• • EQUATIONS DIFFERENTIELLES du 2 ordre

Chap.5 :

EQUATIONS DIFFERENTIELLES du 2

ordre

I. Notion d’équation différentielle

Une est une équation dont l’inconnue est une et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs de cette fonction.

Remarques : Dans une équation différentielle, la fonction inconnue est généralement notée .

On parle d’équation différentielle car la dérivée d’une fonction est appelée en sciences physiques.

L’ d’une équation différentielle est celui de la dérivée de plus grand ordre apparaissant dans l’équation.

une équation différentielle c’est déterminer toutes les fonctions qui vérifient cette équation.

La d’une équation différentielle est la formule générale qui représente ses solutions.

Exemples : 1) et sont des équations différentielles du premier ordre.

2) , et sont des équations différentielles du second ordre.

3) est une équation différentielle d’ordre 4…

II. Résolution de l’équation différentielle du 2

ordre y’’ + w

y = 0 a) Résolution de l’équation différentielle y’’ +

Soit w un nombre réel non nul.

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle est l’ensemble des fonctions définies sur IR par : où A et B sont des nombres réels quelconques.

Remarque : En sciences physiques on écrit plutôt les solutions sous la forme : où A’ et j sont des nombres réels quelconques, mais les deux écritures sont équivalentes.

Exemples : Donner la solution générale des équations différentielles suivantes :

1) ………..

2) ………..

3) ………..

4) ………..

b) Solutions vérifiant deux conditions initiales

Soit w un nombre réel non nul. L’équation différentielle admet une unique fonction solution définie sur IR vérifiant deux conditions initiales données.

Exemple : 1) Résoudre l’équation différentielle suivante : (E).

………

………

2) Déterminer la solution particulière 𝑓 de (E) vérifiant et .

………

………

………

………

3) Démontrer que la fonction g définie sur IR par : est solution de l’équation différentielle (E’).

………

………

………

•

•

y

y'=2 y'-y=2

'' x2

y = y=4y'' y''+4y=0 x

y y y

y⁽⁴⁾+3 ''- '= +2

0 ''+w²y= y

) cos(

' wx+j A

x!

0 4 ''+ y= y

y y''=-5

0 25 '' 9y + y=

y y''=- 4

0 ''+w²y= y

0 9 4y''+ y=

3÷= 3 ø ç ö è fæ p

2 ) 9 (p = f¢

sin 2 2 )

( x

x

g = -

2 4y''+y =

Ti2D - Équations différentielles

Format Cours Ti2D – Équa diff du 2^nd ordre

00:04 : notion d’équa diff 02:05 : solution générale 03:54 : solution particulière

FEUILLE D’EXERCICES

Exercice 1 :

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1) 2) 3) 4)

1) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle vérifiant : et .

2) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle vérifiant : et .

3) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle

vérifiant : et 𝑓^"#^$

%& = 0.

Exercice 3 :

1) Donner la solution générale de l’équation différentielle (E) : .

2) a) Déterminer la solution particulière f de (E) vérifiant et . b) Vérifier que, pour tout nombre réel x, on a 𝑓(𝑥) = 2√2cos #

𝑥 +

&

On admettra que cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏

c) Résoudre dans IR l’équation : 𝑓(𝑥) = 2.

Exercice 4 :

La figure ci-contre représente une masse fixée à l’extrémité d’un ressort vertical. La position de la masse à l’instant t est repérée sur l’axe vertical par son abscisse . On admet que la fonction f est solution de l’équation différentielle suivante : (E).

On cherche à déterminer l’expression de la fonction f sachant que : et .

2) Déterminer la valeur de 𝐴 grâce à 𝑓(0) =¹

2. 3) a) Montrer que𝑓^"(𝑡) = − sin(2𝑡) + 2𝐵 cos(2𝑡)

b) En déduire la valeur de 𝐵 et l’expression de de la solution particulière 𝑓(𝑡).

Exercice 5 : VU AU BAC

Choisissez la bonne réponse parmi les 4 proposées :

Question 1 : Question 2 :

0 16 ''+ y=

y 9y''+y=0 4y''+25y=0 4y''+169y=0

0 4 ''+ y=

y 2

6÷= ø ç ö è

fæ p 3

4÷= ø ç ö è fæ p 9 0

''

2 =

+p y

y f(0)=1 f(1)=5

0 9 ''+ y= y 7 ) 0 ( = f

4 0 ''+1 y= y

2÷= 2 ø ç ö è fæ p

2 ) 1 ( ' p =- f

) (t f 0 4 ''+ y= y

2 ) 1 0 ( =

f 0

' 6÷= ø ç ö è f æ p

Ti2D - Équations différentielles Équa diff du 2nd ordre avec solution particulière

O

f (t)

y