St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦5 - EQUATIONS DIFFERENTIELLES - Sujet 1
Exercice 1 :On étudie surI =R∗+ l’équation différentielle suivante :
(L) : t3y00+ty0−y= 0.
1. Déterminer une solution polynômiale non nulle de (L).
La fonctionh=t7→test une solution particulière de (L).
2. En déduire l’ensemble des solutions de(L).
On pose ley(t) =tf(t) et on parvient à l’équation : t2f00+ (2t+ 1)f0 = 0.
On en déduit que z=f0 vérifie l’équation différentielle du premier ordre suivante : t2z0+ (2t+ 1)z= 0.
On résout cette équation et on trouvez(t) =Ke1t
t2, puis on intègre pour obtenir : f(t) =Ae1t +B, ∀(A, B)∈R2.
La solution générale est donc :
y :t7→(Ae1t +B)t, ∀(A, B)∈R2.
Exercice 2Résoudre, surI = ]0, π[, l’équation différentielle(L) : y00+y = cotant(on cherchera une solution particulière à l’aide de la méthode de la variation des constantes).
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dont les solutions de l’équation homogène sont :
yH =C1cost+C2sint , ∀(C1, C2)∈R2.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme :
f(t) =C1(t) cost+C2(t) sint, avec C1 etC2 fonctions dérivables et la conditionC10 cost+C20 sint= 0 Ainsif est solution de (L)si et seulement si :
( C10 cost+C20 sint= 0
−C10sint+C20 cost= cotant
⇒
C10 =−cost C20 = cos2t
sint Il reste à intégrer. On trouve :
C1(t) =− Z
costdt=−sint+K1,
Spé PT B Page 1 sur 4
St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2016-2017 - Correction
et :
C2(t) =
Z cos2t sint dt=
Z 1−sin2t sint dt=
Z 1 sintdt−
Z
sintdt
=
Z sint
1−cos2t dt+ cost =
|{z}
u=cost
Z −du
1−u2 + cost
=
Z −du 2(1−u) +
Z −du
2(1 +u)+ cost= 1
2ln|1−u| − 1
2ln|1 +u|+ cost+K2
= 1
2ln1−cost
1 + cost+ cost+K2
En prenant K1=K2 = 0, on obtient donc finalement : yL(x) = 1
2ln1−cost
1 + costsint+C1cost+C2sint , ∀(C1, C2)∈R2.
Spé PT B Page 2 sur 4
St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦5 - EQUATIONS DIFFERENTIELLES - Sujet 2
Exercice 1 :
On étudie surI =R∗+ l’équation différentielle suivante :
(L) : t2y00+ty0−y= 1.
1. Déterminer une solution polynômiale non nulle de l’équation homogène(H)associée à (L).
La fonctionh=t7→test une solution particulière de (L).
2. En déduire l’ensemble des solutions de(L).
On pose ley(t) =tf(t) et on parvient à l’équation : t3f00+ 3t2f0 = 1.
On en déduit que z=f0 vérifie l’équation différentielle du premier ordre suivante : t3z0+ 3t2z= 1.
On résout cette équation et on trouvez(t) = K t3 + 1
t2, puis on intègre pour obtenir : f(t) = A
t2 +B−1
t, ∀(A, B)∈R2. La solution générale est donc :
y:t7→ A
t +Bt−1, ∀(A, B)∈R2.
Exercice 2
Résoudre, sur I =i
−π 2,π
2 h
, l’équation différentielle (L) : y00+y = tan2t(on cherchera une solution particulière à l’aide de la méthode de la variation des constantes).
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dont les solutions de l’équation homogène sont :
yH =C1cost+C2sint , ∀(C1, C2)∈R2.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme :
f(t) =C1(t) cost+C2(t) sint, avec C1 etC2 fonctions dérivables, et la condition C10 cost+C20 sint= 0 .
Ainsif est solution de (L)si et seulement si :
( C10 cost+C20 sint= 0
−C10 sint+C20 cost= tan2t
⇒
C10 =−sin3t cos2t C20 = sin2t
cost
Spé PT B Page 3 sur 4
St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2016-2017 - Correction
Il reste à intégrer. On trouve : C1(t) =−
Z sin3t
cos2tdt=−
Z sint(1−cos2t)
cos2t dt=−
Z sint cos2tdt+
Z
sintdt= −1
cost−cost+K1, et :
C2(t) =
Z sin2t cost dt=
Z 1−cos2t cost dt=
Z 1 cost dt−
Z
costdt
=
Z cost
1−sin2tdt−sint =
|{z}
u=sint
Z du
1−u2 −sint
=
Z du 2(1−u) +
Z du
2(1 +u) −sint=−1
2ln|1−u|+1
2ln|1 +u| −sint+K2
= 1
2ln1 + sint
1−sint−sint+K2
En prenant K1=K2 = 0, on obtient donc finalement : yL(x) =−2 +1
2ln1 + sint
1−sintsint+C1cost+C2sint , ∀(C1, C2)∈R2.
Spé PT B Page 4 sur 4
