne prend jamais la valeur 0, nous diviserons l’étude en deux parties correspondant aux solutions définies sur I₁=]0, +∞[ et celles définies sur I2=]-∞, 0[

Cette division théorique n’entraîne cependant pas ici une différence notoire au niveau des calculs. En effet les solutions de l’équation sans second membre forment dans les deux cas une droite vectorielle dirigée par la fonction = ^{−∫a x dx}

x b

e x u

x ^{( )}

) (

) a (

Or sur I1 comme sur I2, la fonction x a -2lnx est une primitive de la fonction x

x a

x

x b 2

) (

)

( −

=

a− . Il s’ensuit que les multiples de u auront le type commun : x a

² x

λ

Ainsi on cherchera dans les deux cas une solution particulière

² y xλ

= avec λ dérivable sur l’intervalle I en question, ce qui conduit à l’égalité :

² 1 '

x x x = + λ

On en déduit facilement λ=

∫

₁₊^x²_x²^{dx =}

∫

^⎜_⎝^⎛1−₁₊¹_x²^⎟_⎠^{⎞dx= x−Arctan(x)+C}

Les solutions générales sont donc définies sur l’un ou l’autre des deux intervalles par une formule d’un même type,: x a

²

² ) tan(

Arc 1

x x

x x

+ λ

− ., avec λ constante sur cet intervalle.

Etudions un raccordement éventuel de deux telles solutions.

On vient de voir que les solutions définies sur R* vont dépendre de deux paramètres : Les valeurs constantes λ₁ et λ₂ prises par λ sur les intervalles respectifs I₁ et I₂.

Effectuons une étude locale en 0, à l’aide des développements classiques d’une telle fonction f.

) 3 (

) tan(

Arc : intégrant En

.

²) (

²

² 1 1 donne 1 ) ( 1 1

1 3

3

x x o x x x

o x x

u o

u u = − + = − +

+ +

− + =

Ainsi à droite au voisinage de 0 :

) ² 3 ( )

( ¹

x x x o x

f λ

+ +

= Au voisinage de 0 et à gauche :

) ² 3 ( )

( ²

x x x o x

f = + +λ

La seule possibilité pour pouvoir prolonger f par continuité en 0 est donc de choisir λ1=λ2=0, car dans le cas contraire une au moins des deux limites à droite ou à gauche en ce point serait infini.

La fonction f est alors défini par :

² ) tan(

) Arc

( x

x x x

f = − sur R* et f(0)=0 Voyons si cette fonction est dérivable en 0 et satisfait à l’équation différentielle.

D’après l’étude locale précédente : (1) 3 1 0

) 0 ( )

( o

x f x

f = +

−

− . On en déduit

3 ) 1 0

( =

′ f La condition différentielle étant aussi réalisée en 0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

× +

× 1 0²

0 0 3 2

0 1 , la fonction f

définie ci dessus apparaît comme la seule solution de l’équation proposée définie sur R 5. Prenons comme inconnue auxiliaire la fonction z reliée à y par la formule z=x+y+1 Il est clair que la dérivabilité de z sur un intervalle I de R équivaut à celle de y, les deux fonctions dérivées étant ensuite liées par l’égalité z’=1+y’.

L’équation proposée se traduit alors simplement par z’-1= z En l’écrivant sous la forme: 1

1= +

′ z

z , on se ramène à une situation élémentaire d’équation à variables séparées dont les solutions sur I sont obtenues en égalant les primitives respectives en z et x , soit en écrivant la relation :

∫

₁₊^dz_z ^{= x+λ} avec λ constante arbitraire.

Pour obtenir l’intégrale en z, le changement de variable t a z=ϕ(t)=t² est de classe C¹ sur l’intervalle [0, +∞[ et nous ramène à l’évaluation de :

∫

₁^2tdt_+t ⁼²

∫

^⎜_⎝^⎛1−₁₊¹_t^⎟_⎠^{⎞dt =2(t−ln(1+t))}

Ainsi les solutions sont définies de manière implicite par : 2( z −ln(1+ z))= x+λ

Montrons qu’il existe effectivement de telles fonctions x az(x) définies et dérivables sur un intervalle.

Il suffit pour cela d’étudier les variations de g définie sur J=[0, +∞[ par la formule suivante : z ax=g(z)=2( z −ln(1+ z))−C

Celle ci est dérivable sur J suivant z z g′ = +

1 ) 1

( > 0. Elle est donc strictement croissante, continue sur l’intervalle J, et réalise donc d’après le théorème classique d’inversion une bijection entre J et l’intervalle I=g(J)=[-C, +∞[.

La réciproque x a z=f(x)=g ^–1(x) est alors dérivable en tout point de I et satisfait bien sur cet intervalle à la relation imposée : 2( z −ln(1+ z)= x+λ

Si on revient à l’inconnue d’origine y, la relation précédente se traduit par l’équation cartésienne 2( x+ y+1−ln(1+ x+ y+1)= x+λ définissant une courbe intégrale C λ

Notons pour terminer que le tracé de cette courbe pourra s’effectuer en paramétrant à l’aide de z=x+y+1. On obtient en effet la correspondance : ⎜⎜⎝

⎛

−

−

=

=

1 ) ( ) (

z g z y

z g M x za

6. Il s’agît d’une équation linéaire classique du premier ordre : a(x)y’+b(x)y=c(x).

Le coefficient a(x)=2x(x+1) de y’ s’annulant en –1 et 0, les solutions seront d’abord cherchées définies sur chacun des trois intervalles I₁=]-∞, -1[ ; I2=]-1, 0[ ; I₃=]0, +∞[ sur lesquels la fonction a garde un signe constant.

_ Rappelons que si I désigne un de ces trois intervalles, les solutions sur I de l’équation sans second membre forment une droite vectorielle dirigée par la fonction ⁻∫_a^b _x^{x dx}

e

x ^{( )}

) (

a

Les calculs peuvent être menées de façon identique sur les trois intervalles mentionnés.

C x x x dx

dx x x x dx x x a

x

b ⎟ = + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + =

=

∫

+

∫

∫

₍⁽ ₎⁾ ₂²₍ ¹_{1) 2}^{1 1 1}_{1 2}^{1ln ²}

Les solutions de l’équation homogène sont donc du type commun x a

x x +

λ

²

avec λ constante arbitraire.

_ Les calculs concernant la variation de la constante peuvent être divisés en deux parties suivant le signe de la quantité x²+x.

a) Si I=I1 ou I=I3 , on a alors x²+x = x²+x et on cherchera une solution particulière du type

2 1

)

²

( + ⁻

λ

= x x

y avec λ fonction dérivable sur I.

En injectant cet y et ²

3 2

1

)

² )(

1 2 2 ( ) 1

²

( + ⁻ − λ + + ⁻

λ′

′= x x x x x

y dans l’équation proposée, il vient

après simplifications l’égalité : 2 ( ² )² 1

1

= +

λ′ x x .

Le calcul de

∫

_{2 x}^dx_²+x s’obtiendra de manière classique en mettant le trinôme x²+x sous forme canonique

4 1 2 1⎟²−

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +x puis en posant ch( ) 2 1 2

1 t

x+ =± suivant que x est supérieur ou inférieur à -

2 1.

Plus précisément :

_ Si I=I₁ on considère puisque x ≤ - 2

1, le changement t ax=ϕ(t)= ch( ) 2 1 2

1− t

− , avec t

décrivant l’intervalle J=]0, +∞[. On se ramène alors à

∫

⁻₂^sh_sh^(t_²(^)dt_t) ⁼⁻₂^{t +C}

Le retour à la variable x s’effectue de manière classique en résolvant ch(t)=-2x-1.

On obtient ^{t =ln}

(

^{−2x−1+ (−2x−1)²−1}

) (

^{=ln−2x−1+2 x²+x}

)

Les solutions sur I₁ sont donc définies par :

( )

x x

x x x x

+

λ + + +

−

−

−

² 2

² 2 1 2

ln ₁

a avec λ1 réel

quelconque.

_ Si I=I₃ on utilisera puisque x > - 2

1, le changement t ax=ϕ(t)= ch( ) 2 1 2

1+ t

− , t décrivant

toujours J=]0, +∞[. Seul le signe de dx change et nous donne ici

∫

₂^sh_sh^(t)_²(^dt_t) ⁼ ₂^{t +C}

La résolution de ch(t)=2x+1 conduit ici à ^{t =ln}

(

^{2x+1+2 x²+x}

)

Les solutions sur I3 sont alors définies par

( )

x x

x x x x

+

λ + + +

+

² 2

² 2 1 2

ln ₃

a avec λ3 constante

réelle arbitraire.

b) Sur I=I₂, x²+x =−x²−x. On cherchera donc une solution particulière du type x ay(x)=λ ²

1

)

²

(−x −x ⁻ qui se dérive en y′=λ′(−x²−x)⁻²¹ + ²

3

)

² )(

1 2 2(

− −

− λ +

x x x

Les calculs conduisent dans ce cas à :

x x −

−

= −

λ′ 2 ² 1

Vu que )²

2 ( 1 4

²− = 1− +

−x x x on posera ici cos( )

2 1 2

1 t

x+ = avec t décrivant ]0, π[

Ce qui nous donne pour λ fonction de t :

∫

₂^sin(_sin^t)_²(^dt_t) ⁼ ₂^{t +C}

La résolution de cos(t)=2x+1 avec t ∈ ]0, π[ donne ici t =Arccos(2x+1) Les solutions sur I₂ sont donc définies par

x x x x

−

−

λ + +

² 2

) 1 2 cos(

Arc ₂

a avec λ₂ réel arbitraire.

L’examen de cette formule montre qu’il n’existe pas de solutions de l’équation définie sur R entier. En effet pour prolonger par continuité une solution y définie sur I₂ il faudrait pouvoir choisir la constante λ2 de telle sorte que le numérateur de la fraction définissant y tende vers 0 aux bornes –1 et 0 (ceci car le dénominateur est de limite nulle en ces points)

Or Arccos(-1)=π et Arccos(1)=0 . Le choix d’un tel λ₂ est donc impossible.

7. Pour une fonction y à valeurs strictement positives, dérivable sur I=]0, + ∞[, on a l’équivalence immédiate : 2xy’+2y=xy³ ⇔ x

y y

x y′ + =

²

2 ₃ 2 .

La fonction z définie comme

² 1

z = y est dérivable sur I suivant 2₃ y

z y′

−

′=

L’équation proposée se ramène donc à l’équation linéaire d’inconnue z : -xz’+2z=x .

Le coefficient x de z’ ne s’annulant pas sur I, les solutions de l’équation sans second membre seront définies sur cet intervalle par : ²

2

x e

x

dx

x =λ

λ ∫

a avec λ constante réelle quelconque.

Remarquons alors que la fonction identique sur I, x az₀(x)=x vérifie de manière évidente l’équation en z.

On en déduit l’expression des solutions générales sur I, soit : xa z(x)=x+λx², avec λ constante réelle arbitraire.

Par suite, y sera déterminée par l’égalité : ²

²

1 x x

y = +λ .

Pour que cette relation définisse effectivement une fonction y sur I et à valeurs dans I, il est évidemment nécessaire et suffisant de restreindre le paramètre λ à des valeurs positives ou nulles. Cette condition assurée, les courbes intégrales seront conditionnées sur I par les formules du type

² 1

x y x

xa = +λ

8. Si on se limite aux solutions définies sur I=]1, +∞[, l’équation prend en divisant par x² non nul la forme équivalente :

2

1

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

′=

x y y

Introduisons comme nouvelle inconnue la fonction z définie sur I par x z = y

La dérivabilité de y sur I équivaut à celle du quotient z sur ce même intervalle et l’on déduit de la formule du produit la relation y’=z+xz’.

L’équation proposée se traduit alors 2z+2xz′=1+z² ou encore en regroupant les variables : (z-1)²=2xz’ .

Puisque x >1 > 0 et que l’on recherche uniquement les solutions telles que y < x sur I, on en déduit l’inégalité z

x

= < 1. y

Les variables se séparent donc suivant le schéma

x z

z

2 1 )² 1

( =

−

′